Дисперсии биномиального и геометрического распределений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться вычислять дисперсию и стандартное отклонение биномиального и геометрического распределений с помощью калькулятора и объяснять расхождение между теоретическими и выборочными значениями.
- Сформировать представление о формулах дисперсии биномиального распределения $D(X)=npq$ и геометрического распределения $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$, где $q=1-p$.
- Научить выполнять расчёты по готовым выборочным данным с помощью калькулятора и находить среднее, дисперсию и стандартное отклонение выборки.
- Развивать умение сравнивать теоретические и экспериментальные данные, выявлять причины статистических отклонений.
- Формировать ответственное отношение к интерпретации вероятностных результатов и осознанную готовность к математическому анализу данных в учебной и профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностных моделей для анализа данных, оценки рисков и принятия решений.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки гипотезы в электронной таблице.
- Понимают необходимость критически оценивать числовой результат, полученный компьютерным моделированием.
- Связывают изучаемые методы с дальнейшим обучением в вузе и применением статистики в будущей профессии.
Метапредметные
- Планируют последовательность ручных вычислений и проверяют соответствие результата задаче.
- Извлекают информацию из формул, таблиц и набора готовых данных.
- Сравнивают теоретическую модель с выборочными данными и формулируют аргументированный вывод.
- Используют калькулятор для вычислений, проверки промежуточных результатов и округления.
- Представляют результаты исследования в виде заполненной бумажной таблицы и устного объяснения.
Предметные
- Знать определения дисперсии и стандартного отклонения случайной величины.
- Знать формулы дисперсии биномиального распределения $D(X)=npq$ и геометрического распределения $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$.
- Уметь вычислять среднее, дисперсию и стандартное отклонение по выборке в электронной таблице.
- Уметь моделировать биномиальную и геометрическую случайные величины.
- Уметь интерпретировать стандартное отклонение как характеристику разброса значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в групповое исследование и оценивают качество собственной работы.
- Осознают границы применимости теоретической модели и роль размера выборки.
- Проявляют готовность корректно обсуждать результаты, не подменяя статистический вывод единичным наблюдением.
- Формируют познавательную мотивацию через связь вероятностных моделей с реальными данными.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель компьютерного эксперимента и планируют этапы его выполнения.
- Контролируют правильность ввода параметров $n$, $p$ и $q$.
- Сверяют экспериментальные показатели с теоретическими и исправляют ошибки в формулах таблицы.
- Оценивают достижение цели по критериям точности, полноты и обоснованности вывода.
Познавательные УУД
- Выделяют параметры распределения и устанавливают их влияние на дисперсию.
- Преобразуют словесное условие в математическую модель.
- Используют электронную таблицу как инструмент моделирования и анализа данных.
- Сравнивают два распределения по среднему значению и разбросу.
- Строят логическое объяснение расхождения теоретических и выборочных характеристик.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: оператор таблицы, проверяющий формулы, аналитик и докладчик.
- Формулируют вопросы о корректности модели и аргументируют ответы.
- Согласовывают общий вывод на основе числовых данных.
- Корректно представляют результат исследования и принимают замечания одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить простой калькулятор для каждого ученика или пары.
- Подготовить карточки с параметрами: n=10, p=0,3 для биномиального распределения и p=0,25 для геометрического распределения.
- Распечатать инструкцию по вычислению характеристик и лист фиксации результатов по одному экземпляру на пару.
- Подготовить два набора выборочных данных: по 10 наблюдений для каждого распределения, а также сводные данные для выборок объёмом 100 и 1000 наблюдений.
- Вывести на доску формулы q=1-p, D(X)=npq, D(X)=(1-p)/p² и σ=√D(X).
- Подготовить на доске вопрос: «Почему выборочная дисперсия не обязана точно совпадать с теоретической?»
- Подготовить таймер, маркеры и стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Проверить, что учащиеся умеют выполнять действия со скобками, степенями и квадратным корнем на калькуляторе.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность к работе: «Сегодня мы будем вручную вычислять дисперсию и стандартное отклонение по готовым данным. На столах должны быть тетрадь, лист практической работы и калькулятор». | Проверяют наличие материалов, готовят тетради, листы и калькуляторы. |
2 мин | Учитель записывает на доске две пары данных: для биномиальной модели при n=10 и p=0,3 теоретическая дисперсия равна 2,1, а выборочные значения для 100 и 1000 наблюдений — 1,72 и 2,04; для геометрической модели при p=0,25 теоретическая дисперсия равна 12, а выборочные значения — 14,6 и 12,8. Учитель спрашивает: «Почему значения, полученные по выборкам, отличаются от теоретических? Почему при большем объёме выборки они обычно ближе к теоретическому значению?» | Рассматривают данные на доске и формулируют предположения: расхождение связано со случайностью выборки; при увеличении объёма выборки оценка обычно становится устойчивее и ближе к теоретическому значению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что одной формулы недостаточно: важно уметь проверить её на данных и правильно объяснить результат. Сначала восстановим необходимые понятия."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить определения, параметры распределений и смысл стандартного отклонения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд запишите, что характеризуют математическое ожидание и дисперсия. Затем обсудите ответ с соседом и подготовьте одну точную формулировку." | Индивидуально записывают определения, затем обсуждают их в парах и формулируют: "Математическое ожидание характеризует средний уровень, дисперсия — разброс относительно среднего". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как задаётся биномиальное распределение? Что обозначают $n$, $p$, $q$? Как трактуется геометрическая случайная величина? Что показывает стандартное отклонение?" Учитель фиксирует на доске правильные ответы и корректирует неточности. | Отвечают: "В биномиальной модели $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность успеха, $q=1-p$"; "Геометрическая величина может обозначать число испытаний до первого успеха"; "Стандартное отклонение измеряет типичный разброс в тех же единицах, что и случайная величина". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл дисперсии и параметры двух моделей. Теперь проверим, какие формулы позволяют быстро получить теоретический разброс."
Краткое напоминание о распределениях.
Биномиальное распределение описывает число успехов в фиксированном числе независимых испытаний. В каждом испытании вероятность успеха постоянна и равна $p$, вероятность неуспеха $q=1-p$.
Пример: бросаем монету 10 раз и считаем, сколько раз выпала решка. Здесь $n=10$, а при симметричной монете $p=0{,}5$. Случайная величина может принимать значения от 0 до 10. В уроке рассматриваем модель при $n=10$ и $p=0{,}3$: это число успехов в 10 испытаниях, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3.
Геометрическое распределение описывает число испытаний до первого успеха в последовательности независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p$. В отличие от биномиальной модели, здесь число испытаний заранее не фиксировано: испытания продолжаются до первого успеха.
Пример: бросаем монету до первого выпадения решки. Если решка выпала с первого раза, $X=1$; если сначала выпал орёл, а затем решка, $X=2$; если решка появилась на четвёртом броске, $X=4$. В уроке рассматриваем $p=0{,}25$. Возможные значения начинаются с 1 и теоретически не имеют верхней границы.
Как различить модели: биномиальная — «сколько успехов в $n$ испытаниях»; геометрическая — «на каком по счёту испытании произойдёт первый успех».
Биномиальное распределение описывает число успехов в фиксированном числе независимых испытаний. В каждом испытании вероятность успеха постоянна и равна $p$, вероятность неуспеха $q=1-p$.
Пример: бросаем монету 10 раз и считаем, сколько раз выпала решка. Здесь $n=10$, а при симметричной монете $p=0{,}5$. Случайная величина может принимать значения от 0 до 10. В уроке рассматриваем модель при $n=10$ и $p=0{,}3$: это число успехов в 10 испытаниях, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3.
Геометрическое распределение описывает число испытаний до первого успеха в последовательности независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p$. В отличие от биномиальной модели, здесь число испытаний заранее не фиксировано: испытания продолжаются до первого успеха.
Пример: бросаем монету до первого выпадения решки. Если решка выпала с первого раза, $X=1$; если сначала выпал орёл, а затем решка, $X=2$; если решка появилась на четвёртом броске, $X=4$. В уроке рассматриваем $p=0{,}25$. Возможные значения начинаются с 1 и теоретически не имеют верхней границы.
Как различить модели: биномиальная — «сколько успехов в $n$ испытаниях»; геометрическая — «на каком по счёту испытании произойдёт первый успех».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать исследовательский вопрос и план практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемный вопрос: "Для биномиальной модели при $n=10$ и $p=0{,}3$ одна формула даёт точное теоретическое значение, но компьютер при моделировании выдаёт выборочную дисперсию. Почему эти значения различаются? Для геометрической модели ситуация аналогична или нет?" | Формулируют гипотезы: "Выборочная дисперсия зависит от случайного набора данных"; "Увеличение числа испытаний уменьшит относительное расхождение". |
2 мин | Учитель записывает план: "1. Вычислить теоретические значения. 2. Смоделировать 100 и 1000 наблюдений. 3. Найти среднее, дисперсию и стандартное отклонение. 4. Сравнить результаты и сделать вывод." Учитель уточняет критерий успеха: "Ваш вывод должен содержать число, сравнение и объяснение." | Записывают тему и план практической работы, распределяют в парах роли оператора, проверяющего и аналитика. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто получить числа, а увидеть связь между размером выборки и устойчивостью оценки. Переходим к формулам и настройке модели."
Этап 4. Открытие нового знания и инструктаж по моделированию (8 мин)
Цель этапа: вывести и применить формулы дисперсии двух распределений, подготовив учащихся к самостоятельной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель напоминает на доске: «Для биномиальной случайной величины число успехов в $n$ независимых испытаниях имеет дисперсию $D(X)=npq$, где $q=1-p$. При $n=10$ и $p=0{,}3$ получаем $q=0{,}7$, $D(X)=2{,}1$, а $\sigma=\sqrt{2{,}1}\approx1{,}45$. Выполните вычисления на калькуляторе и проверьте их». | Записывают формулу с доски, вычисляют $q=0{,}7$, $D(X)=2{,}1$, $\sigma\approx1{,}45$ на калькуляторе. |
3 мин | Учитель записывает на доске: «Для геометрического распределения, если $X$ — число испытаний до первого успеха, используется формула $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$. При $p=0{,}25$ получаем $D(X)=12$, а $\sigma=\sqrt{12}\approx3{,}46$.» | Выписывают формулу, подставляют $p=0{,}25$, получают $D(X)=12$ и $\sigma\approx3{,}46$, объясняют большой разброс. |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с готовыми наборами наблюдений и показывает на доске алгоритм: найти среднее, отклонения от среднего, квадраты отклонений, их сумму, дисперсию и стандартное отклонение. Для больших выборок учащиеся используют готовые сводные суммы. | Изучают алгоритм на доске, записывают порядок действий и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
$q=1-p$; для биномиального распределения $D(X)=npq$, $\sigma=\sqrt{D(X)}$; для геометрического распределения $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$, $\sigma=\sqrt{D(X)}$. Экспериментальная дисперсия оценивает теоретическую и может отличаться от неё.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы дают эталон, а электронная таблица позволит проверить, насколько выборка приближается к этому эталону. Сейчас каждая пара проведёт собственное исследование."
Этап 5. Практическая работа по готовым данным (12 мин)
Цель этапа: вручную обработать готовые выборочные данные по двум распределениям с помощью калькулятора, бумажного листа и формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с 10 наблюдениями биномиальной величины при n=10, p=0,3. Предлагает вычислить среднее, дисперсию и стандартное отклонение по алгоритму. | Переписывают данные в лист, выполняют расчёты на калькуляторе, проверяют, что значения лежат от 0 до 10. |
3 мин | Учитель выдаёт сводные данные для выборок объёмом 100 и 1000 наблюдений: объём выборки, сумму значений и сумму квадратов отклонений. Показывает порядок расчёта на доске. | Вручную вычисляют среднее, дисперсию и стандартное отклонение, заносят результаты в сравнительную таблицу. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с 10 наблюдениями геометрической величины при p=0,25. Напоминает: значения начинаются с 1. | Выполняют расчёты на калькуляторе и проверяют допустимый диапазон данных. |
2 мин | Учитель выдаёт сводные данные по геометрическому распределению для 100 и 1000 наблюдений и предлагает сравнить их с теоретическим значением D(X)=12. | Сравнивают показатели на бумаге, фиксируют расхождения и объясняют их случайностью и объёмом выборки. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по образцу на доске: параметры, формула, арифметика, объём выборки и вывод. | Проверяют работу другой пары и задают один уточняющий вопрос. |
Модель | 10 наблюдений для карточки | Инструкция |
|---|---|---|
Биномиальная, n=10, p=0,3 | 2; 4; 1; 3; 0; 5; 2; 3; 4; 1 | Найти среднее, дисперсию и стандартное отклонение. |
Геометрическая, p=0,25 | 1; 3; 2; 6; 4; 1; 8; 2; 5; 3 | Найти среднее, дисперсию и стандартное отклонение. |
Модель и объём выборки | Объём выборки | Сумма значений | Сумма квадратов отклонений от среднего | Расчёт выборочной дисперсии |
|---|---|---|---|---|
Биномиальная, n=10, p=0,3; 100 наблюдений | 100 | 300 | 172 | 172 : 100 = 1,72 |
Биномиальная, n=10, p=0,3; 1000 наблюдений | 1000 | 3000 | 2040 | 2040 : 1000 = 2,04 |
Геометрическая, p=0,25; 100 наблюдений | 100 | 400 | 1460 | 1460 : 100 = 14,6 |
Геометрическая, p=0,25; 1000 наблюдений | 1000 | 4000 | 12800 | 12800 : 1000 = 12,8 |
Как работать со сводными данными
Сводные данные заменяют длинный список из 100 или 1000 наблюдений. Ученикам не нужно восстанавливать все значения: им уже сообщены объём выборки N, сумма всех наблюдений и сумма квадратов отклонений от среднего.
Пример 1. Биномиальная модель, 100 наблюдений.
Дано: N=100, сумма наблюдений=300, сумма квадратов отклонений от среднего=172.
1) Среднее: x̄=300:100=3.
2) Выборочная дисперсия: Dвыб=172:100=1,72.
3) Стандартное отклонение: σвыб=√1,72≈1,31.
4) Сравнение с теоретическим значением: D(X)=2,1; расхождение равно |1,72−2,1|=0,38.
Пример 2. Биномиальная модель, 1000 наблюдений.
Дано: N=1000, сумма наблюдений=3000, сумма квадратов отклонений от среднего=2040.
Среднее: x̄=3000:1000=3. Дисперсия: Dвыб=2040:1000=2,04. Стандартное отклонение: σвыб=√2,04≈1,43. Расхождение с теоретической дисперсией: |2,04−2,1|=0,06.
Пример 3. Геометрическая модель, 100 наблюдений.
Дано: N=100, сумма наблюдений=400, сумма квадратов отклонений от среднего=1460.
Среднее: x̄=400:100=4. Дисперсия: Dвыб=1460:100=14,6. Стандартное отклонение: σвыб=√14,6≈3,82. Расхождение с теоретической дисперсией D(X)=12: |14,6−12|=2,6.
Пример 4. Геометрическая модель, 1000 наблюдений.
Дано: N=1000, сумма наблюдений=4000, сумма квадратов отклонений от среднего=12800.
Среднее: x̄=4000:1000=4. Дисперсия: Dвыб=12800:1000=12,8. Стандартное отклонение: σвыб=√12,8≈3,58. Расхождение с теоретической дисперсией: |12,8−12|=0,8.
Вывод для записи: при увеличении объёма выборки от 100 до 1000 наблюдений выборочная дисперсия в приведённых данных стала ближе к теоретической: для биномиальной модели расхождение уменьшилось с 0,38 до 0,06, для геометрической — с 2,6 до 0,8. Это не означает, что результат всегда будет точно таким же: выборочная дисперсия зависит от конкретного набора данных.
Сводные данные заменяют длинный список из 100 или 1000 наблюдений. Ученикам не нужно восстанавливать все значения: им уже сообщены объём выборки N, сумма всех наблюдений и сумма квадратов отклонений от среднего.
Пример 1. Биномиальная модель, 100 наблюдений.
Дано: N=100, сумма наблюдений=300, сумма квадратов отклонений от среднего=172.
1) Среднее: x̄=300:100=3.
2) Выборочная дисперсия: Dвыб=172:100=1,72.
3) Стандартное отклонение: σвыб=√1,72≈1,31.
4) Сравнение с теоретическим значением: D(X)=2,1; расхождение равно |1,72−2,1|=0,38.
Пример 2. Биномиальная модель, 1000 наблюдений.
Дано: N=1000, сумма наблюдений=3000, сумма квадратов отклонений от среднего=2040.
Среднее: x̄=3000:1000=3. Дисперсия: Dвыб=2040:1000=2,04. Стандартное отклонение: σвыб=√2,04≈1,43. Расхождение с теоретической дисперсией: |2,04−2,1|=0,06.
Пример 3. Геометрическая модель, 100 наблюдений.
Дано: N=100, сумма наблюдений=400, сумма квадратов отклонений от среднего=1460.
Среднее: x̄=400:100=4. Дисперсия: Dвыб=1460:100=14,6. Стандартное отклонение: σвыб=√14,6≈3,82. Расхождение с теоретической дисперсией D(X)=12: |14,6−12|=2,6.
Пример 4. Геометрическая модель, 1000 наблюдений.
Дано: N=1000, сумма наблюдений=4000, сумма квадратов отклонений от среднего=12800.
Среднее: x̄=4000:1000=4. Дисперсия: Dвыб=12800:1000=12,8. Стандартное отклонение: σвыб=√12,8≈3,58. Расхождение с теоретической дисперсией: |12,8−12|=0,8.
Вывод для записи: при увеличении объёма выборки от 100 до 1000 наблюдений выборочная дисперсия в приведённых данных стала ближе к теоретической: для биномиальной модели расхождение уменьшилось с 0,38 до 0,06, для геометрической — с 2,6 до 0,8. Это не означает, что результат всегда будет точно таким же: выборочная дисперсия зависит от конкретного набора данных.
Эталон решения
Эталон решения карточек с 10 наблюдениями.
1. Биномиальная модель: 2; 4; 1; 3; 0; 5; 2; 3; 4; 1.
Сумма наблюдений: 2+4+1+3+0+5+2+3+4+1=25. Объём выборки N=10, поэтому среднее: x̄=25/10=2,5.
Квадраты отклонений: (2−2,5)²=0,25; (4−2,5)²=2,25; (1−2,5)²=2,25; (3−2,5)²=0,25; (0−2,5)²=6,25; (5−2,5)²=6,25; (2−2,5)²=0,25; (3−2,5)²=0,25; (4−2,5)²=2,25; (1−2,5)²=2,25.
Сумма квадратов отклонений равна 22,5. Выборочная дисперсия: Dвыб=22,5/10=2,25. Стандартное отклонение: σвыб=√2,25=1,5.
Ответ: x̄=2,5; Dвыб=2,25; σвыб=1,5.
2. Геометрическая модель: 1; 3; 2; 6; 4; 1; 8; 2; 5; 3.
Сумма наблюдений: 1+3+2+6+4+1+8+2+5+3=35. Объём выборки N=10, среднее: x̄=35/10=3,5.
Квадраты отклонений: (1−3,5)²=6,25; (3−3,5)²=0,25; (2−3,5)²=2,25; (6−3,5)²=6,25; (4−3,5)²=0,25; (1−3,5)²=6,25; (8−3,5)²=20,25; (2−3,5)²=2,25; (5−3,5)²=2,25; (3−3,5)²=0,25.
Сумма квадратов отклонений равна 46,5. Выборочная дисперсия: Dвыб=46,5/10=4,65. Стандартное отклонение: σвыб=√4,65≈2,16.
Ответ: x̄=3,5; Dвыб=4,65; σвыб≈2,16.
Вывод: для данных карточек выборочные характеристики не обязаны совпадать с теоретическими: случайная выборка объёмом 10 наблюдений даёт приближённую оценку.
1. Биномиальная модель: 2; 4; 1; 3; 0; 5; 2; 3; 4; 1.
Сумма наблюдений: 2+4+1+3+0+5+2+3+4+1=25. Объём выборки N=10, поэтому среднее: x̄=25/10=2,5.
Квадраты отклонений: (2−2,5)²=0,25; (4−2,5)²=2,25; (1−2,5)²=2,25; (3−2,5)²=0,25; (0−2,5)²=6,25; (5−2,5)²=6,25; (2−2,5)²=0,25; (3−2,5)²=0,25; (4−2,5)²=2,25; (1−2,5)²=2,25.
Сумма квадратов отклонений равна 22,5. Выборочная дисперсия: Dвыб=22,5/10=2,25. Стандартное отклонение: σвыб=√2,25=1,5.
Ответ: x̄=2,5; Dвыб=2,25; σвыб=1,5.
2. Геометрическая модель: 1; 3; 2; 6; 4; 1; 8; 2; 5; 3.
Сумма наблюдений: 1+3+2+6+4+1+8+2+5+3=35. Объём выборки N=10, среднее: x̄=35/10=3,5.
Квадраты отклонений: (1−3,5)²=6,25; (3−3,5)²=0,25; (2−3,5)²=2,25; (6−3,5)²=6,25; (4−3,5)²=0,25; (1−3,5)²=6,25; (8−3,5)²=20,25; (2−3,5)²=2,25; (5−3,5)²=2,25; (3−3,5)²=0,25.
Сумма квадратов отклонений равна 46,5. Выборочная дисперсия: Dвыб=46,5/10=4,65. Стандартное отклонение: σвыб=√4,65≈2,16.
Ответ: x̄=3,5; Dвыб=4,65; σвыб≈2,16.
Вывод: для данных карточек выборочные характеристики не обязаны совпадать с теоретическими: случайная выборка объёмом 10 наблюдений даёт приближённую оценку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Практическая часть выполнена: у нас появились собственные данные, а не только готовые формулы. Теперь превратим таблицу чисел в математический вывод и проверим, насколько он убедителен."
Этап 6. Анализ результатов и первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: научить сравнивать теоретические и экспериментальные характеристики и объяснять полученные различия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает заполнить на бумаге таблицу сравнения: теоретическая дисперсия, дисперсия по карточке, результаты для 100 и 1000 наблюдений. | Заполняют таблицу, вычисляют отклонения на калькуляторе и формулируют вывод с числами. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: «Почему увеличение выборки обычно повышает устойчивость результата? Может ли выборка из 1000 значений дать заметное отклонение? Почему стандартное отклонение удобнее интерпретировать, чем дисперсию?» | Обсуждают ответы в парах и записывают краткое объяснение в листе работы. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор» с помощью карточек трёх цветов. | Поднимают карточки, называют конкретную трудность или формулируют правило различения моделей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы подтвердили: дисперсия является теоретической характеристикой модели, а выборочная дисперсия — её оценкой по конечному набору данных. Осталось индивидуально проверить, умеете ли вы выбрать формулу и объяснить результат без помощи пары."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (3 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание формул и смысла дисперсии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-задание: "Выполните самостоятельно. Для биномиального распределения $n=20$, $p=0{,}4$ найдите дисперсию и стандартное отклонение. Для геометрического распределения $p=0{,}5$ найдите дисперсию. В конце одной фразой объясните, почему экспериментальная дисперсия может отличаться от теоретической." Затем показывает эталон: $D=4{,}8$, $\sigma\approx2{,}19$; для геометрического распределения $D=2$. | Индивидуально вычисляют: $q=0{,}6$, $D=20\cdot0{,}4\cdot0{,}6=4{,}8$, $\sigma=\sqrt{4{,}8}\approx2{,}19$; $D=\frac{0{,}5}{0{,}25}=2$. Сверяют ответы с эталоном и отмечают место возможной ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная проверка показала, что алгоритм можно применять к новым параметрам. Завершим урок фиксацией главного результата и планированием дальнейшей работы."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и сообщить уровни дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "На стикере завершите две фразы: ‘Сегодня я научился…’ и ‘При моделировании важно проверить…’. Дополнительно запишите один вопрос, который необходимо разобрать на следующем уроке." Учитель собирает стикеры у выхода. | Пишут индивидуальный итог: например, "научился сравнивать теоретическую и выборочную дисперсию"; "важно проверить параметры и диапазон формулы"; указывают оставшийся вопрос. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — корректно заданы параметры обеих моделей, выполнено моделирование для 100 и 1000 наблюдений, правильно вычислены среднее, дисперсия и стандартное отклонение, заполнена сравнительная таблица и сформулирован обоснованный вывод о влиянии объёма выборки.
- «4» — модель и формулы выбраны верно, основные вычисления выполнены правильно, но допущена одна неточность в оформлении таблицы или объяснении расхождения.
- «3» — получены хотя бы основные теоретические значения и выполнено одно компьютерное моделирование, однако есть ошибки в параметрах, диапазоне или интерпретации результата.
- Ниже «3» — работа не позволяет проверить понимание модели: отсутствуют параметры, вычисления или итоговый вывод; требуется повторная консультация и исправление файла.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу вы выбрали для биномиального распределения и почему? | Проверка понимания различий между моделями и осознанности выбора формулы. |
Что произошло с расхождением при переходе от 100 наблюдений к 1000? | Выявление понимания роли объёма выборки и закона больших чисел. |
Какую ошибку в электронной таблице было легче всего допустить? | Диагностика технических и математических точек затруднения. |
Что вы теперь можете объяснить о стандартном отклонении? | Оценка осмысленности приобретённого понятия и способности интерпретировать результат. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, как теоретическая формула превращается в проверяемую модель. Для биномиального распределения дисперсия равна $npq$, а для геометрического — $\frac{1-p}{p^2}$, но конкретная выборка даёт лишь оценку этой характеристики. Типичная ошибка — перепутать число испытаний до первого успеха с числом успехов в фиксированном числе испытаний. На следующем уроке мы продолжим анализировать случайные величины и научимся увереннее оценивать надёжность статистических выводов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на дисперсию и стандартное отклонение биномиального распределения с разными $n$ и $p$, две на дисперсию геометрического распределения. Для каждой задачи записать параметры, формулу, подстановку и ответ. | Закрепляет выбор формулы и вычислительный алгоритм; при проверке смотреть на корректность $q=1-p$ и единицы округления. |
Средний (повышающий) | Провести в электронной таблице два моделирования по 500 наблюдений: одно для биномиального распределения и одно для геометрического, сравнить выборочные и теоретические дисперсии, оформить вывод в 5–6 предложениях. | Закрепляет применение формул к данным и интерпретацию статистического расхождения; при проверке смотреть на параметры, диапазон и числовое обоснование вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать, как изменение $p$ влияет на дисперсию: выбрать три значения $p$ для биномиальной модели при фиксированном $n$ и три значения $p$ для геометрической модели, построить таблицу и сформулировать гипотезу о максимальном разбросе. | Развивает исследовательское мышление и умение анализировать зависимость характеристики от параметров; при проверке смотреть на сравнение, аргументацию и корректность обобщения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как отличить биномиальную модель от геометрической?», «Чему равна дисперсия биномиального распределения при $n=10$, $p=0{,}3$?», «Почему выборочная дисперсия не обязана совпадать с теоретической?», «Что изменится при увеличении объёма выборки?», «Какие промежуточные вычисления нужно выполнить, чтобы найти дисперсию по готовой выборке?»
