Отрицание высказывания в вероятности и статистике
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить отрицание простых высказываний о событиях, числовых данных и вероятностях, используя слова «неверно, что», «не» и корректно сохраняя смысл исходного высказывания.
- Сформировать представление о том, что отрицание высказывания меняет его истинностное значение, но не добавляет произвольное противоположное утверждение.
- Научиться составлять отрицания высказываний, содержащих слова «все», «некоторые», «каждый», «не менее», «больше» и «меньше».
- Развивать умение анализировать формулировки заданий учебника, объяснять выбор ответа и находить ошибки в рассуждении.
- Показать межпредметное значение отрицания: его применение в математике, информатике, естественных науках и повседневной работе с данными.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной формулировки утверждений при работе с вероятностями, статистикой и информацией из разных источников.
- Проявляют ответственное отношение к проверке данных и не принимают противоположное утверждение без логического обоснования.
- Развивают учебную самостоятельность, выбирая уровень задания и оценивая собственное понимание темы.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении разных вариантов отрицания.
Метапредметные
- Выделяют смысловые слова в математическом высказывании и преобразуют его в отрицательную форму.
- Сравнивают исходное высказывание и его отрицание, устанавливая, при каких условиях каждое из них истинно.
- Используют смысловое чтение при работе с текстом учебника и формулируют вывод по результатам обсуждения.
- Аргументируют решение в паре и группе, корректно задают уточняющие вопросы.
- Применяют логическое рассуждение при анализе реальных статистических сообщений и результатов наблюдений.
Предметные
- Знать смысл отрицания высказывания и понимать, что из двух взаимно отрицающих высказываний ровно одно является истинным.
- Уметь строить отрицание простого высказывания с помощью слов «неверно, что» и «не».
- Уметь отрицать высказывания со словами «все», «некоторые», «каждый», «больше», «меньше», «не менее».
- Уметь проверять корректность отрицания на конкретных примерах из вероятности и статистики.
- Владеть навыком объяснения ответа с опорой на смысл высказывания, а не только на механическую замену слов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, зачем точность формулировок нужна при интерпретации результатов опросов и экспериментов.
- Формируют ответственное отношение к выводам, сделанным на основании числовых данных.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ действия в других предметах.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу: научиться строить отрицание высказываний разных типов.
- Планируют последовательность действий: выделить смысл высказывания, добавить отрицание, проверить результат на примере.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют ошибки в употреблении слов «все», «некоторые», «не менее».
- Оценивают результат по критериям: смысловая точность, полнота отрицания, наличие объяснения.
Познавательные УУД
- Выделяют ключевые слова, определяющие объём и смысл высказывания.
- Строят логическую цепочку от исходного утверждения к его отрицанию.
- Сравнивают примеры, классифицируют высказывания по способу построения отрицания.
- Моделируют истинность высказывания и отрицания на конкретных наборах данных.
- Находят логическую ошибку в готовом рассуждении и предлагают исправленный вариант.
Коммуникативные УУД
- Формулируют математические высказывания понятно и однозначно.
- Работают в парах при проверке отрицаний, распределяя роли автора и эксперта.
- Доказывают правильность ответа примером или контрпримером.
- Слушают возражения и корректируют формулировку без перехода к личным оценкам.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами высказываний: «Сегодня идёт дождь» — «Сегодня дождь не идёт»; «Все результаты больше нуля» — «Не все результаты больше нуля».
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые простые высказывания, высказывания с кванторами «все» и «некоторые», задания с числами и вероятностями.
- Распечатать по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту из шести карточек на каждую группу.
- Подготовить фрагмент текста учебника по теме «Отрицание» для чтения с пометками; номера страниц заранее не указывать, так как они зависят от используемого издания.
- Вывести на доску памятку: «Чтобы построить отрицание, выясни смысл высказывания, измени его истинностное условие, проверь на примере».
- Подготовить таблицу для заполнения: «Исходное высказывание — Отрицание — Проверка на примере».
- Подготовить стикеры зелёного и жёлтого цвета для приёма «Светофор» и листы для выходного билета — по одному на ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, доску и маркеры двух цветов.
- Заранее выбрать из учебника два-три задания на отрицание простых высказываний и одно задание на самостоятельную проверку без указания номеров и страниц.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость точного отрицания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране сообщение: «Вероятность дождя завтра больше 50%». Затем говорит: «Представьте, что метеоролог сообщил: вероятность дождя завтра не больше 50%. Это означает, что дождя точно не будет? Подумайте самостоятельно несколько секунд и пока не называйте ответ». | Ученики читают сообщение, фиксируют первый вариант ответа в тетради: «Дождь возможен» или «Дождя не будет», готовятся объяснить позицию. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала каждый сформулируйте, что означает отрицание сообщения. Затем обсудите с соседом и выберите формулировку, которую сможете обосновать. Нам важно не угадать, а точно передать смысл». После обсуждения учитель принимает два-три ответа и записывает спорные варианты на доске. | Ученики 30 секунд думают индивидуально, одну минуту обсуждают в парах, затем предлагают формулировки: «Вероятность дождя не больше 50% не означает, что дождя не будет»; «Нужно уточнить, что именно отрицается». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что слово “не” нельзя добавлять механически. Сегодня мы выясним, как строить точное отрицание высказывания и проверять, не изменили ли мы его смысл».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о высказывании, истинности и вероятностных событиях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три фразы: «Монета имеет две стороны», «Какова вероятность выпадения орла?», «Запишите результат опыта». Учитель спрашивает: «Какая из фраз является высказыванием? Почему? Может ли вопрос быть истинным или ложным?» | Ученики выделяют первое высказывание как утверждение, которое можно оценить как истинное или ложное; объясняют, что вопрос и побуждение к действию истинными или ложными не являются. |
3 мин | Учитель предлагает карточку с примерами: «При броске игральной кости выпало число 6», «Вероятность достоверного события равна 1», «В выборке все значения меньше 10». Учитель просит определить, при каких результатах каждое утверждение истинно, и напоминает: «Нам понадобится не только значение вероятности, но и точный смысл слов “все”, “некоторые”, “меньше”». | Ученики в парах отмечают истинные и ложные высказывания для предложенных ситуаций, подчёркивают слова «все», «меньше», «равна», формулируют: «Высказывание должно иметь определённое значение истинности». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что высказывание можно проверить и отнести к истинным или ложным. Теперь найдём способ построить высказывание, которое будет истинным тогда, когда исходное ложно».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при отрицании высказываний и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: «Все наблюдавшиеся значения больше 3». Затем предлагает отрицание: «Все наблюдавшиеся значения не больше 3». Учитель спрашивает: «Всегда ли это отрицание верно? Приведите набор данных, при котором первое высказывание ложно, а второе тоже ложно». | Ученики предлагают контрпример: значения 4, 5, 2. Формулируют: «Первое высказывание ложно, но не все значения не больше 3, потому что 4 и 5 больше 3». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как отрицать слово “все”, чтобы получить точное высказывание? Запишите в тетради собственную гипотезу». После обсуждения формулирует цель: «Научиться строить отрицания простых высказываний и высказываний со словами “все”, “некоторые”, “больше”, “меньше”, а затем проверять их на примерах». | Ученики записывают проблемный вопрос и гипотезу, предлагают варианты: «не все», «существует хотя бы один пример, который не подходит», формулируют цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы нашли ошибочный способ: заменить каждое слово на противоположное недостаточно. Теперь обратимся к объяснению в учебнике и выведем правило на конкретных примерах».
Этап 4. Открытие нового знания по материалу учебника (10 мин)
Цель этапа: сформулировать правило построения отрицания и применить его к высказываниям из вероятности и статистики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает открыть учебник на теме урока и прочитать небольшой фрагмент о высказывании и его отрицании. Инструктирует: «Используйте приём “Инсерт”: отметьте знаком плюс новую информацию, знаком вопрос то, что осталось непонятным. Найдите определение отрицания и пример». | Ученики читают фрагмент учебника, делают пометки, выписывают незнакомые формулировки, находят определение и пример отрицания. |
3 мин | Учитель организует обсуждение: «Отрицанием высказывания называется такое высказывание, которое истинно, когда исходное ложно, и ложно, когда исходное истинно. Посмотрите на пару: “Событие A произошло” — “Событие A не произошло”. Почему эти высказывания не могут быть истинными одновременно?» | Ученики объясняют: «Если событие произошло, утверждение с “не” ложно; если не произошло, исходное утверждение ложно, а отрицание истинно». Записывают определение. |
4 мин | Учитель выводит на доске памятку: «Отрицание “Все элементы выборки больше 5” — “Не все элементы выборки больше 5”, то есть хотя бы один элемент меньше или равен 5. Отрицание “Некоторые результаты равны 0” — “Ни один результат не равен 0”. Отрицание “Число больше 7” — “Число меньше или равно 7”». Учитель просит проверить каждую пару на данных 6, 8, 10 и объясняет, что слова «не менее» отрицаются словами «менее», а «больше» — «меньше или равно». | Ученики заполняют таблицу «Исходное высказывание — Отрицание — Проверка», проверяют пары на наборе 6, 8, 10, формулируют вывод: «Для отрицания “все” достаточно найти хотя бы один контрпример; отрицание “некоторые” означает, что подходящих элементов нет». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Отрицание высказывания истинно тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно. Отрицание “все объекты обладают свойством” — “не все объекты обладают свойством”, то есть существует хотя бы один объект без этого свойства. Отрицание “некоторые объекты обладают свойством” — “ни один объект не обладает свойством”».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили правило и увидели, что отрицание нужно проверять на конкретных данных. Сейчас применим его сначала вместе, а затем вы выполните задания самостоятельно».
Этап 5. Межпредметное применение и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить правило отрицания в математике, информатике и естественно-научном описании данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: «Отрицание используется не только в нашем разделе. В информатике условие “число находится в диапазоне от 1 до 5” отрицается как “число меньше 1 или больше 5”. В естествознании утверждение “все измеренные температуры выше нуля” отрицается как “хотя бы одна температура не выше нуля”. Рассмотрим эти примеры внимательно». | Ученики выделяют границы диапазона и формулируют отрицания: «не находится от 1 до 5»; «есть хотя бы одна температура, меньшая или равная нулю». |
3 мин | Учитель раздаёт группам набор из шести карточек и предлагает приём «Снежный ком»: сначала каждый выбирает одну карточку, затем пара сверяет формулировку, после чего группа выбирает лучший вариант. Карточки содержат: «Вероятность события равна 0», «Некоторые результаты больше 2», «Все частоты неотрицательны». | Ученики индивидуально строят отрицания, сверяют их в парах и формулируют групповой ответ: «Вероятность события не равна 0»; «Ни один результат не больше 2»; «Не все частоты неотрицательны, то есть хотя бы одна частота отрицательна». |
2 мин | Учитель просит две группы представить ответы и задаёт вопрос: «Как вы проверяли, что отрицание построено правильно? Какой контрпример достаточно привести для отрицания утверждения “все”?» | Ученики объясняют алгоритм и отвечают: «Достаточно найти хотя бы один объект, который не обладает указанным свойством». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили отрицание в математическом, информатическом и естественно-научном контексте. Теперь каждый проверит, умеет ли он самостоятельно строить и обосновывать такие формулировки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом построения отрицания и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Выполните обязательный базовый вариант. Если справились раньше, выберите повышенный или дополнительный. Перед началом прочитайте критерии: точное отрицание, сохранение смысла, краткое объяснение». | Ученики выбирают вариант, записывают его название и готовятся работать индивидуально. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый вариант: построить отрицания высказываний «Монета выпала орлом», «Число больше 4», «Все значения выборки положительны». Повышенный вариант: отрицать «Некоторые наблюдения имеют частоту 3», «Все вероятности находятся от 0 до 1». Дополнительный вариант: объяснить ошибку в ответе «Отрицание “все результаты не меньше 2” — “все результаты меньше 2”». | Ученики индивидуально записывают отрицания и краткие объяснения. Возможные ответы: «Монета не выпала орлом»; «Число меньше или равно 4»; «Не все значения положительны»; «Ни одно наблюдение не имеет частоту 3»; «Существует вероятность меньше 0 или больше 1». |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску и говорит: «Проверьте не только слова, но и смысл. Если ваше утверждение отличается, найдите конкретное место, где произошло изменение смысла, и исправьте его». Учитель проводит адресную консультацию. | Ученики сверяют решения, подчёркивают исправленные места, ставят знак напротив выполненного критерия, задают вопросы о случаях «не менее» и «не больше». |
Эталон решения
Для высказывания «Все значения выборки положительны» отрицание: «Не все значения выборки положительны», то есть «существует хотя бы одно значение, меньшее или равное нулю». Для высказывания «Число больше 4» отрицание: «Число меньше или равно 4». Для ошибочного варианта «все результаты не меньше 2» правильное отрицание: «существует хотя бы один результат меньше 2», а не «все результаты меньше 2», поскольку для ложности исходного высказывания достаточно одного исключения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главное затруднение связано с высказываниями “все” и “некоторые”. В завершение обобщим алгоритм и проверим, какой шаг каждый из вас уже выполняет уверенно».
Этап 7. Рефлексия, итог и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способ построения отрицания, выявить остаточные затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете построить отрицание простого высказывания и проверить его; жёлтую — если понимаете правило, но затрудняетесь со словами “все” и “некоторые”; красную — если нужен разбор ещё одного примера». | Ученики выбирают карточку, показывают уровень понимания, формулируют конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: «Запишите отрицание высказывания “Вероятность события больше 0,3” и одним предложением объясните, почему оно имеет такой вид». | Ученики записывают: «Вероятность события меньше или равна 0,3», объясняют, что все значения, не превышающие 0,3, входят в отрицание. |
3 мин | Учитель подводит итог: «Назовите три шага алгоритма. Как отрицать слово “все”? Как проверить отрицание?» Затем кратко объясняет уровни домашнего задания и напоминает: «Используйте задания по теме из вашего учебника, но ориентируйтесь на описание и критерии, а не на номер упражнения». | Ученики формулируют алгоритм: «Понять смысл, построить отрицание, проверить на примере»; отвечают: «Для “все” — “не все”, то есть существует контрпример»; записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились отличать настоящее отрицание от простого изменения нескольких слов. На следующем уроке мы продолжим работать с высказываниями и рассмотрим, как соединяются утверждения словами “и” и “или”.»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного варианта, отрицания передают исходный смысл, корректно обработаны слова «все», «некоторые», «больше» и «меньше», приведено или устно объяснено обоснование.
- «4» — допущена одна неточность в формулировке или объяснении, но общий способ построения отрицания понятен и простые высказывания отрицаются верно.
- «3» — верно выполнены простые задания, но имеются существенные ошибки при отрицании высказываний со словами «все» и «некоторые»; требуется опора на памятку и исправление по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали об отрицании высказывания? | Выявление осознания основного определения и связи истинности исходного высказывания с истинностью отрицания. |
Как отрицать высказывание со словом «все»? | Проверка понимания роли контрпримера и выявление типичной логической ошибки. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в работе с кванторами и числовыми ограничениями. |
Как вы проверяли правильность своего отрицания? | Оценка сформированности навыка самоконтроля и смысловой проверки результата. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что отрицание — это не механическая вставка слова “не”, а высказывание с противоположным значением истинности. Особенно внимательно нужно работать со словами “все” и “некоторые”: для отрицания утверждения “все” достаточно найти хотя бы один контрпример. Проверяйте свои формулировки на конкретных данных и не подменяйте отрицание противоположным по звучанию утверждением. На следующем уроке мы рассмотрим сложные высказывания и их соединение.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий из учебника на построение отрицания простых высказываний о событиях, числах и вероятностях; к двум ответам записать проверку на конкретном примере. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на точность слов «больше», «меньше», «равно» и на наличие объяснения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на отрицание высказываний со словами «все», «некоторые», «каждый», «не менее», «не больше», используя материал соответствующего раздела учебника; для каждого привести краткое обоснование. | Формирует умение работать с кванторами и числовыми ограничениями; при проверке искать ошибки в замене «все» на «все не». |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 5 собственных высказываний о результатах опроса, броска монеты или игральной кости, записать их отрицания и подобрать один набор данных, на котором исходное высказывание ложно, а отрицание истинно. | Развивает создание математического текста, анализ и аргументацию; при проверке оценивать реалистичность данных и взаимную противоположность высказывания и отрицания. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется отрицанием высказывания? Как отрицать утверждение “все результаты больше 1”? Как отрицать утверждение “некоторые результаты равны 2”? Почему фраза “все результаты меньше 2” не является отрицанием фразы “все результаты не меньше 2”?»
