Числа и вычисления. Квадратные корни

Слайд 1. Числа и вычисления. Квадратные корни

Слайд 2. Поиск стороны квадрата

Задача: Площадь комнаты $S=36{\text{ м}}^2$. Как найти длину стены $a$?

Нужно найти число, квадрат которого равен 36:

$a^2=36⟹a=6$

Это действие называется извлечением квадратного корня.

Слайд 3. Возведение в квадрат

• Квадрат числа всегда неотрицателен: $a^2\ge 0$.

• Уравнение $x^2=a$:

— Если $a>0$: два корня ($x=\sqrt{a}$ и $x=-\sqrt{a}$)

— Если $a=0$: один корень ($x=0$)

— Если $a<0$: корней нет.

Слайд 4. Выбор знака и точность вычислений

В геометрии длина стороны не может быть отрицательной.

Поэтому для уравнения $x^2=36$ мы выбираем только положительный ответ: 6.

Если $S=2$, то сторону нельзя записать точной дробью:

$1.41^2\approx \mathrm{1.98...}$

Для таких случаев используют знак радикала: $\sqrt{2}$.

Слайд 5. Определение арифметического квадратного корня

$\sqrt{a}=b$ значит, что $b^2=a$ и $b$ не может быть отрицательным ($b\ge 0$).

Знак ​ называют радикалом. Число внутри него — это подкоренное выражение.

Корень существует, только если число под ним и сам результат не меньше нуля.

$\sqrt{49}=7$, потому что $7^2=49$. Ответ $-7$ будет ошибкой.

Слайд 6. Когда корень имеет смысл?

Главное правило: под корнем не может быть «минуса»!

• $\sqrt{36}=6$ — верно

• $\sqrt{-36}$ — не существует

• $-\sqrt{36}=-6$ — верно (минус снаружи)

Слайд 7. Вычисления с десятичными дробями

Сначала мысленно отбросьте запятую и извлеките корень из целого числа. Например, для $\sqrt{1,44}$ найдите $\sqrt{144}=12$. Для $\sqrt{0,04}$ найдите $\sqrt{4}=2$.

В ответе знаков после запятой в два раза меньше, чем было под корнем. Было 2 знака — станет 1. Было 4 знака — станет 2. Количество знаков под корнем всегда должно быть чётным.

$\sqrt{1,44}=1,2$ (2 знака $\to$ 1 знак)

$\sqrt{0,04}=0,2$ (2 знака $\to$ 1 знак)

$\sqrt{0,0009}=0,03$ (4 знака $\to$ 2 знака)

$\sqrt{0,0625}=0,25$ (4 знака $\to$ 2 знака)

Слайд 8. Извлечение корня из обыкновенной дроби

Правило: корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a\ge 0,b>0$)
Алгоритм: извлеките корень из числителя, затем из знаменателя и запишите результат в виде новой дроби
Пример: $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$
Обоснование: по определению арифметического корня ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ и $\frac{2}{3}>0$

Слайд 9. Самостоятельная работа

Вычислите:

• $\sqrt{81}$
• $\sqrt{144}$
• $\sqrt{0,25}$

Вычислите:

• $\sqrt{\frac{16}{49}}$
• $\sqrt{1\frac{7}{9}}$

Решите уравнение:

• $\sqrt{x}=5$
• $2\sqrt{x}-6=0$