Преподаватель: Хажи-Алиева Марха
Дата: 22.09.2026
Класс: 11 класс
Тема: Числовой набор и его характеристики: среднее арифметическое, медиана, размах, дисперсия и стандартное отклонение
Тип урока: урок открытия нового знания
Дата: 22.09.2026
Класс: 11 класс
Тема: Числовой набор и его характеристики: среднее арифметическое, медиана, размах, дисперсия и стандартное отклонение
Тип урока: урок открытия нового знания
Числовой набор и его характеристики: среднее арифметическое, медиана, размах, дисперсия и стандартное отклонение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вычислять и интерпретировать среднее арифметическое, медиану, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсию и стандартное отклонение числового набора, а также выбирать показатель, наиболее точно описывающий конкретные данные.
- Познакомить учащихся с назначением основных числовых характеристик набора данных и установить связи между ними.
- Сформировать умение применять формулы к небольшим числовым наборам, выполнять вычисления без смысловых ошибок и проверять правдоподобность результата.
- Развивать умение анализировать данные, сравнивать наборы по нескольким характеристикам и аргументировать выбор показателя.
- Воспитывать ответственное отношение к интерпретации статистических данных и понимание ограничений математических моделей.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение статистических характеристик для анализа данных в учебной, профессиональной и повседневной жизни.
- Проявлять познавательную инициативу при исследовании числовых наборов и выборе способа их описания.
- Понимать необходимость точного и честного представления количественной информации.
- Формировать уверенность в работе с математическими моделями и готовность проверять полученный результат.
Метапредметные
- Извлекать информацию из числового набора, таблицы и краткого описания ситуации.
- Планировать последовательность вычислений, фиксировать промежуточные результаты и осуществлять самопроверку.
- Сравнивать два набора данных по нескольким характеристикам и формулировать обоснованный вывод.
- Представлять результат вычислений в символической, числовой и словесной форме.
- Использовать цифровой калькулятор или электронную таблицу для проверки вычислений, сохраняя математическое обоснование.
Предметные
- Знать определения среднего арифметического, медианы, размаха, дисперсии и стандартного отклонения.
- Уметь находить наибольшее и наименьшее значения, размах и медиану упорядоченного числового набора.
- Уметь вычислять дисперсию как среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего и стандартное отклонение как квадратный корень из дисперсии.
- Уметь объяснять, что характеризуют разброс и центральную тенденцию набора данных.
- Уметь выбирать подходящую числовую характеристику для описания набора и обосновывать свой выбор.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения статистических характеристик для анализа результатов обучения и будущей профессиональной деятельности.
- Оценивают собственную готовность выполнять вычисления и корректировать ошибки.
- Проявляют ответственное отношение к выводам, сделанным на основе ограниченного набора данных.
- Осознают ценность аргументированного, а не интуитивного сравнения числовой информации.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель исследования числового набора и планируют порядок вычислений.
- Контролируют соответствие результата формуле и условию задачи.
- Сравнивают собственное решение с эталоном, находят и исправляют вычислительные ошибки.
- Оценивают степень освоения каждого алгоритма с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют характеристики по назначению: положение набора и разброс данных.
- Моделируют вычисление дисперсии через таблицу отклонений от среднего.
- Анализируют влияние выброса на среднее арифметическое, медиану и размах.
- Устанавливают связь между дисперсией и стандартным отклонением.
- Проверяют правдоподобность ответа по единицам измерения и величине результата.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах при сравнении способов вычисления и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий и корректности интерпретации.
- Аргументируют выбор показателя, используя числовые данные.
- Согласуют решение в группе и представляют его классу кратко и доказательно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя числовыми наборами: A = 4, 5, 5, 6, 10 и B = 2, 5, 5, 6, 12.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке каждого уровня на ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «нахожу медиану», «вычисляю дисперсию», «объясняю стандартное отклонение» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить памятку с формулами: среднее арифметическое, размах, дисперсия и стандартное отклонение; разместить её на доске или слайде.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использование встроенного калькулятора для проверки квадратных корней.
- Подготовить таблицу для работы группы: значение, отклонение от среднего, квадрат отклонения.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для демонстрации наборов, эталона решения и итоговой схемы.
- Разделить доску на части: «Центральная тенденция», «Разброс», «Алгоритмы», «Вывод».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование и показать практическую значимость числовых характеристик.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать числа, а исследовать, как несколько показателей позволяют описать целый набор данных. На экране представлены результаты двух условных команд: A = 4, 5, 5, 6, 10 и B = 2, 5, 5, 6, 12. Внимательно посмотрите на них и пока не пытайтесь вычислять всё подряд." | Рассматривают два набора, фиксируют их в тетрадях и отмечают первое впечатление: "Наборы похожи", "В наборе B есть более маленькое и более большое значение". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Как ответить на вопрос, какая команда выступила более стабильно? Достаточно ли одного среднего значения? Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите мнение с соседом и приведите один аргумент." | 30 секунд формулируют личное мнение, около минуты обсуждают его в парах, затем предлагают варианты: "Нужно сравнить разброс", "Средние могут совпасть, но данные распределены по-разному". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже заметили, что одного числа иногда недостаточно для описания данных. Сейчас мы вспомним знакомые способы характеристики набора и обнаружим, какие новые показатели нужны для оценки разброса."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать алгоритмы упорядочивания набора, нахождения среднего, медианы, минимума, максимума и размаха.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает набор A и говорит: "Запишите набор в тетрадь. Какой первый шаг нужен перед поиском медианы? Что означает среднее арифметическое? Как найти размах? Отвечайте полными математическими фразами." | Записывают: "Для медианы набор нужно упорядочить по возрастанию"; "Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество"; "Размах равен разности между наибольшим и наименьшим значениями". |
2 мин | Учитель предлагает быстро вычислить характеристики набора A: "Работаем устно, но промежуточные рассуждения проговариваем. Найдите среднее, медиану, минимум, максимум и размах набора 4, 5, 5, 6, 10." | Вычисляют: среднее 6, медиана 5, минимум 4, максимум 10, размах 6. Один ученик объясняет ход вычислений у доски. |
2 мин | Учитель фиксирует ответы и задаёт вопрос: "Среднее набора A равно 6, а медиана равна 5. Почему они различаются? Как наличие значения 10 влияет на среднее?" | Формулируют вывод: "Значение 10 больше остальных и увеличивает среднее; медиана зависит от положения центрального элемента". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем описывать центр набора и его крайние значения. Но пока у нас нет удобного показателя, который учитывает отклонение каждого числа от среднего. Именно этот вопрос станет задачей следующего этапа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при сравнении разброса и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к наборам A и B: "У обоих наборов сумма равна 30, значит, среднее арифметическое равно 6. Медиана в обоих случаях равна 5, а размах равен 6 и 10 соответственно. Можно ли сказать, что набор B менее однороден? Как доказать это не только по крайним значениям, но и по всем наблюдениям?" | Сравнивают наборы, отвечают: "По размаху B более разбросан", "Нужен показатель, учитывающий каждое отклонение от среднего". |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Сначала запишите её сами, затем объединитесь в пары и выберите точную формулировку. В цели должны быть действие и результат." | Формулируют цель: "Научиться вычислять дисперсию и стандартное отклонение и использовать их вместе с другими характеристиками для сравнения наборов". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно не только знать формулы, но и понимать смысл каждого результата. Перейдём к построению алгоритма, который позволит измерить общий разброс значений."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить алгоритмы вычисления дисперсии и стандартного отклонения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: "Для набора x₁, x₂, ..., xₙ со средним арифметическим x̄ отклонение каждого значения равно xᵢ − x̄. Почему нельзя просто сложить отклонения?" Учитель предлагает проверить это на наборе 4, 5, 5, 6, 10. | Вычисляют отклонения: −2, −1, −1, 0, 4; замечают, что их сумма равна 0. Формулируют: "Положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожаются". |
3 мин | Учитель продолжает: "Чтобы избавиться от знаков, возведём отклонения в квадрат. Среднее арифметическое квадратов отклонений называется дисперсией. Записываем формулу: D = ((x₁ − x̄)² + ... + (xₙ − x̄)²) / n. Что показывает D?" | Записывают формулу и объясняют: "Дисперсия характеризует разброс значений относительно среднего, но измеряется в квадратных единицах". |
3 мин | Учитель показывает следующую связь: "Чтобы получить показатель в тех же единицах, что и исходные данные, извлечём квадратный корень из дисперсии. Стандартное отклонение обозначают σ: σ = √D. Сравните смысл D и σ." | Формулируют: "Стандартное отклонение показывает типичный масштаб отклонения от среднего и выражено в тех же единицах, что и данные". |
2 мин | Учитель вместе с классом строит таблицу для набора A: "Среднее равно 6. Заполним три столбца: значение, отклонение, квадрат отклонения. Суммируем квадраты и разделим на количество значений." | Заполняют таблицу: 4 | −2 | 4; 5 | −1 | 1; 5 | −1 | 1; 6 | 0 | 0; 10 | 4 | 16. Находят сумму квадратов 22, дисперсию D = 22/5 = 4,4, стандартное отклонение σ = √4,4 ≈ 2,1. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n. Размах: R = x_max − x_min. Дисперсия: D = ((x₁ − x̄)² + ... + (xₙ − x̄)²)/n. Стандартное отклонение: σ = √D. Чем больше D и σ, тем сильнее значения разбросаны относительно среднего».
Эталон решения
Для набора A = 4, 5, 5, 6, 10: x̄ = (4 + 5 + 5 + 6 + 10)/5 = 30/5 = 6. Отклонения равны −2, −1, −1, 0, 4. Квадраты отклонений: 4, 1, 1, 0, 16. D = (4 + 1 + 1 + 0 + 16)/5 = 22/5 = 4,4. σ = √4,4 ≈ 2,1. Медиана равна 5, минимум равен 4, максимум равен 10, размах R = 10 − 4 = 6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили полный алгоритм: нашли среднее, вычислили отклонения, возвели их в квадрат, нашли среднее квадратов и извлекли корень. Теперь проверим алгоритм на другом наборе и научимся проговаривать смысл каждого результата."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления характеристик и научиться интерпретировать полученные значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с набором B = 2, 5, 5, 6, 12 и говорит: "Используйте таблицу из трёх столбцов. Найдите среднее, медиану, минимум, максимум, размах, дисперсию и стандартное отклонение. Один ученик считает, второй проверяет порядок действий, затем поменяйтесь ролями." | В парах вычисляют характеристики набора B. Получают: x̄ = 6; медиана 5; минимум 2; максимум 12; R = 10. Отклонения: −4, −1, −1, 0, 6; квадраты: 16, 1, 1, 0, 36; D = 54/5 = 10,8; σ = √10,8 ≈ 3,3. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решение: "Покажите не только итог, но и таблицу отклонений. Какая строка является наиболее значимой для дисперсии? Почему?" | Одна пара демонстрирует таблицу, учащиеся отвечают: "Значение 12 даёт квадрат отклонения 36, поэтому сильно увеличивает дисперсию". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на понимание: "Сравните A и B. Среднее и медиана совпали, но стандартные отклонения различны. Какой набор стабильнее и почему?" | Формулируют вывод: "Набор A стабильнее, потому что его стандартное отклонение примерно 2,1, а у B — примерно 3,3; значения A в среднем ближе к среднему". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм и увидели, что выброс влияет не только на максимум и размах, но и на дисперсию. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он выполнять вычисления без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритмов и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выберите уровень, соответствующий вашей уверенности. Минимальный уровень проверяет базовые характеристики, базовый включает дисперсию, повышенный требует интерпретации. Можно начать с обязательного задания и затем перейти выше." | Выбирают карточку уровня и записывают выбранный уровень в верхней части листа. |
4 мин | Учитель выдаёт задания. Минимальный уровень: для набора 3, 3, 4, 6, 9 найти среднее, медиану, минимум, максимум и размах. Базовый уровень: для набора 1, 4, 4, 7, 9 найти среднее, дисперсию и стандартное отклонение. Повышенный уровень: сравнить наборы C = 5, 5, 6, 6, 8 и D = 2, 5, 6, 7, 10, имеющие одинаковое среднее, и обосновать, какой набор менее однороден. | Индивидуально выполняют выбранное задание, записывают формулы и промежуточные вычисления. В повышенном задании сравнивают не менее двух характеристик. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: для базового набора среднее равно 5, отклонения −4, −1, −1, 2, 4, квадраты 16, 1, 1, 4, 16, D = 38/5 = 7,6, σ ≈ 2,8. "Проверьте решение по шагам, а не только конечное число. Отметьте место первой ошибки." | Сверяют каждую строку, подчёркивают совпавшие этапы, исправляют ошибки другим цветом и записывают причину ошибки: неверно упорядочен набор, перепутано деление на n, пропущен квадрат или неправильно извлечён корень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что точность зависит от последовательности действий. Теперь объединим все характеристики в единую систему и обсудим, какой показатель выбирать в реальной задаче."
Этап 7. Включение в систему знаний и применение (4 мин)
Цель этапа: применить характеристики к реальному контексту и аргументировать выбор показателя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Два кандидата выполняли пять тренировочных тестов. Первый получил 70, 72, 71, 69, 68 баллов, второй — 50, 90, 70, 70, 70. Средний результат одинаков — 70. Кого можно назвать более стабильным? Какой показатель нужно использовать?" | В парах оценивают данные, называют стандартное отклонение или размах как показатель стабильности. Формулируют: "У первого результаты ближе к среднему, поэтому он стабильнее". |
2 мин | Учитель обобщает на доске схему: "Центральное положение описывают среднее и медиана; крайние значения — минимум и максимум; общий размах — R; разброс всех значений — D и σ. Почему иногда медиана надёжнее среднего?" | Отвечают: "Медиана меньше зависит от единичного выброса". Записывают схему в тетрадь и приводят пример ситуации с необычно большим значением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что статистическая характеристика выбирается не механически: нужно учитывать вопрос, выбросы и смысл единиц измерения. Осталось зафиксировать, чему каждый научился и что требует повторения."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить способы вычисления, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Поставьте знак напротив утверждений, которые можете подтвердить: я нахожу медиану; вычисляю размах; составляю таблицу отклонений; нахожу дисперсию; объясняю смысл стандартного отклонения; выбираю показатель для сравнения наборов." | Отмечают освоенные действия, выделяют один пункт, который требует повторения. |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: почему при вычислении дисперсии отклонения возводят в квадрат; чем стандартное отклонение удобнее дисперсии для интерпретации?" | Пишут краткие ответы: "Чтобы отрицательные и положительные отклонения не уничтожались"; "Стандартное отклонение выражено в тех же единицах, что и исходные данные". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом проверьте, записали ли вы формулы и план вычисления." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились описывать числовой набор не одним, а системой показателей. Проверьте дома не только арифметику, но и смысл результата: где центр данных, насколько они разбросаны и какой показатель лучше отвечает на вопрос задачи."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены все требуемые характеристики выбранного задания, формулы записаны корректно, таблица отклонений заполнена без ошибок, вычисления аккуратны, а вывод о разбросе обоснован числовыми данными.
- «4» — верно выполнены основные вычисления, допущена одна несущественная арифметическая ошибка или недостаточно полно сформулирован вывод, но алгоритм дисперсии и стандартного отклонения понятен.
- «3» — правильно найдены среднее, медиана и размах, но допущены ошибки при составлении отклонений, возведении в квадрат или вычислении дисперсии; решение позволяет восстановить ход рассуждений.
- Ниже отметки «3» — отсутствует понимание последовательности вычислений либо не записаны формулы и промежуточные действия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о дисперсии и стандартном отклонении? | Выявление осознания назначения новых характеристик и их связи с разбросом. |
На каком шаге вычисления дисперсии вы могли бы допустить ошибку? | Выявление точек затруднения в алгоритме: среднее, отклонения, квадраты или деление на количество значений. |
Почему двух одинаковых средних может быть недостаточно для сравнения наборов? | Проверка понимания различия между центральной тенденцией и разбросом. |
Какой показатель вы выберете для набора с единичным выбросом и почему? | Оценка умения переносить знания на новую ситуацию и аргументировать выбор медианы или другого показателя. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать числовой набор как систему данных и описывать его с разных сторон. Среднее и медиана помогают понять центральное положение, а размах, дисперсия и стандартное отклонение — оценить разброс. Типичная ошибка — потерять скобки при вычислении отклонений или забыть возвести их в квадрат, поэтому дома обязательно записывайте промежуточные шаги. На следующем уроке мы продолжим анализировать статистические данные и рассмотрим, как характеристики используются при решении практических задач и интерпретации выборок."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение среднего арифметического, медианы, наибольшего и наименьшего значений и размаха для небольших числовых наборов; в каждом случае сначала упорядочить данные. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на порядок элементов при поиске медианы и правильное вычисление размаха. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на вычисление дисперсии и стандартного отклонения числовых наборов из 5–7 значений с обязательной таблицей «значение — отклонение — квадрат отклонения». | Закрепляет полный алгоритм; при проверке смотреть на правильность среднего, знаков отклонений, квадратов и деления на количество значений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два числовых набора с одинаковым средним, но разным разбросом, вычислить для них медиану, размах, дисперсию и стандартное отклонение и написать вывод о том, какой набор более однороден. | Развивает исследовательское мышление и умение конструировать пример; при проверке оценить корректность вычислений и аргументированность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти медиану набора с чётным числом элементов?», «Что показывает разность между наибольшим и наименьшим значениями?», «Почему дисперсия не может быть отрицательной?», «В каких единицах измеряется стандартное отклонение?», «Как единичный выброс может повлиять на среднее и медиану?»
