Понятие об иррациональном числе

Слайд 1. Понятие об иррациональном числе

Алгебра, 8 класс

Слайд 2. Вспомним рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$

$m\in Z$ — целое число (числитель)

$n\in N$ — натуральное число (знаменатель)

Любое рациональное число представляется в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби

Слайд 3. Проблема диагонали квадрата

Древние греки обнаружили, что если сторона квадрата равна $1$, то его диагональ нельзя выразить отношением целых чисел. По теореме Пифагора длина диагонали равна $\sqrt{2}$. Это число оказалось невозможно записать как дробь $\frac{m}{n}$. Так возникла необходимость в новых числах — иррациональных.

Слайд 4. Иерархия числовых множеств

Иррациональные числа ($I$) дополняют рациональные ($Q$), образуя вместе с ними множество всех действительных чисел ($R$). Любая точка на числовой прямой соответствует какому-либо действительному числу.

Слайд 5. Рациональные vs Иррациональные

Можно представить как $\frac{m}{n}$.

В виде десятичной дроби: конечные или бесконечные периодические.

Примеры: $5$; $-2/3$; $0,75$; $0,(6)$.

Нельзя представить как $\frac{m}{n}$.

В виде десятичной дроби: бесконечные непериодические.

Примеры: $\sqrt{2}$; $\pi$; $0,\mathrm{101101110...}$.

Слайд 6. Знаменитые иррациональные числа

Квадратные корни из «неквадратов»: $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{10}$

Число $\pi \approx 3,\mathrm{14159...}$ — отношение длины окружности к диаметру

Число $e\approx 2,\mathrm{71828...}$ — основание натурального логарифма

Золотое сечение $\varphi \approx 1,\mathrm{618...}$

Слайд 7. Классификация десятичных дробей

Слайд 8. Свойства и факты

Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

Произведение иррационального числа на рациональное (кроме $0$) иррационально.

Между любыми двумя различными рациональными числами есть иррациональное.

Множество иррациональных чисел бесконечно и «больше» множества рациональных.

Слайд 9. Итоги урока

Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Его невозможно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$.

Объединение рациональных и иррациональных чисел дает множество действительных чисел $R$.

Любой корень $\sqrt{n}$, где $n$ не является полным квадратом, — иррационален.

Слайд 10. Спасибо за внимание!