Графики. Чтение графиков реальных зависимостей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться читать графики реальных зависимостей, определять по ним значения величин, промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, а также формулировать не менее двух содержательных выводов по представленным данным.
- Сформировать представление о графике как о модели зависимости двух величин и научить устанавливать, какая величина зависит от другой.
- Развивать умение извлекать, сравнивать и интерпретировать информацию, представленную в графической форме, включая данные из бытовых и общественных ситуаций.
- Формировать навыки сотрудничества: обсуждать варианты чтения графика, аргументировать ответ координатами точек и корректно оценивать решение одноклассника.
- Воспитывать внимательное и ответственное отношение к количественной информации, встречающейся в средствах массовой информации, прогнозах и повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность графиков для анализа погоды, движения, расходов, результатов наблюдений и выбора решений.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию реальных зависимостей и готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания.
- Понимать значение точности, внимательности и проверки данных при работе с количественной информацией.
- Уважительно относиться к различным способам рассуждения одноклассников и аргументированно отстаивать собственную позицию.
Метапредметные
- Извлекать информацию из графика, легенды, подписей осей, шкалы и координатных отметок.
- Сравнивать участки графика, устанавливать причинно-следственные связи и формулировать выводы на основе данных.
- Планировать решение графической задачи, проверять ответ по графику и исправлять обнаруженные ошибки.
- Участвовать в парном и групповом обсуждении, задавать уточняющие вопросы и представлять общий вывод.
- Использовать цифровую визуализацию или интерактивную доску для анализа модели зависимости.
Предметные
- Знать назначение координатных осей, единицы измерения и смысл независимой и зависимой величин на графике.
- Уметь находить по графику значение зависимой величины при заданном значении аргумента.
- Уметь определять промежутки возрастания, убывания и постоянства зависимости.
- Уметь находить на графике наибольшее и наименьшее значения величины в указанном промежутке.
- Владеть алгоритмом чтения графика реальной зависимости и формулировать выводы с указанием единиц измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный интерес к применению графиков в выбранных сферах: спорте, погоде, транспорте, финансах или естественных науках.
- Осознают смысл учебной деятельности через решение практической задачи, связанной с интерпретацией данных.
- Проявляют ответственность за точность собственного вывода и готовность признавать ошибку в чтении шкалы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с графиком и составляют последовательность действий: изучить оси, определить шкалу, найти точку, сформулировать вывод.
- Планируют время выполнения задания выбранного уровня сложности.
- Осуществляют самопроверку по координатам, единицам измерения и смыслу полученного ответа.
- Оценивают результат по критериям и корректируют ошибочное чтение графика.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию на графике и отделяют её от второстепенных элементов оформления.
- Устанавливают соответствие между точкой графика и парой значений двух величин.
- Сравнивают участки графика, классифицируют их как возрастающие, убывающие или постоянные.
- Моделируют словесную ситуацию с помощью графика и объясняют обратное соответствие графика реальному процессу.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с указанием величины, числового значения и единицы измерения.
- Работают в паре по ролям: один читает данные, другой проверяет шкалу и записывает вывод.
- Задают вопросы «какая величина зависит от времени?» и «как это видно на графике?».
- Аргументированно сравнивают ответы, используют координаты и направление изменения графика как доказательство.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с четырьмя графиками реальных зависимостей: температура воздуха в течение суток, путь велосипедиста, уровень воды в резервуаре и расход средств за неделю.
- Вывести на доску или отдельный слайд памятку: «1. Прочитай подписи осей. 2. Проверь шкалу. 3. Найди нужное значение. 4. Назови единицы. 5. Сформулируй вывод».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать один комплект большого графика на каждую пару для этапа открытия нового знания.
- Подготовить листы для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись» и стикеры трёх цветов для самооценки.
- Подготовить маркеры, линейки, карандаши и цветные ручки для выделения возрастающих, убывающих и постоянных участков.
- Подготовить критерии самопроверки: правильность чтения осей, точность значения, наличие единицы измерения и смысловой вывод.
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и проектор, ноутбук либо интерактивную доску.
- Заранее нанести на доску название темы, координатные оси и условные обозначения: стрелка вверх — увеличение, стрелка вниз — уменьшение, горизонтальный участок — постоянство.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность чтения графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два изображения прогноза погоды: таблицу с числами и график изменения температуры. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только с числами, но и с изображением зависимости. Посмотрите на экран: в каком представлении быстрее заметить, когда температура повышалась, а когда снижалась? Обоснуйте ответ, а не просто назовите вариант». | Рассматривают таблицу и график, сравнивают способы представления данных, предполагают: «На графике быстрее видно направление изменения и периоды повышения или снижения температуры». |
2 мин | Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: «Представьте, что вы выбираете время для пробежки. Вам нужно понять, когда температура была самой низкой, когда начался дождь и в какой момент скорость ветра возросла. Можно ли ответить на эти вопросы, просто посмотрев на график? Что именно на нём нужно уметь читать?» Учитель фиксирует ответы на доске. | Формулируют, какую информацию можно получить из графика: «значения величин», «время изменения», «максимум и минимум», «периоды роста и снижения». Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы выясним, как читать график не как рисунок, а как точную модель реального процесса. Сначала вспомним, из каких элементов он состоит, затем сами выведем алгоритм чтения и проверим его на практических данных».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о координатной плоскости, координатах точки и зависимости величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость с отмеченными точками $A(2; 4)$, $B(5; 1)$ и $C(5; 4)$. «Вспомним язык, который понадобится для чтения графика. Как называется первая координата точки? Где её ищем? Как называется вторая координата? Чем отличаются точки B и C?» | Отвечают: «Первая координата — абсцисса, её откладывают по горизонтальной оси; вторая — ордината, её откладывают по вертикальной оси». Сравнивают точки и замечают, что у них одинаковая первая координата, но разные вторые координаты. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Индивидуально за 30 секунд определите координаты точки D на рисунке. Затем обсудите с соседом, какое значение можно считать независимой величиной, если по горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — расстояние. После этого две пары объяснят решение классу». | Самостоятельно определяют координаты точки, затем обсуждают в парах. Формулируют: «Время обычно выбирают независимой величиной, а расстояние зависит от времени». Представители пар объясняют ответ у доски. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как находить координаты точки и как связаны величины на координатных осях. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы уверенно описать реальный процесс по его графику».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при содержательном чтении графика и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует график «Температура воздуха в течение суток» с неравномерной шкалой по вертикальной оси. «Посмотрите на график. В 6 часов температура была ниже, чем в 12 часов. А можно ли сказать, во сколько раз она была ниже? Как понять, в какие промежутки температура повышалась, а в какие оставалась неизменной? Попробуйте ответить, используя только то, что мы вспомнили». | Пытаются читать график, обнаруживают затруднение: «Нужно внимательно посмотреть на цену деления и на направление участка». Некоторые замечают, что без единиц измерения и подписей осей вывод будет неполным. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите одно действие, которое необходимо выполнить при чтении графика. Затем объединитесь в пары и выберите два самых важных действия. После этого четыре человека сформулируют общий алгоритм для класса». Учитель собирает предложения и задаёт цель: «Какую цель поставим на урок?» | Записывают действия, объединяют их в пары, формулируют общий алгоритм. Предлагают цель: «Научиться читать графики реальных зависимостей, находить по ним значения и описывать изменение величин». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло не в том, чтобы увидеть линию, а в том, чтобы правильно связать её с величинами и временем. Наша задача — открыть точный способ чтения графика и научиться доказывать свои выводы данными».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм чтения графика реальной зависимости через исследование данных в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре график «Движение велосипедиста»: по горизонтальной оси — время в минутах от 0 до 30, по вертикальной — расстояние от дома в километрах от 0 до 6. «Сначала не отвечайте на вопросы. Внимательно изучите название, подписи осей, единицы измерения и цену деления. Обведите точку, соответствующую 10 минутам, и проведите от неё мысленно вертикаль к графику». | Изучают название графика и шкалы, находят единицы измерения: минуты и километры. Определяют, что при 10 минутах велосипедист находился на расстоянии 2 км от дома. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: «Что означает точка графика с координатами $(10; 2)$? Что означает горизонтальный участок от 10 до 15 минут? Как по графику понять, что велосипедист удалялся от дома? Не говорите просто “линия идёт вверх”: свяжите это с величинами». Учитель подчёркивает правильные формулировки цветным маркером. | Отвечают: «Через 10 минут расстояние от дома составляло 2 км». «На горизонтальном участке расстояние не менялось, значит, велосипедист остановился». «На возрастающем участке расстояние увеличивалось, значит, он удалялся от дома». |
2 мин | Учитель предлагает каждой паре составить один вопрос к графику и обменяться карточками с соседней парой. «Вопрос должен проверять не внешний вид графика, а умение извлекать из него смысл. Например, спросите о максимальном расстоянии или продолжительности остановки». | Составляют вопросы: «Какое максимальное расстояние от дома?», «Сколько минут длилась остановка?», «В какой момент велосипедист начал возвращаться?». Обмениваются карточками и письменно отвечают на вопрос другой пары. |
2 мин | Учитель совместно с классом оформляет на доске алгоритм: «Первое — прочитать, что обозначают оси и в каких единицах измеряются величины. Второе — определить цену деления. Третье — найти нужное значение по вертикали или горизонтали. Четвёртое — описать участок графика словами: величина возрастает, убывает или не изменяется. Пятое — сделать вывод с единицами измерения». | Записывают алгоритм в тетради, задают уточняющие вопросы и приводят собственные примеры формулировок. |
Запись в тетрадях
График зависимости показывает, как изменение одной величины связано с изменением другой. Алгоритм чтения графика: 1) изучить название и оси; 2) определить единицы и цену деления; 3) найти нужную точку или участок; 4) установить изменение величины; 5) сформулировать вывод с числом и единицей измерения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли, что один и тот же график нужно читать на двух уровнях: сначала точно находить числа, а затем переводить их в смысл реальной ситуации. Теперь проверим алгоритм на заданиях, где ошибиться можно именно из-за невнимательного чтения шкалы».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм чтения графика через совместный разбор реальной зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает график «Количество воды в баке» с участками: от 8:00 до 10:00 уровень повышается от 20 до 50 л, от 10:00 до 12:00 остаётся 50 л, от 12:00 до 14:00 снижается до 30 л. «Работаем по алгоритму. Сначала назовите величины и единицы. Затем определите, в какой момент воды было больше всего и сколько литров оставалось в 14:00. Ответ должен быть полным предложением». | Называют величины: время и объём воды, единицы: часы и литры. Отвечают: «Больше всего воды было в 10:00–12:00, объём составлял 50 л». «В 14:00 в баке оставалось 30 л». |
2 мин | Учитель просит объяснить смысл участков: «Почему первый участок графика возрастающий? Что происходило с 10:00 до 12:00? Какой вывод можно сделать о промежутке с 12:00 до 14:00?» Учитель напоминает использовать слова «объём увеличивался», «не изменялся», «уменьшался». | Формулируют: «С 8:00 до 10:00 бак наполняли, поэтому объём увеличивался». «С 10:00 до 12:00 объём не изменялся — воду не добавляли и не отбирали». «С 12:00 до 14:00 объём уменьшался». |
2 мин | Учитель применяет приём «Две звезды и пожелание». «Обменяйтесь с соседом ответами. Запишите две сильные стороны решения и один совет: например, указать единицы, назвать промежуток времени или точнее сформулировать причину изменения». | Проверяют ответы по графику, отмечают два достоинства и один совет. Исправляют отсутствие единиц измерения или неполные выводы. |
Эталон решения
1. По горизонтальной оси определяем время, по вертикальной — объём воды. 2. В промежутке от 8:00 до 10:00 график возрастает, значит, объём увеличился с 20 до 50 л. 3. От 10:00 до 12:00 график горизонтальный, поэтому объём оставался постоянным и равнялся 50 л. 4. От 12:00 до 14:00 график убывает, значит, объём уменьшился до 30 л. 5. Наибольшее значение объёма — 50 л; оно наблюдалось с 10:00 до 12:00.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сейчас вы не только нашли числа, но и объяснили, что происходило с водой в каждый промежуток времени. Следующий шаг — индивидуально показать, что вы умеете выполнять весь алгоритм без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение читать график и интерпретировать его в реальном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Выбор — это ответственность за собственный результат. На каждой карточке сначала прочитайте оси и шкалу, затем отвечайте полными предложениями. На работу — 6 минут». Учитель напоминает критерии на доске. | Выбирают уровень карточки, записывают фамилию и начинают работу индивидуально. Отмечают на графике нужные точки и участки. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: по графику температуры в течение суток определить температуру в 6:00 и 18:00, время максимума и промежуток повышения температуры. Повышающий уровень: по графику пути туриста определить расстояние через 2 часа, длительность остановки, максимальное удаление и момент возвращения. Дополнительный уровень: сравнить два графика расхода электроэнергии в будний и выходной день, сформулировать три вывода и предложить объяснение различия. | Решают выбранный вариант, указывают единицы измерения, выделяют возрастающие и убывающие участки, формулируют выводы. На повышающем и дополнительном уровнях приводят объяснение, опираясь на данные графика. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталонные ответы и организует самопроверку: «Проверьте пять позиций: оси, шкалу, найденные значения, направление изменения, единицы и смысловой вывод. Не исправляйте молча: рядом с ошибкой напишите, на каком шаге алгоритма она возникла». Учитель собирает карточки для диагностики. | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки условными знаками, исправляют ответы другим цветом и оценивают себя по критериям. При затруднении формулируют вопрос учителю или соседу после завершения самопроверки. |
Эталон решения
Для любого варианта проверки используется последовательность: 1) назвать величины на горизонтальной и вертикальной осях; 2) проверить единицы измерения и цену деления; 3) найти на графике соответствующую точку или участок; 4) записать числовой результат с единицей измерения; 5) описать изменение величины словами и связать его с реальной ситуацией. Неполным считается ответ без единицы измерения или без указания промежутка времени.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что точность чтения графика зависит от последовательности действий. Если ошибка появилась, сначала проверьте оси и цену деления, а уже затем вычисления и формулировку вывода. Осталось обобщить, где такой навык пригодится за пределами урока».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: связать изученный алгоритм с жизненными ситуациями, оценить достижение цели и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает четыре небольших фрагмента графиков: изменение курса валюты, пульса во время тренировки, скорости автомобиля и количества посетителей сайта. «Выберите один график и за 30 секунд объясните соседу, какую зависимость он показывает. Назовите один вопрос, на который можно ответить по этому графику». | Выбирают один контекст, объясняют зависимость в паре и формулируют вопрос: «Когда скорость была максимальной?», «В какой момент пульс начал снижаться?», «В какой день посетителей было больше всего?». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если вы можете самостоятельно прочитать график и сделать вывод; жёлтую — если понимаете алгоритм, но ошибаетесь в шкале или формулировке; красную — если нужна помощь. На стикере допишите: “Теперь я умею…” и “Мне нужно потренировать…”.» | Показывают карточку, заполняют стикер двумя фразами, прикрепляют его в соответствующую часть доски. Формулируют: «Теперь я умею находить значение по графику», «Мне нужно потренировать определение промежутков возрастания». |
2 мин | Учитель выдаёт домашнее задание и задаёт контрольные вопросы: «Что нужно прочитать первым — линию или оси? Почему горизонтальный участок не означает отсутствие времени? Как доказать, что величина возрастает? Запишите ответы кратко, затем приготовьтесь к завершению урока». | Отвечают: «Сначала нужно прочитать оси и единицы». «Время продолжает идти, но зависимая величина не меняется». «Нужно показать, что при увеличении независимой величины значения зависимой величины становятся больше». Записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть за линией графика реальный процесс: движение, изменение температуры, заполнение резервуара или расход энергии. На следующем уроке мы будем сравнивать несколько графиков и использовать их для решения более сложных практических задач».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно прочитаны оси и шкала, правильно определены все требуемые значения и промежутки, в каждом ответе указаны единицы измерения, сформулированы содержательные выводы; для повышенного или дополнительного уровня приведено обоснование по графику.
- «4» — правильно выполнено большинство заданий, но допущена одна неточность в числовом значении, единице измерения или формулировке вывода, не нарушающая общий алгоритм чтения.
- «3» — определены основные значения по графику, но допущены две-три ошибки в чтении шкалы, направлении изменения или единицах; выводы неполные и требуют коррекции.
- «2» — не определены оси и масштаб, большинство значений прочитано неверно, отсутствует связь ответа с реальной ситуацией.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать первым, когда вы начинаете читать график? | Проверка осознанности алгоритма и выявление риска механического чтения линии без анализа осей. |
Как по графику определить, что величина возрастает, убывает или остаётся постоянной? | Проверка понимания смысла направления и формы участка графика. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения: шкала, координаты, единицы или интерпретация. |
Где в жизни или будущей профессии вам может понадобиться чтение графиков? | Осознание практической ценности темы и поддержка внутренней мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились читать график как точное сообщение о реальном процессе, а не как просто линию на координатной плоскости. Особенно важно сначала проверять оси, единицы и цену деления: именно здесь чаще всего появляется ошибка. Вы сами вывели алгоритм, применили его к бытовым ситуациям и проверили свою работу. На следующем уроке мы сравним несколько зависимостей и попробуем использовать графики для обоснованного выбора решения».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чтение графика реальной зависимости: определить значение величины в заданный момент, найти максимум и минимум, указать промежутки возрастания и убывания. В каждом ответе записать единицы измерения и полный вывод. | Закрепляет базовый алгоритм чтения графика; при проверке смотреть на правильность осей, шкалы, числовых значений и единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания по графикам движения, изменения температуры или расхода ресурсов, включая определение длительности постоянного участка и сравнение значений в двух выбранных моментах. | Развивает содержательную интерпретацию графика и сравнение данных; при проверке обратить внимание на аргументацию через координаты и промежутки времени. |
Продвинутый (дополнительный) | Собрать или придумать данные реальной зависимости за 6–8 последовательных моментов, построить по ним график с подписями осей и единицами измерения, составить к нему 4 вопроса и дать развёрнутые ответы. | Формирует умение создавать графическую модель и проверять её читаемость; при проверке смотреть на корректность масштаба, соответствие точек данным и содержательность выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что показывает горизонтальная ось? Как найти значение зависимой величины при заданном значении аргумента? Что означает горизонтальный участок графика? Почему в полном ответе необходимо указывать единицы измерения?»
