Обратные и равносильные утверждения. Признаки и свойства. Необходимые и достаточные условия
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать прямое и обратное утверждения, устанавливать их истинность, определять необходимые и достаточные условия и применять эти понятия при анализе математических высказываний.
- Сформировать представление о связи между утверждением, обратным утверждением, признаком, свойством, необходимым и достаточным условием.
- Научить составлять обратное утверждение к данному и проверять, являются ли два утверждения равносильными.
- Развивать умение рассуждать по схеме «если ..., то ...», находить контрпример и аргументировать вывод.
- Воспитывать ответственность за точность математической речи, уважение к иному мнению и готовность проверять собственные рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной формулировки условия для доказательства и принятия обоснованного решения.
- Проявляют интерес к логике рассуждений, связанной с задачами программиста, аналитика и исследователя данных.
- Развивают готовность признавать ошибку и корректировать собственное рассуждение.
- Проявляют уважение к аргументированной позиции одноклассника в парной и групповой работе.
Метапредметные
- Выделяют условие и заключение в математическом высказывании и преобразуют его структуру.
- Используют смысловое чтение, таблицу и схему для анализа взаимосвязи утверждений.
- Планируют проверку истинности утверждения, выбирая доказательство или контрпример.
- Формулируют выводы, аргументируют их и осуществляют самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать определения прямого, обратного и равносильного утверждений, необходимые и достаточные условия.
- Уметь составлять обратное утверждение к утверждению вида «если ..., то ...».
- Уметь определять, является ли условие необходимым, достаточным или необходимым и достаточным.
- Уметь проверять равносильность утверждений с помощью анализа направлений следования и контрпримеров.
- Владеть математической речью при формулировке признака и свойства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в совместное рассуждение и оценивают собственную готовность применять логические связи.
- Осмысливают, почему недостаточно привести только один подтверждающий пример для доказательства общего утверждения.
- Проявляют познавательную самостоятельность при выборе уровня задания.
- Формируют ответственное отношение к точности используемых терминов.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и составляют план проверки утверждения.
- Сравнивают собственный ответ с эталоном и фиксируют обнаруженную ошибку.
- Выбирают способ коррекции: уточнение формулировки, доказательство или поиск контрпримера.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и билету на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют условие и заключение, устанавливают направление логической связи.
- Сравнивают прямое и обратное утверждения, строят схему их отношений.
- Классифицируют условия как необходимые, достаточные или необходимые и достаточные.
- Моделируют рассуждение с помощью таблицы и проверяют его на конкретных примерах.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы к утверждению одноклассника.
- Работают в парах по распределённым ролям: аналитик и проверяющий.
- Аргументируют решение, используя слова «поскольку», «следовательно», «контрпример».
- Согласуют общий вывод и корректно разрешают расхождения в рассуждениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с утверждениями: «Если число делится на 4, то оно чётное» и «Если число чётное, то оно делится на 4».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по комплекту для каждой группы из четырёх человек.
- Подготовить листы самооценки по одному на ученика с пунктами «Я могу составить обратное утверждение», «Я различаю необходимое и достаточное условие».
- Вывести на доску шаблон: «Если A, то B»; «Если B, то A»; «A — достаточное условие для B»; «B — необходимое условие для A».
- Подготовить цветные карточки или стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Распечатать эталон самостоятельной работы по одному экземпляру на парту, чтобы использовать его после выполнения заданий.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и индивидуальной работы.
- Организовать рабочее пространство для групп по четыре человека; обеспечить доску, проектор или интерактивную панель.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость точных логических формулировок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как математические исследователи: не просто получать ответ, а проверять, действительно ли из одного утверждения следует другое. Подготовьте тетради и ручки, а рядом оставьте место для схемы рассуждения." | Готовят тетради, записывают дату, проверяют материалы. |
3 мин | Учитель показывает две записи: «Если число делится на 4, то оно чётное» и «Если число чётное, то оно делится на 4». Затем говорит: "Внешне эти фразы похожи. Но можно ли поменять части местами без потери смысла? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ в паре и приведите число, которое подтвердит или опровергнет вторую фразу." Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально формулируют мнение, обсуждают его в парах, приводят контрпример: «6 — чётное, но на 4 не делится». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что перестановка частей утверждения может изменить его истинность. Сегодня разберём, как правильно выполнять такую перестановку и как называть отношения между условиями."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить структуру условного утверждения и способы проверки его истинности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске шаблон: «Если A, то B» и говорит: "Назовите в этой конструкции условие и заключение. Что именно мы должны проверить, чтобы утверждение оказалось ложным? Вспомните: достаточно ли одного примера, для которого вывод верен?" | Отвечают: «A — условие, B — заключение»; формулируют: «Для опровержения нужно найти случай, когда A верно, а B неверно»; приводят пример. |
3 мин | Учитель предлагает классифицировать утверждения: «Если фигура — квадрат, то она прямоугольник»; «Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10»; «Если произведение двух чисел равно нулю, то один из множителей равен нулю». Учитель просит объяснить направление связи. | Распознают условие и заключение, называют утверждения истинными, объясняют связь и отмечают, что первое утверждение не обращается автоматически. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выделять условие и заключение и знаем, как работает контрпример. Теперь выясним, что произойдёт, если условие и заключение поменять местами."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать учебную проблему и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает на экран два утверждения о делимости на 4 и говорит: "Первое утверждение истинно, а второе ложно. Значит, простая перестановка частей имеет специальное название, но не гарантирует истинность. Как вы думаете, что нужно узнать, чтобы не путаться в таких случаях?" | Предлагают вопросы: «Как называется новое утверждение?», «Когда оба утверждения истинны?», «Как понять, какое условие необходимое, а какое достаточное?». |
3 мин | Учитель фиксирует ответы в виде плана: 1) составить обратное утверждение; 2) проверить его истинность; 3) понять смысл признака и свойства; 4) научиться определять необходимые и достаточные условия. Говорит: "Выберите в листе самооценки один пункт, который сегодня особенно важно освоить." | Записывают тему и план урока, выбирают личную цель, формулируют её: «Я научусь находить контрпример к обратному утверждению». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно научиться видеть направление связи, а не только знакомые слова. Переходим к открытию правил на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения обратного и равносильного утверждений, а также смысл необходимых и достаточных условий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает: «Если число делится на 6, то оно делится на 3». Затем говорит: "Обозначим условие A: число делится на 6, а заключение B: число делится на 3. Составим новое утверждение, поменяв A и B местами: «Если число делится на 3, то оно делится на 6». Это обратное утверждение. Проверьте его числом 9. Истинно ли оно?" | Выделяют A и B, составляют обратное утверждение, проверяют его на числе 9 и отвечают: «Ложно, потому что 9 делится на 3, но не делится на 6». |
3 мин | Учитель показывает пару: «Если число кратно 10, то оно оканчивается цифрой 0» и «Если число оканчивается цифрой 0, то оно кратно 10». Объясняет: "Если прямое и обратное утверждения одновременно истинны, они равносильны. В этом случае каждое из условий является необходимым и достаточным для другого." | Сравнивают утверждения, приводят числа 10, 20, 130, формулируют: «Оба утверждения истинны, поэтому условия равносильны». |
3 мин | Учитель строит схему на доске: «A → B: A — достаточное условие для B; B — необходимое условие для A». Затем говорит: "В утверждении «Если фигура — квадрат, то она прямоугольник» быть квадратом достаточно, чтобы быть прямоугольником. Быть прямоугольником необходимо для квадрата, но недостаточно: прямоугольник может не быть квадратом." | Переносят схему в тетрадь, объясняют на примере квадрата и прямоугольника, формулируют различие между необходимым и достаточным условием. |
Запись в тетрадях
1. Обратное утверждение к «Если A, то B» имеет вид «Если B, то A».
2. Два утверждения равносильны, если каждое из них следует из другого.
3. В связи «Если A, то B» условие A является достаточным для B, а B — необходимым для A.
4. Если верны оба направления A → B и B → A, то A и B — необходимые и достаточные условия друг для друга.
2. Два утверждения равносильны, если каждое из них следует из другого.
3. В связи «Если A, то B» условие A является достаточным для B, а B — необходимым для A.
4. Если верны оба направления A → B и B → A, то A и B — необходимые и достаточные условия друг для друга.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не набор слов, а рабочую схему: сначала выделяем A и B, затем проверяем направление стрелки и только после этого называем условие необходимым или достаточным. Теперь проверим правило на заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления обратного утверждения и определения вида условия в совместном рассуждении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с утверждениями: «Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9»; «Если угол прямой, то его градусная мера равна 90°»; «Если четырёхугольник — ромб, то его диагонали перпендикулярны». Говорит: "В парах выделите A и B, составьте обратное утверждение и поставьте знак «истинно» или «ложно». Для ложного утверждения обязательно приведите контрпример." | В парах заполняют таблицу A, B, обратное утверждение, истинность; для ромба приводят контрпример: квадрат имеет перпендикулярные диагонали, но не всякий четырёхугольник с такими диагоналями является ромбом. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решения и задаёт вопросы: "Как вы поняли, что условие достаточно? Как проверили обратное направление? Почему одного подходящего примера недостаточно для доказательства?" | Представляют решения, отвечают: «Достаточность означает, что из условия следует вывод»; «Для опровержения обратного направления нужен контрпример». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно составить обратное утверждение; жёлтую — если путаете необходимое и достаточное; красную — если нужна моя подсказка." Кратко разбирает типичную ошибку. | Показывают карточки, задают уточняющие вопросы, исправляют в записи перепутанные термины. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались составлять обратные утверждения и увидели, что их истинность нужно проверять отдельно. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание понятий и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбрать базовый или повышенный вариант. Базовый: «Составьте обратное утверждение к фразе: если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 0 или 5; определите его истинность и приведите контрпример, если оно ложно». Повышенный: «Для утверждения “Если четырёхугольник — квадрат, то его диагонали равны” определите необходимое и достаточное условия и проверьте обратное утверждение». | Индивидуально выполняют выбранный вариант, записывают условие, заключение, обратное утверждение и обоснование. В базовом варианте указывают контрпример 10 для ложного обратного утверждения не требуется? Уточняют: обратное «если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5» истинно; в повышенном варианте формулируют, что равенство диагоналей не достаточно для квадрата. |
3 мин | Учитель открывает эталон и говорит: "Сверьте не только ответ, но и ход рассуждения. Отметьте плюсом правильное действие, кружком — место ошибки. Если ошибка терминологическая, перепишите соответствующую фразу полностью." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, ставят самооценку по трём критериям: структура, проверка обратного утверждения, терминология. |
Эталон решения
Базовый вариант: прямое утверждение: «Если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 0 или 5». Обратное: «Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится на 5». Оно истинно по признаку делимости на 5, поэтому оба условия являются необходимыми и достаточными. Повышенный вариант: из того, что четырёхугольник является квадратом, следует равенство его диагоналей. Обратное утверждение ложно: прямоугольник со сторонами 2 и 5 имеет равные диагонали, но квадратом не является. Значит, равенство диагоналей — необходимое, но не достаточное условие для квадрата среди прямоугольников.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный алгоритм освоен, но термины требуют внимательности. В завершение объединим знания в общую схему и проверим, можем ли объяснить её своими словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить оставшиеся затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт мини-билет на выход: "Запишите кратко: 1) как составить обратное утверждение к «Если A, то B»; 2) какое условие называется достаточным; 3) приведите пример двух равносильных утверждений. Одним предложением укажите, где сегодня возникло затруднение." | Записывают: «Если B, то A»; «A достаточно для B, если из A следует B»; приводят пример делимости на 10; называют личное затруднение. |
2 мин | Учитель говорит: "Оцените себя по шкале: 3 — могу объяснить однокласснику, 2 — решаю по образцу, 1 — пока нужна помощь. Домашнее задание выберите по уровню готовности; обязательным является базовый уровень." | Заполняют лист самооценки, записывают выбранный уровень домашнего задания, формулируют итог урока: «Нельзя считать обратное утверждение истинным без проверки». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выделены условие и заключение, составлены все требуемые обратные утверждения, верно определена их истинность, приведён корректный контрпример при необходимости, термины «необходимое» и «достаточное» использованы без ошибок.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, основная логическая связь установлена верно, но допущена одна неточность в формулировке или обосновании.
- «3» — правильно выполнена хотя бы базовая часть: составлено обратное утверждение и определена его истинность для одного примера, однако допущены ошибки в объяснении необходимых и достаточных условий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как составить обратное утверждение к утверждению «Если A, то B»? | Проверка понимания структуры и направления логической связи. |
Как отличить необходимое условие от достаточного? | Выявление терминологического затруднения и понимания схемы A → B. |
Почему для опровержения утверждения используют контрпример? | Проверка понимания доказательства и опровержения общего высказывания. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление субъективных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть направление связи между условием и заключением. Мы установили, что обратное утверждение не обязано быть истинным, а равносильность требует истинности обоих направлений. Особенно внимательно следите за словами «необходимо» и «достаточно»: их нельзя заменять друг другом. На следующем уроке мы продолжим применять эти рассуждения при доказательстве свойств и решении задач, где потребуется выбирать наиболее сильное условие."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для каждого утверждения вида «Если A, то B» выделить A и B, составить обратное утверждение и определить его истинность. Одно ложное обратное утверждение опровергнуть контрпримером. | Закрепляет алгоритм построения обратного утверждения и проверку его истинности; при проверке обратить внимание на полноту обоснования. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на определение необходимых и достаточных условий, используя примеры из делимости чисел, геометрических фигур и равенств. Для каждого ответа записать схему A → B. | Формирует точное употребление терминов и умение переводить словесное условие в логическую схему. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственные пары равносильных утверждений и 2 пары утверждений, у которых прямое утверждение истинно, а обратное ложно. К каждой паре привести доказательство или контрпример. | Развивает создание математических примеров, анализ и аргументацию; при проверке оценить корректность примеров и убедительность обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое обратное утверждение? Какое условие является достаточным в связи A → B? Когда два утверждения равносильны? Каким способом можно опровергнуть общее утверждение?»
