Действительные числа

Слайд 1. Действительные числа

Алгебра, 8 класс: расширение понятия числа и классификация

Слайд 2. Повторение: Рациональные числа

Рациональные числа ($\mathbb{Q}$) — это числа, которые можно представить в виде $\frac{m}{n}$

$m$ — целое число ($m\in \mathbb{Z}$)

$n$ — натуральное число ($n\in \mathbb{N}$)

Представляются в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби

Примеры: $5$; $-0,2$; $\frac{1}{3}=0,\mathrm{333...}=0,(3)$

Слайд 3. Иррациональные числа

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Их нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Примеры: $\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{4142...}$, $\pi \approx 3,\mathrm{1415...}$, $e\approx 2,\mathrm{7182...}$.

Слайд 4. Иерархия числовых множеств

Слайд 5. Сравнение множеств

Периодические дроби

Представимы как $\frac{m}{n}$

Пример: $0,25$; $0,(6)$

Непериодические дроби

Непредставимы как $\frac{m}{n}$

Пример: $\sqrt{3}$; $0,\mathrm{10110111...}$

Слайд 6. Определение действительных чисел

Множество действительных чисел (обозначается $\mathbb{R}$) — это объединение множества рациональных и множества иррациональных чисел. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, и наоборот: каждой точке прямой соответствует действительное число. Это свойство называется непрерывностью числовой прямой.

Слайд 7. Свойства операций в $\mathbb{R}$

Все законы действий, известные для рациональных чисел, сохраняются и для множества всех действительных чисел.

Слайд 8. Практические задания

Сравните числа: $\sqrt{5}$ и $2,23$.

Принадлежит ли число $0,(12)$ к $\mathbb{Q}$?

Является ли сумма двух иррациональных чисел всегда иррациональной?

Расположите в порядке возрастания: $\pi$, $3,14$, $\sqrt{10}$.

Слайд 9. Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.

— Леопольд Кронекер

Слайд 10. Подведем итоги

Действительные числа — это рациональные + иррациональные.

Любое действительное число — это бесконечная десятичная дробь.

Множество $\mathbb{R}$ заполняет всю числовую прямую без пробелов.

Для $\mathbb{R}$ справедливы все основные законы арифметики.