Алгебраические дроби

Слайд 1. Алгебраические дроби

Определения, допустимые значения и основное свойство. 8 класс

Слайд 2. Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраической дробью называют выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены.

В отличие от обыкновенных дробей, числитель и знаменатель здесь содержат переменные. Числитель $A$ может быть любым, а знаменатель $B$ обязательно должен быть ненулевым многочленом.

Слайд 3. Примеры выражений

$\frac{x+y}{x-y}$ — алгебраическая дробь (переменные в обеих частях)

$\frac{5}{a^2+1}$ — алгебраическая дробь (переменная в знаменателе)

$x^2+2x-1$ — целое выражение (можно представить как $\frac{x^2+2x-1}{1}$)

$\frac{3}{4}$ — обыкновенная дробь (частный случай с константами)

Слайд 4. Допустимые значения переменных

Деление на ноль в математике невозможно. Из этого следуют важные правила:

Знаменатель дроби не может быть равен нулю ($B\ne 0$).

Значения переменных, при которых знаменатель обращается в нуль, называются недопустимыми.

Область допустимых значений (ОДЗ) — это все значения переменных, при которых дробь имеет смысл.

Слайд 5. Алгоритм нахождения ОДЗ

Слайд 6. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{A}{B}$ умножить на один и тот же ненулевой многочлен $C$, то получится равная ей дробь:

$$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$$

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$ разделить на их общий ненулевой множитель $C$, получится равная ей дробь:

$$\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}$$

Слайд 7. Сокращение дробей

Сократить дробь — значит разделить её числитель и знаменатель на их общий множитель.

Важное правило: сокращать можно только множители! Если в числителе или знаменателе стоит сумма или разность, выражение нужно сначала разложить на множители.

Слайд 8. Этапы сокращения дроби

Разложить числитель и знаменатель на множители (вынесение за скобки, применение ФСУ).

Найти общий множитель для числителя и знаменателя.

Разделить обе части дроби на этот множитель, записав результат.

Слайд 9. Примеры сокращения в действии

Слайд 10. Итоги занятия

Алгебраическая дробь — это отношение двух многочленов $\frac{A}{B}$.

Главное условие существования дроби: знаменатель не равен нулю ($B\ne 0$).

Основное свойство позволяет умножать и делить части дроби на одно и то же выражение.

Для сокращения дробей обязательно используйте методы разложения на множители.

Всегда учитывайте ОДЗ при работе с переменными в знаменателе.