Условные утверждения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать условные утверждения вида «если ..., то ...», выделять условие и следствие, проверять истинность утверждения на конкретных примерах и составлять не менее двух собственных условных утверждений.
- Сформировать представление о структуре условного утверждения и различии между условием, следствием и обратным утверждением.
- Научить применять алгоритм анализа условных утверждений при работе с текстом учебника, таблицами и жизненными ситуациями.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, находить контрпример, аргументировать позицию и корректно обсуждать разные решения.
- Воспитывать внимательное отношение к точности формулировок и понимание роли условных утверждений в математике, естественных науках и повседневных решениях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к анализу высказываний и связи математических рассуждений с жизненными ситуациями.
- Осознают ценность точной формулировки условий при принятии решений и обмене информацией.
- Уважительно относятся к обоснованным мнениям одноклассников и готовы корректировать собственную позицию.
- Развивают учебную самостоятельность, выбирая уровень задания и оценивая собственное продвижение.
Метапредметные
- Выделяют в тексте условие и следствие, преобразуют словесную информацию в краткую схему.
- Сравнивают утверждение и его обратную формулировку, находят различия и строят контрпример.
- Планируют последовательность проверки высказывания и осуществляют самоконтроль по эталону.
- Формулируют выводы, участвуют в диалоге, аргументируют ответ и используют материал учебника для поиска информации.
Предметные
- Знать структуру условного утверждения «если ..., то ...», понятия «условие» и «следствие».
- Уметь распознавать условные утверждения в математическом и бытовом тексте.
- Уметь проверять условное утверждение по примерам и контрпримеру.
- Уметь отличать исходное утверждение от обратного и составлять собственные условные утверждения по заданной ситуации.
- Владеть алгоритмом краткой записи условного утверждения с помощью стрелки: условие → следствие.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения условных утверждений для проверки информации и решения практических задач.
- Проявляют ответственность за точность собственных высказываний.
- Осознают необходимость доказательства, а не только уверенного высказывания мнения.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план анализа условного утверждения.
- Контролируют соответствие ответа условию задания и исправляют обнаруженные ошибки.
- Сверяют решение с эталоном и объясняют причину расхождения.
- Оценивают результат по критериям: выделено условие, названо следствие, приведено обоснование.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из объяснения учителя, текста учебника и карточек.
- Классифицируют высказывания по наличию условия и следствия.
- Строят логическую схему «условие → следствие».
- Используют анализ и контрпример для проверки истинности утверждения.
- Сравнивают исходное и обратное утверждения и делают вывод о связи между ними.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по распределённым ролям: читатель, аналитик, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы к формулировкам одноклассников.
- Аргументируют согласие или несогласие, используя слова «условие», «следствие», «контрпример».
- Согласуют общий вариант ответа и корректно разрешают расхождения во мнениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник по вероятности и статистике для каждого ученика или каждой пары; заранее выбрать в тексте фрагмент, где вводятся или используются условные утверждения.
- Подготовить презентацию или запись на доске: «Если A, то B», «A — условие», «B — следствие», «A → B».
- Распечатать карточки с шестью утверждениями трёх уровней сложности — по одной карточке на пару и два дополнительных экземпляра для доски.
- Распечатать мини-лист самооценки — по одному на каждого ученика.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одной тройке на ученика.
- Подготовить стикеры или небольшие листочки для приёма «Билет на выход» — по одному на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать на доске жизненные ситуации: прогноз погоды, результаты броска кубика, условие участия в игре.
- Подготовить эталон анализа одного утверждения и критерии самостоятельной работы.
- Организовать на доске три зоны: «Условие», «Следствие», «Контрпример»; предусмотреть маркеры двух цветов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость точных условных формулировок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, готовы ли тетрадь, ручка и учебник по вероятности и статистике. Сегодня нам потребуется не только знание правил, но и умение внимательно читать каждое слово. Сначала попробуем выяснить, почему небольшая часть фразы иногда полностью меняет смысл сообщения." | Проверяют готовность, открывают тетради и учебник, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на доске две фразы: «Если идёт дождь, улица может быть мокрой» и «Если улица мокрая, значит, идёт дождь». Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала подумайте молча тридцать секунд, затем обсудите с соседом, одинаковы ли эти утверждения. Не нужно пока использовать математические термины — объясните смысл своими словами." | Сравнивают фразы индивидуально и в парах, затем формулируют ответы: «Утверждения направлены в разные стороны»; «Мокрая улица может быть после полива, а не только после дождя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что перестановка частей фразы может изменить её смысл. Теперь вспомним, как мы обычно анализируем математическое высказывание, и найдём способ делать это точно."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления об утверждениях, истинности и проверке высказываний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним: что называют утверждением? Может ли утверждение быть истинным или ложным? Прочитайте три фразы на доске: «Число 12 делится на 3», «У квадрата три стороны», «Завтра будет дождь». Какие из них можно проверить уже сейчас, а какие требуют дополнительной информации?" | Отвечают: «Утверждение — фраза, о которой можно сказать, истинна она или ложна». Определяют первое утверждение как истинное, второе как ложное, третье как пока не проверенное. |
2 мин | Учитель пишет: «Чтобы проверить утверждение, нужно привести пример или найти пример, который ему противоречит». Затем спрашивает: "Как опровергнуть утверждение «Все числа, кратные 4, являются чётными»? А как проверить утверждение «Если число делится на 10, то оно оканчивается нулём»?" | Приводят примеры чисел и объясняют: «Для опровержения нужно найти число, кратное 4, но нечётное; такого числа нет, поэтому утверждение не опровергнуто». «Числа 10, 20, 30 подтверждают утверждение». |
2 мин | Учитель раздаёт парам короткие карточки с фразами: «Число 8 больше 5»; «Если число чётное, то оно делится на 2»; «Квадрат — это прямоугольник»; «При выпадении орла монета обязательно падает орлом вверх». Учитель просит выбрать утверждения, в которых одна ситуация связывается с другой. | Выделяют второе и третье утверждения, объясняют: «В них есть условие и результат, к которому оно приводит». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что утверждение можно проверять примерами и контрпримером. В некоторых фразах одна часть задаёт условие, а другая описывает следствие. Сейчас сформулируем точное правило для таких фраз."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при различении исходного и обратного условного утверждения и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Если число делится на 4, то оно делится на 2» и «Если число делится на 2, то оно делится на 4». Учитель говорит: "Оба высказывания выглядят похоже. Можно ли считать их одинаково истинными? Обсудите ответ в парах и обязательно приведите число, которое подтверждает или опровергает вторую фразу." | Обсуждают в парах, приводят контрпример: «Число 6 делится на 2, но не делится на 4». Делают вывод: «Обратное утверждение может быть ложным». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как по записи быстро увидеть, где условие, где следствие, и как не перепутать исходное утверждение с обратным? Предложите план действий на урок." Учитель фиксирует предложения на доске. | Формулируют план: «Найти слова “если” и “то”; назвать условие и следствие; записать стрелку; проверить примерами или контрпримером; составить обратное утверждение и сравнить». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: похожие по форме фразы могут иметь разную истинность. Сегодня мы откроем алгоритм анализа условных утверждений и проверим его на материале учебника и собственных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия условия, следствия и обратного условного утверждения на основе текста учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Откройте учебник на теме, посвящённой условным высказываниям, и найдите определение или пример условного утверждения. Читайте фрагмент с карандашом: поставьте знак «+» рядом с новым, «?» рядом с непонятным. Найдите формулировку вида «если ..., то ...»." | Читают выбранный учителем фрагмент учебника, отмечают ключевые места, выписывают одно условное утверждение. |
4 мин | Учитель записывает общий образец: «Если A, то B». Объясняет: "Часть A после слова «если» называется условием, часть B после слова «то» — следствием. Стрелка показывает направление рассуждения: A → B. Например: «Если число делится на 6, то оно делится на 3». Условие — делимость на 6, следствие — делимость на 3. Обратная фраза звучит так: «Если число делится на 3, то оно делится на 6», но она уже требует отдельной проверки." | Выделяют в примере условие и следствие, записывают схему A → B, формулируют: «Делимость на 6 — условие; делимость на 3 — следствие». Сравнивают исходную и обратную фразы. |
3 мин | Учитель проводит «Сократовский диалог»: "Если число делится на 6, обязательно ли оно делится на 3? Приведите два примера. А если число делится на 3, обязательно ли оно делится на 6? Какой контрпример будет самым простым? Почему одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение?" | Отвечают: «Да, 6 и 12 делятся на 3». «Нет, 3 или 9 делятся на 3, но не делятся на 6». Объясняют: «Одного подходящего контрпримера достаточно, потому что утверждение претендует на истинность для всех случаев». |
Запись в тетрадях
Условное утверждение имеет вид «Если A, то B». A — условие, B — следствие. Направление связи: $A \to B$. Обратное утверждение: «Если B, то A». Исходное и обратное утверждения нельзя считать равными без отдельной проверки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили рабочую схему: сначала выделяем условие и следствие, затем проверяем направление связи. Теперь применим этот алгоритм к конкретным утверждениям и научимся объяснять ответ полным предложением."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм анализа условных утверждений в парах с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку первой пары заданий и говорит: "Работаем в парах. Один ученик читает утверждение и называет условие, второй называет следствие и записывает стрелку. Затем поменяйтесь ролями. Карточка: 1) «Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10». 2) «Если выпало число 6 на кубике, то выпавшее число больше 4»." | Выделяют условие и следствие, записывают: «Оканчивается цифрой 0 → делится на 10»; «Выпало 6 → число больше 4». |
3 мин | Учитель просит несколько пар объяснить решения: "Не ограничивайтесь ответом «верно». Скажите, что является условием, что является следствием и чем вы проверили утверждение. Если утверждение кажется неверным, ищите конкретный контрпример." | Представляют решения: «Утверждение первое истинно для соответствующих натуральных чисел; второе истинно, потому что 6 больше 4». Используют термины «условие» и «следствие». |
2 мин | Учитель предлагает задание на выбор: "Выберите вариант А или Б. Вариант А: составьте обратное утверждение к фразе «Если число кратно 5, то оно оканчивается цифрой 0 или 5» и проверьте его. Вариант Б: составьте условное утверждение о результате броска игрального кубика и укажите, как его проверить." | Выполняют выбранное задание. Для варианта А формулируют: «Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно кратно 5» и подтверждают примерами. Для варианта Б записывают собственную фразу и объясняют её проверку. |
Эталон решения
Для утверждения «Если число кратно 5, то оно оканчивается цифрой 0 или 5»: 1) условие — число кратно 5; 2) следствие — число оканчивается цифрой 0 или 5; 3) обратное утверждение — «Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно кратно 5»; 4) обратное утверждение также истинно для натуральных чисел, поскольку числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы умеем не только находить условие и следствие, но и проверять, сохраняется ли истинность при изменении направления. Переходим к самостоятельной работе, где каждый покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый уровень обязателен для всех, повышающий можно выбрать при уверенности, дополнительный предназначен для тех, кто готов обосновать каждый вывод. Работайте индивидуально, не подсказывайте соседу. В каждом ответе указывайте условие, следствие и способ проверки." | Выбирают карточку, подписывают работу, читают инструкцию. |
5 мин | Учитель показывает на доске задания. Базовый: «Выделите условие и следствие: если событие A произошло, то событие B произошло». «Если число делится на 8, то оно делится на 4». Повышающий: составьте обратное утверждение ко второй фразе и найдите контрпример, если оно ложно. Дополнительный: объясните, почему «Если число больше 10, то оно больше 5» истинно, а обратное утверждение — нет. | Индивидуально выполняют задания. Записывают: «A — условие, B — следствие»; «делимость на 8 → делимость на 4». Для обратной фразы получают «Если число делится на 4, то оно делится на 8» и приводят контрпример 4. Для дополнительного задания приводят число 6: оно больше 5, но не больше 10. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только итог, но и оформление рассуждения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно уточнить. Если нашли ошибку, исправьте её рядом, не стирая первоначальный вариант." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают выполненные пункты и отмечают уровень уверенности карточкой «Светофор». |
Эталон решения
Для фразы «Если число делится на 8, то оно делится на 4»: условие — делимость на 8; следствие — делимость на 4; направление — делимость на 8 → делимость на 4. Обратное утверждение: «Если число делится на 4, то оно делится на 8». Контрпример: число 4 делится на 4, но не делится на 8, поэтому обратное утверждение ложно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главный источник ошибок — перестановка условия и следствия. В последнем содержательном задании мы свяжем новый алгоритм с вероятностными ситуациями и убедимся, что он помогает рассуждать не только о числах."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить понятие условного утверждения к вероятностной ситуации и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "В коробке лежат красные и синие жетоны. Событие A — из коробки вынут красный жетон, событие B — вынут цветной жетон. Сформулируйте условное утверждение о связи этих событий. Можно ли утверждать обратное: если вынут цветной жетон, то он красный?" | Формулируют: «Если вынут красный жетон, то вынут цветной жетон». Обсуждают обратное утверждение и отвечают: «Нет, цветным может быть синий жетон; это контрпример». |
1 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "Запишите одним предложением, что такое условное утверждение, и одним символом покажите направление связи." | Записывают: «Условное утверждение связывает условие и следствие: если A, то B»; используют запись $A \to B$. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: "Ответьте на два вопроса: какой шаг алгоритма теперь выполняете уверенно; где ещё может возникнуть ошибка? Передайте листочки при выходе." | Заполняют билет, указывают сильную сторону и затруднение, сдают листочки учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть в условном утверждении направление рассуждения, выделять условие и следствие и проверять обратную фразу контрпримером. Эти действия понадобятся нам при дальнейшем изучении событий и их вероятностей."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик правильно выделил условие и следствие во всех предложенных фразах, записал направление связи, корректно составил обратное утверждение и привёл содержательный контрпример либо обоснование.
- «4» — выполнено большинство заданий, условие и следствие определены верно, но допущена одна неточность в формулировке обратного утверждения или объяснении проверки.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: выделены условие и следствие хотя бы в двух примерах, но объяснение истинности неполное или допущены ошибки при составлении обратного утверждения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют условием и что называют следствием в записи «Если A, то B»? | Проверка осознания ключевых понятий и направления связи. |
Как доказать, что обратное утверждение ложно? | Выявление понимания роли контрпримера. |
Какой шаг алгоритма анализа условных утверждений оказался самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Где в жизни или в других предметах можно использовать условные утверждения? | Осознание практической значимости темы и перенос знания в новый контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать условные утверждения не по внешнему сходству, а по точной логической структуре. Запомните: в записи «если A, то B» условие и следствие имеют определённое направление, а обратное утверждение нужно проверять отдельно. Типичная ошибка — считать исходную и обратную фразы равными без контрпримера или доказательства. На следующем уроке мы продолжим анализировать связи между событиями и применим этот способ рассуждения к вероятностным задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выписать из текста учебника или составить 5 условных утверждений, в каждом подчеркнуть условие одной чертой, следствие двумя чертами и записать схему со стрелкой. | Закрепляет распознавание структуры условного утверждения; при проверке обратить внимание на правильное направление стрелки. |
Средний (повышающий) | Составить 4 условных утверждения о числах, делимости или результатах броска кубика; для двух утверждений составить обратные и определить их истинность с помощью примеров или контрпримеров. | Формирует умение применять алгоритм, различать исходное и обратное утверждения и аргументировать вывод. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать одну жизненную ситуацию, содержащую условное утверждение, и разобрать её письменно: условие, следствие, обратное утверждение, контрпример или доказательство истинности. | Развивает функциональную грамотность, самостоятельное моделирование и перенос математического способа рассуждения в реальный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой частью условного утверждения является фраза после слова “если”? Что такое следствие? Чем обратное утверждение отличается от исходного? Какой пример может опровергнуть общее утверждение?»
