Основное свойство дроби

Слайд 1. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Алгебра, 8 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации (ОГЭ)

Слайд 2. Цели и задачи урока

На сегодняшнем занятии мы ставим перед собой следующие важные задачи:

• Систематизировать знания об основном свойстве рациональной дроби: $\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}$, где $B\ne 0$ и $C\ne 0$.

• Закрепить практические навыки сокращения дробей — от работы с простыми одночленами до преобразования сложных выражений.

• Повторить ключевые алгоритмы разложения многочленов на множители (вынесение за скобки, ФСУ, группировка), которые являются фундаментом для успешного упрощения дробей.

Слайд 3. Математическая разминка

Сравните значения выражений, не выполняя полных вычислений: $\frac{5}{16}$, $\frac{5}{16}\cdot 0,1$ и $\frac{5}{16}\cdot (-7)$

Расположите данные величины в порядке возрастания (от наименьшей к наибольшей)

Определите, как характер множителя (отрицательное число или положительная десятичная дробь меньше $1$) влияет на итоговый результат

Вспомните: изменится ли значение дроби, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число?

Слайд 4. Актуализация знаний: Теория

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены. При этом $B$ не может быть нулевым многочленом.

Основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен $C$, то получится равная ей дробь:

$$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},C\ne 0$$

Знаки в дроби можно изменять по следующим правилам:

1. Изменение знака перед дробью и в одном из её членов (числителе или знаменателе):

$-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$

2. Одновременное изменение знака в числителе и знаменателе не меняет дробь:

$\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$

Это полезно при сокращении дробей, если множители отличаются только знаками.

Слайд 5. Методы разложения на множители

Находим наибольший общий делитель коэффициентов и переменные в наименьшей степени. Пример: $6a^{2}b-9a{b}^2=3ab(2a-3b)$.

Применяем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Это основной способ для сокращения разностей во второй степени.

Сворачиваем полный квадрат по формулам $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$. Важно проверять наличие удвоенного произведения.

Используем $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ для разложения многочленов третьей степени на линейный и квадратичный множители.

Слайд 6. Практикум: Приведение к новому знаменателю

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, выполните следующие шаги:

1. Разделите новый знаменатель на текущий. Полученный результат — дополнительный множитель.

2. Умножьте числитель и знаменатель на этот множитель.

3. Помните правило степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^n:a^m=a^{n-m}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $24a^3{b}^2$:

1) $\frac{5}{8a^{2}b}$: дополнительный множитель $24a^3{b}^2:8a^{2}b=3ab$.

Результат: $\frac{5\cdot 3ab}{24a^3{b}^2}=\frac{15ab}{24a^3{b}^2}$

2) $\frac{7}{6a{b}^2}$: дополнительный множитель $24a^3{b}^2:6a{b}^2=4a^2$.

Результат: $\frac{7\cdot 4a^2}{24a^3{b}^2}=\frac{28a^2}{24a^3{b}^2}$

Слайд 7. Задача-исследование: Анализ выражений

Рассмотрим задачу №47: исследование знака выражения $\frac{x^2-4}{2-x}$. Зависит ли знак всей дроби только от числителя? Сформулируйте интуитивный ответ до начала преобразований: всегда ли «квадрат» в числителе гарантирует положительный результат?

Применим сокращение для анализа: $\frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)}=\frac{x+2}{-1}=-(x+2)$, при $x\ne 2$. Сокращение дроби — это не просто формальность, а способ увидеть истинную природу зависимости, скрытую за сложной формой записи.

Сравним результаты: интуиция может подсказать ложный путь, тогда как алгебраический вывод дает точный ответ. При $x>-2$ (и $x\ne 2$) значение выражения всегда отрицательно. Основное свойство дроби помогло нам доказать это быстро и наглядно.

Слайд 8. Подготовка к ОГЭ: Задание 8

Разбор прототипа ФИПИ: Найдите значение выражения $\frac{x^2-4x}{x^2-16}$ при $x=102$

Прием «Снежный ком»: последовательно упрощаем слои выражения

Шаг 1. Разложение на множители: $\frac{x(x-4)}{(x-4)(x+4)}$

Шаг 2. Сокращение дроби: убираем общий множитель $(x-4)$, получаем $\frac{x}{x+4}$

Шаг 3. Подстановка значения: $\frac{102}{102+4}=\frac{102}{106}=\frac{51}{53}$

Важно: сокращение ДО подстановки экономит время и страхует от ошибок

Слайд 9. ОГЭ

Задание 8

Примеры заданий 8 из ОГЭ по математике (преобразование алгебраических выражений):

1. Найдите значение выражения $\frac{a^2-9}{3a+a^2}$ при $a=-1,5$.

2. Найдите значение выражения $\frac{x^2-4}{2x-x^2}$ при $x=-3$.

3. Найдите значение выражения $\frac{b^2-25}{b^2-5b}$ при $b=-2$.

4. Найдите значение выражения $\frac{4c^2-1}{2c^2-c}$ при $c=0,5$.

5. Найдите значение выражения $\frac{x^2-9x}{x^2-81}$ при $x=-7$.

6. Найдите значение выражения $\frac{y^2-16}{4y-y^2}$ при $y=3$.

Слайд 10. Самостоятельная работа по уровням сложности

Уровень А

Уровень Б

Уровень В

Базовый: Сокращение простейших дробей с использованием вынесения общего множителя и ФСУ. Задания вида $\frac{x^2-25}{x+5}$.

Повышенный: Решение рациональных уравнений, требующих предварительного сокращения выражений и учета области допустимых значений.

Высокий: Доказательство тождеств со сложными многочленами и нахождение значений параметра $a$, при которых дробь имеет смысл.

Слайд 11. Итоги урока и домашнее задание

Рефлексия «Светофор»: поднимите карточку соответствующего цвета (Зелёный — всё понятно, Жёлтый — есть вопросы, Красный — тема вызвала затруднения)

Домашнее задание (База): №53 (все)

Домашнее задание (Профи): №51 (а-д), №52 (а-в) + №48 (б)

Финальный вопрос: можно ли сократить $\frac{x+2}{x}$ на $x$?

Помните главное правило: мы сокращаем только множители, а не слагаемые!