Десятичные приближения иррациональных чисел

Слайд 1. Десятичные приближения иррациональных чисел

Алгебра, 8 класс. Поиск точности в математических вычислениях

Слайд 2. Проблема: Как измерить невозможное?

Представьте квадрат со стороной 1 метр. По теореме Пифагора его диагональ равна:

$d=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ — это иррациональное число. Как отмерить этот отрезок с помощью обычной рулетки, если его десятичная запись бесконечна?

Слайд 3. Задание: Найдите целые границы

Между какими последовательными целыми числами находятся данные корни?

1. $\sqrt{8}$ (так как $2^2=4$ и $3^2=9$)

2. $\sqrt{15}$ (так как $3^2=9$ и $4^2=16$)

3. $\sqrt{30}$ (так как $5^2=25$ и $6^2=36$)

Слайд 4. Задание: Сравнение без калькулятора

Какое число ближе к $\sqrt{5}$: $2,2$ или $2,3$?

Возведите оба числа в квадрат. Какое из них ближе к числу 5? В чем сложность выбора точного значения без алгоритма?

Слайд 5. Алгоритм поиска: Метод вилки

1. Найти целые границы числа.

2. Разделить интервал на десятые и найти новые границы.

3. Разделить интервал на сотые и продолжать до нужной точности.

Пример для $\sqrt{2}$:

С недостатком: $1,4$

С избытком: $1,5$

Слайд 6. Задача: Приближение корня из 7

Найдите десятичное приближение $\sqrt{7}$ с точностью до 0,1.

1. Укажите приближение с недостатком.

2. Укажите приближение с избытком.

Для решения используйте проверку квадратов чисел $2,5$; $2,6$ и $2,7$.

Слайд 7. Проверяем себя: Решение по шагам

1. Границы целых: $2^2=4$, $3^2=9$. Значит $2<\sqrt{7}<3$.

2. Проверка десятых:

$2,5^2=6,25$ (мало)

$2,6^2=6,76$ (мало)

$2,7^2=7,29$ (много)

3. Вывод: $2,6<\sqrt{7}<2,7$.

4. Ответ: с недостатком $2,6$, с избытком $2,7$.

Слайд 8. Контрольный вопрос

Дано: $2,23^2=4,9729$ и $2,24^2=5,0176$.

Какое число является приближением $\sqrt{5}$ с избытком?

Обоснуйте свой выбор, используя полученные данные о квадратах чисел.

Слайд 9. Домашнее задание

Найти десятичные приближения чисел $\sqrt{6}$ и $\sqrt{11}$ до 0,1 (с недостатком и избытком).

Найти десятичное приближение $\sqrt{2}$ с точностью до 0,001 (три знака после запятой).

Доказать границы числа $\pi$ ($3,14<\pi <3,15$), используя знания о многоугольниках.

Письменно обосновать выбор приближения для $\sqrt{5}$ из классной работы.

Слайд 10. Итоги урока и рефлексия

Какой шаг алгоритма «вилки» самый трудоемкий?

Где в жизни нужны границы иррациональных чисел?

Сможете ли вы объяснить разницу между приближением с недостатком и избытком?

Спасибо за внимание!