Квадратные корни и преобразование выражений

Слайд 1. Квадратные корни и преобразование выражений

Алгебра, 8 класс

Слайд 2. Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это неотрицательное число $x$, квадрат которого равен $a$: $x^2=a$.

Запись: $\sqrt{a}=x$.

Она имеет смысл только при $a\ge 0$.

Пример: $\sqrt{25}=5$, потому что $5^2=25$. Число $-5$ не является арифметическим квадратным корнем из $25$.

Слайд 3. Основные свойства корня

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, если $a\ge 0$ и $b\ge 0$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, если $a\ge 0$ и $b>0$

$\sqrt{a^2}=|a|$

${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, если $a\ge 0$

Пример: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.

Важно: $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$ в общем случае.

Слайд 4. Вынесение и внесение множителя

Чтобы вынести множитель из-под корня, представьте подкоренное выражение как произведение полного квадрата и оставшегося множителя:

$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.

Чтобы внести множитель под знак корня, используйте обратное правило:

$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$.

Множитель перед корнем должен быть неотрицательным.

Слайд 5. Алгоритм преобразования выражения с корнями

Разложите подкоренные числа на множители и найдите полные квадраты.

Вынесите множители из-под знака корня и приведите подобные радикалы.

Если в знаменателе есть корень, освободитесь от иррациональности.

Слайд 6. График $y=\sqrt{x}$ и приближённая оценка

Слайд 7. Освобождение от иррациональности в знаменателе

$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$.

Умножаем на сопряжённое выражение.

Слайд 8. Самостоятельная работа: выражения с квадратными корнями

Выполните задания и запишите промежуточные преобразования:

1. Упростите: $\sqrt{75}$ и $2\sqrt{12}-\sqrt{27}$.

2. Внесите множитель под корень: $4\sqrt{3}$.

3. Представьте дробь без корня в знаменателе: $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

4. Оцените значение $\sqrt{30}$ с точностью до десятых.

Проверьте область допустимых значений и ответ.

Слайд 9. Проверь себя перед контрольной работой

Объясните своими словами:

• Когда существует арифметический квадратный корень?

• Чем отличаются $\sqrt{a^2}$ и $a$?

• Как быстро найти полный квадрат под знаком корня?

• Почему нельзя складывать подкоренные выражения как обычные слагаемые?

• Как выбрать множитель для освобождения знаменателя от корня?

Мини-задание: упростите $\sqrt{48}+\sqrt{75}$ и сравните результат с $9\sqrt{3}$.

Слайд 10. Итоги и подготовка к контрольной работе

Арифметический корень всегда неотрицателен и существует при неотрицательном подкоренном выражении.

Основные правила: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Умеем выносить множители из-под корня, вносить их под корень, преобразовывать суммы и дроби с корнями.

Для приближённой оценки используем соседние полные квадраты или график $y=\sqrt{x}$.

Перед контрольной работой: повторите определения, свойства и алгоритмы; решите по одному примеру каждого типа.