Числовые неравенства и их свойства

Слайд 1. Числовые неравенства и их свойства

Алгебра, 8 класс

Слайд 2. Что такое числовое неравенство

Числовое неравенство — это утверждение о сравнении двух чисел или числовых выражений с помощью знаков $>$, $<$, $\ge$ или $\le$. Оно может быть истинным или ложным.

Слайд 3. Знаки сравнения

$a>b$ означает: число $a$ больше числа $b$.

$a<b$ означает: число $a$ меньше числа $b$.

Равенство границ не допускается.

$a\ge b$ означает: $a$ больше или равно $b$.

$a\le b$ означает: $a$ меньше или равно $b$.

Равенство границ допускается.

Слайд 4. Как сравнить два числа

• Найдите разность первого и второго числа.

• Если разность положительна, первое число больше второго.

• Если разность отрицательна, первое число меньше второго.

• Если разность равна нулю, числа равны.

Слайд 5. Пример сравнения

Сравним $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{4}$. Приведём дроби к общему знаменателю: $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$, а $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$. Поэтому $\frac{5}{6}>\frac{3}{4}$.

Слайд 6. Свойство транзитивности

Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$. Это свойство позволяет сравнить крайние числа, если известно их отношение к одному и тому же числу.

Пример: если $8>5$ и $5>2$, то $8>2$.

Слайд 7. «Цепочка сравнений»

— Запомните: знак сравнения можно передавать через промежуточное число, если направление сравнений сохраняется.

Слайд 8. Схема свойств сложения

Слайд 9. Свойство сложения

Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства сохранится:

если $a>b$, то $a+c>b+c$.

Пример: из $7>3$ следует $7+(-2)>3+(-2)$, то есть $5>1$.

Слайд 10. Умножение и деление на положительное число

При умножении или делении обеих частей на положительное число знак сохраняется.

Если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$.

Из $4<9$ при умножении на $2$ получаем $8<18$.

Из $12>6$ при делении на $3$ получаем $4>2$.

Слайд 11. Умножение и деление на отрицательное число

• При умножении обеих частей на отрицательное число знак меняется на противоположный.

• При делении на отрицательное число знак также меняется.

• Причина: порядок чисел на координатной прямой отражается относительно нуля.

Слайд 12. Пример со сменой знака

Пусть $-3<5$. Умножим обе части на $-2$. Так как множитель отрицательный, знак меняется: $(-3)\cdot (-2)>5\cdot (-2)$, то есть $6>-10$.

Слайд 13. Четыре ключевых свойства

Прибавление одного числа к обеим частям знак не меняет.

Вычитание одного числа равносильно прибавлению противоположного.

На положительное число — знак сохраняется.

На отрицательное число — знак меняется на противоположный.

Слайд 14. Алгоритм преобразования неравенства

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Определите действие, которое нужно выполнить с обеими частями.

Проверьте знак числа, на которое умножаете или делите.

Если число отрицательное, измените знак неравенства.

Выполните вычисления и проверьте результат.

Слайд 15. Схема решения линейного неравенства

Рассмотрим $-2x>6$. Делим обе части на $-2$. Делитель отрицательный, поэтому знак меняется: $x<-3$.

Ответ можно проверить подстановкой числа, например $x=-4$.

Слайд 16. Неравенства на координатной прямой

Решение неравенства можно изображать на координатной прямой.

Для строгого знака граница отмечается пустой точкой, для нестрогого — закрашенной. Луч показывает множество подходящих чисел.

Слайд 17. Типичные ошибки

• Забывают поменять знак при умножении или делении на отрицательное число.

• Меняют знак при прибавлении отрицательного числа.

• Путают пустую и закрашенную точку на координатной прямой.

• Проверяют только вычисления, но не смысл полученного ответа.

• Переносят слагаемое через знак неравенства без объяснения действия.

Слайд 18. Задание для самопроверки

Сравните числа: $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{5}$. Объясните способ сравнения.

Преобразуйте неравенства:

$5x<20$;

$-3x\ge 12$.

Изобразите решения на координатной прямой.

Слайд 19. Главное за урок

• Числовое неравенство сравнивает числа или выражения.

• Транзитивность позволяет сравнивать крайние элементы цепочки.

• Прибавление и вычитание одного и того же числа знак сохраняют.

• Умножение или деление на положительное число знак сохраняет.

• Умножение или деление на отрицательное число меняет знак.

• Решение удобно проверять на координатной прямой.

Слайд 20. Спасибо за внимание!