Рациональные дроби

Слайд 1. Рациональные дроби

Область определения и экстремальные значения. Алгебра, 8 класс

Слайд 2. Что такое рациональная дробь?

Рациональной дробью называют выражение вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.

В отличие от целых выражений, дробные выражения содержат деление на переменную, что накладывает определённые ограничения на значения этой переменной.

Слайд 3. Допустимые значения переменной

Область определения дроби (ОДЗ) — это все значения $x$, при которых выражение имеет смысл.

Дробь не имеет смысла, если знаменатель равен нулю.

Деление на ноль в математике невозможно.

Чтобы найти ОДЗ, нужно решить уравнение $Q(x)=0$ и исключить эти корни.

Слайд 4. Алгоритм нахождения ОДЗ

Для нахождения области определения рациональной дроби следуйте четкому алгоритму: от анализа знаменателя до записи итогового множества допустимых значений.

Слайд 5. Как найти область определения

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю.

2. Решить полученное уравнение. Его корни покажут недопустимые значения переменной.

3. Записать область определения: все действительные числа, кроме найденных корней.

Слайд 6. Область определения рациональной дроби

Область определения рациональной дроби — все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю.

Рациональная дробь имеет вид $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где числитель и знаменатель — многочлены. Деление на ноль невозможно, поэтому нужно исключить значения, при которых $Q(x)=0$.

Алгоритм:

1. Приравнять знаменатель к нулю.

2. Решить полученное уравнение.

3. Записать все действительные числа, кроме найденных корней.

Примеры:

$\frac{5}{x-4}$: $x\ne 4$.

$\frac{6}{y(y+8)}$: $y\ne 0$ и $y\ne -8$.

$\frac{7}{a^2+4}$: $a\in \mathbb{R}$, поскольку $a^2+4>0$ при любом $a$.

Важно: после сокращения дроби исходные запретные значения сохраняются.

Слайд 7. Примеры поиска ОДЗ

Дробь: $\frac{5}{x-3}$

Знаменатель: $x-3=0\Rightarrow x=3$

ОДЗ: $x\ne 3$

Интервал: $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$

Дробь: $\frac{x+1}{x^2-4}$

Знаменатель: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

ОДЗ: $x\ne 2$ и $x\ne -2$

Интервал: $(-\infty ;-2)\cup (-2;2)\cup (2;+\infty )$

Слайд 8. Когда ОДЗ — все числа?

Если знаменатель дроби никогда не обращается в ноль, то дробь определена при любых значениях переменной.

Пример: $\frac{7}{x^2+1}$.

Так как $x^2\ge 0$, то $x^2+1\ge 1$ для любого $x$. Знаменатель всегда положителен, значит, $x\in \mathbb{R}$.

Слайд 9. Наибольшее и наименьшее значения дроби

Слайд 10. Зависимость значения от знаменателя

Рассмотрим дробь с постоянным положительным числителем.

Если знаменатель $Q(x)$ увеличивается, то значение всей дроби уменьшается.

Если знаменатель $Q(x)$ уменьшается (оставаясь положительным), то значение дроби увеличивается.

Слайд 11. Основные правила оценки

Для дроби $\frac{a}{Q(x)}$, где $a>0$ и $Q(x)>0$:

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя.

Наименьшее значение дроби достигается при наибольшем значении знаменателя.

Если $Q(x)$ может быть сколь угодно великим, то наименьшего значения у дроби не существует (оно стремится к 0).

Если $Q(x)$ может быть сколь угодно малым (положительным), то наибольшего значения не существует.

Слайд 12. Визуализация: график функции $y=\frac{4}{x^2+1}$

Слайд 13. Алгоритм оценки выражения

Оценить область значений знаменателя $Q(x)$. Например, для $x^2+2$ это $[2;+\infty )$.

Найти экстремум знаменателя. Здесь $Q_{min}=2$ при $x=0$.

Вычислить значение дроби: $y_{max}=\frac{a}{Q_{min}}$. В примере: $y_{max}=\frac{a}{2}$.

Слайд 14. Задание 1: Найти ОДЗ

Определите допустимые значения переменной для следующих дробей:

1) $\frac{x}{2x-8}$

2) $\frac{4}{x(x+5)}$

3) $\frac{1}{x^2-16}$

4) $\frac{x^2}{x^2+9}$

Слайд 15. Задание 2: Экстремумы

Найдите наибольшее значение дроби $\frac{12}{x^2+3}$. При каком $x$ оно достигается?

Имеет ли дробь $\frac{5}{x^2-4}$ наибольшее значение на всей области определения? Обоснуйте.

Слайд 16. Подведение итогов

Рациональная дробь определена только тогда, когда её знаменатель не равен нулю.

Для поиска ОДЗ необходимо решать уравнения вида $Q(x)=0$.

Значение дроби обратно пропорционально значению её знаменателя (при фиксированном числителе).

Чтобы найти $y_{max}$ дроби с положительным знаменателем, нужно найти $Q_{min}$.

Слайд 17. Спасибо за внимание! Успехов в изучении алгебры!