Случайные опыты и вероятности случайных событий: классическое определение и противоположные события
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о классическом определении вероятности и свойствах противоположных событий для успешного решения прототипов задания №5 ЕГЭ по математике (базовый уровень).
- Образовательная задача: Отработать алгоритм решения задач на классическую вероятность и использование формулы вероятности противоположного события.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления, умение анализировать условие задачи и выделять благоприятные исходы.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к подготовке к государственной итоговой аттестации и навыки конструктивного взаимодействия при взаимопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе результатов ЕГЭ.
- Умение адекватно оценивать свои знания и готовность к экзамену.
- Критичность мышления при анализе полученных результатов.
Метапредметные
- Познавательные: умение структурировать знания, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и самооценки в учебной деятельности.
- Коммуникативные: способность аргументированно представлять результат своей деятельности и объективно оценивать работу товарища.
Предметные
- Знать формулу классической вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$ и область её применения.
- Уметь вычислять вероятность события через вероятность противоположного события $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
- Владеть навыками округления результатов в соответствии с требованиями бланков ЕГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование учебной мотивации через понимание практической значимости темы для сдачи ЕГЭ.
- Развитие навыков сотрудничества в процессе взаимопроверки.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще предстоит закрепить.
- Контроль и коррекция действий при решении задач.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в условии задачи.
- Установление причинно-следственных связей между случайными событиями.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог при обсуждении способов решения.
- Интеграция в группу сверстников и продуктивное взаимодействие.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с прототипами задания №5 из открытого банка ФИПИ.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (по 1 на ученика).
- Подготовить сборник типовых вариантов ЕГЭ под редакцией И.В. Ященко.
- Проверить наличие мела/маркеров и работоспособность проектора.
- Заранее выписать на доску ключевые формулы: $P(A) = \frac{m}{n}$ и $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, обозначить связь темы с предстоящим экзаменом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! До ЕГЭ осталось не так много времени, и сегодня мы продолжаем оттачивать навыки решения задач, которые гарантированно принесут вам баллы. Тема нашего практикума — вероятность. Это задание номер 5 в ваших КИМах. Сегодня мы не будем тратить время на долгую теорию, а сосредоточимся на практике. Наша цель — довести решение базовых задач до автоматизма, чтобы на экзамене вы потратили на них не более двух минут. Проверьте, всё ли у вас готово: тетради, ручки и, конечно, ваши домашние заготовки." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебных принадлежностей, настраиваются на продуктивную работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, настрой боевой. Переходим к самому интересному — проверке вашего авторского домашнего задания."
Этап 2. Проверка домашнего задания: Взаимопроверка (7 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала через применение знаний в нестандартной ситуации (составление задач) и решение задач одноклассников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Дома вы должны были составить по две задачи на классическую вероятность. Сейчас мы применим приём 'Биржа задач'. Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте. Ваша задача — решить задачи товарища прямо в его тетради под текстом условия. На решение у вас 4 минуты." | Обмениваются тетрадями с соседом по парте. |
4 мин | Учитель проходит по рядам, контролирует процесс, при необходимости выступает в роли консультанта. "Если условие задачи вашего соседа кажется вам некорректным или неполным — поднимите руку, мы разберем этот кейс вместе." | Решают задачи, составленные одноклассником. Записывают решение и ответ. |
2 мин | "Теперь верните тетради владельцам. Проверьте решение ваших задач. Если вы согласны с решением — поставьте плюс, если нет — кратко обсудите в паре, где возникла ошибка. Чьи задачи оказались самыми интересными или сложными?" | Проверяют решение своих задач, обсуждают ошибки в парах. 1-2 ученика зачитывают свои задачи классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Молодцы! Умение самому составить задачу — это высший уровень понимания темы. Теперь давайте быстро освежим в памяти основные инструменты."
Этап 3. Актуализация знаний и экспресс-разминка (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: повторить ключевые формулы и правила округления для ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель проводит блиц-опрос: "Вспомним классику. Что такое $m$ и $n$ в формуле вероятности? Может ли вероятность быть равна 1,5? Как мы записываем ответ в бланки ЕГЭ — обыкновенной или десятичной дробью? Посмотрите на доску, там задача-минутка: 'В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. Найдите вероятность того, что школьнику достанется вопрос о грибах'. Кто готов ответить устно?" | Отвечают: "$m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число исходов. Вероятность всегда от 0 до 1. В бланки пишем десятичную дробь". Решают устную задачу: "$2/25 = 8/100 = 0,08$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Всё верно. Помните, что в ЕГЭ по базе часто встречаются задачи, где нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную. Не теряйте на этом баллы!"
Этап 4. Практикум. Классическая вероятность в ЕГЭ (10 мин)
Цель этапа: отработка типовых задач ЕГЭ на классическую вероятность с разбором тонкостей условия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Разберем задачу, которая часто вызывает вопросы из-за формулировки. Задача №1: 'В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что турист А., входящий в состав группы, пойдет в магазин?' В чем здесь подвох? Сколько всего мест 'в магазин'?" | Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Рассуждают: "Всего исходов 5 (человек), благоприятных 2 (места). Значит, $P = 2/5 = 0,4$". |
5 мин | "Задача №2 (на такси): 'В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, находившаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое или зеленое такси'. Как будем считать благоприятные исходы?" | Решают: "Благоприятные исходы — это сумма желтых и зеленых машин: $4 + 7 = 11$. Общее число машин — 20. Вероятность $11/20 = 55/100 = 0,55$". |
Эталон решения задачи №1
1. Общее число равновероятных исходов $n = 5$ (общее количество туристов).
2. Число благоприятных исходов $m = 2$ (количество выбираемых человек).
3. По формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Ответ: 0,4.
2. Число благоприятных исходов $m = 2$ (количество выбираемых человек).
3. По формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Ответ: 0,4.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "С классикой всё понятно. Но иногда считать 'в лоб' слишком долго. Тогда на помощь приходят противоположные события."
Этап 5. Практикум. Противоположные события (8 мин)
Цель этапа: научить выбирать рациональный путь решения задачи через дополнение до единицы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Посмотрите на задачу: 'Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года'. Но мы сначала решим другую: 'Вероятность того, что насос проработает без поломок год, равна 0,98. Найдите вероятность того, что он сломается'. Какое событие здесь противоположное?" | Отвечают: "Событие 'сломается' противоположно событию 'не сломается'. $P = 1 - 0,98 = 0,02$". Решают задачу про тостер через разность вероятностей: $0,94 - 0,82 = 0,12$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Запомните: если в задаче есть слова 'не меньше', 'хотя бы один' или даны вероятности выхода из строя — всегда проверяйте, не проще ли решить через противоположное событие."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: оперативная проверка усвоения навыка решения задач №5 ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "У вас на столах лежат карточки с двумя задачами. Вариант 1 и Вариант 2. Решаем самостоятельно. Ответы записываем в поле 'Ответ' как в бланке ЕГЭ." | Самостоятельно решают задачи на карточках. |
1 мин | Выводит ответы на экран. "Сверьте свои ответы. Поднимите руку, у кого две верные задачи? У кого одна?" | Сверяют ответы, проводят самооценку. |
Задачи для самостоятельной работы (пример)
1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Китая.
2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну батарейку. Найдите вероятность того, что она исправная.
2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну батарейку. Найдите вероятность того, что она исправная.
Дополнительная карточка (если останется время)
1. В коробке 12 карандашей, из них 3 красных. Наугад выбирают один карандаш. Найдите вероятность того, что он окажется не красным.
2. Вероятность успешного запуска прибора равна 0,87. Найдите вероятность того, что запуск окажется неуспешным.
3. В классе 25 учеников, из них 15 занимаются в математическом кружке. Наугад выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что он не посещает математический кружок.
1. В коробке 12 карандашей, из них 3 красных. Наугад выбирают один карандаш. Найдите вероятность того, что он окажется не красным.
2. Вероятность успешного запуска прибора равна 0,87. Найдите вероятность того, что запуск окажется неуспешным.
3. В классе 25 учеников, из них 15 занимаются в математическом кружке. Наугад выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что он не посещает математический кружок.
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: подведение итогов, фиксация достижений и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Наш практикум подходит к концу. Мы сегодня отлично поработали с вашими авторскими задачами и прототипами ЕГЭ. Запишите домашнее задание. Есть ли вопросы по сегодняшним задачам?" | Записывают задание, задают вопросы, оценивают свою работу на уроке. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — ученик составил корректные авторские задачи, успешно справился с взаимопроверкой и решил обе задачи самостоятельной работы без ошибок.
- "4" — допущена одна ошибка в расчетах или в переводе дроби в десятичный вид при верном ходе решения задач.
- "3" — ученик понимает формулу вероятности, но испытывает затруднения в определении числа благоприятных исходов или допускает более двух ошибок в вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая задача сегодня вызвала наибольшее затруднение? | Выявление пробелов в понимании условий задач (логические ловушки). |
На что нужно обратить внимание при записи ответа в бланк ЕГЭ? | Закрепление навыка правильного представления результата (десятичная дробь). |
В каких случаях выгоднее использовать вероятность противоположного события? | Осознание рациональности выбора математического метода. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что вероятность — это не только формулы, но и внимательное чтение текста. Вы молодцы, что попробовали себя в роли авторов задач — это помогает видеть структуру задания 'изнутри'. На следующем уроке мы перейдем к более сложным задачам на теоремы о сложении и умножении вероятностей. Помните: в задании №5 нет места случайности, только ваш расчет и внимательность. До свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | РешуЕГЭ: прототипы №5 (10 задач) | Решить задачи на классическую вероятность и противоположные события. |
Средний (повышающий) | Сборник Ященко, вар. 1-5, задача №5 | Отработать задачи с реальными данными из актуальных вариантов 2025 года. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача о 'нечестной монете' | Найти информацию и разобрать решение задачи, где вероятности выпадения орла и решки не равны. |
Контрольный вопрос: Если вероятность события $A$ равна 0,35, чему равна вероятность того, что событие $A$ не произойдет?
