Комбинаторика: правило произведения, размещения, перестановки и сочетания
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать тип комбинаторной задачи и выбирать правило произведения, формулу размещений, перестановок или сочетаний для решения не менее четырёх из пяти предложенных задач, объясняя, имеет ли значение порядок объектов.
- Образовательная задача: вывести и применять формулы числа размещений, перестановок и сочетаний, различать упорядоченный и неупорядоченный выбор.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие, выделять этапы выбора, строить математическую модель и проверять разумность результата.
- Коммуникативная задача: аргументированно объяснять выбор формулы в паре и группе, сравнивать разные способы решения.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к математическому обоснованию решений и готовность самостоятельно проверять ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость комбинаторики для анализа данных, программирования, проектирования и задач вступительных испытаний.
- Проявляют познавательную самостоятельность при выборе способа решения и проверке полученного результата.
- Понимают ценность точного обоснования, а не только получения числового ответа.
- Развивают устойчивость к сложным задачам и готовность корректировать ошибочную стратегию.
Метапредметные
- Анализируют условие задачи, выделяют количество объектов, число выбираемых объектов и значение порядка.
- Строят краткую математическую модель ситуации через дерево вариантов, произведение или формулу.
- Сравнивают способы решения и аргументируют выбор наиболее подходящего.
- Осуществляют самопроверку по эталону и выявляют причину ошибки.
- Используют математическую речь для объяснения алгоритма решения.
Предметные
- Знать правило произведения и обозначения $A_n^k$, $P_n$, $C_n^k$.
- Уметь различать размещения, перестановки и сочетания по признакам «выбираем все или часть» и «важен или не важен порядок».
- Уметь вычислять $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $P_n=n!$ и $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
- Уметь решать комбинаторные задачи из бытового, информационного и экзаменационного контекста.
- Владеть способом проверки результата через смысл задачи и связь $A_n^k=C_n^k\cdot P_k$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению комбинаторных задач.
- Связывают изучаемые модели с будущей профессиональной или учебной деятельностью.
- Формируют смыслообразование через понимание роли порядка в реальных выборах.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и взаимопроверке.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют последовательность анализа комбинаторной задачи.
- Контролируют вычисления и соответствие формулы условию.
- Сравнивают решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения четырёх моделей по итогам урока.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по признакам «порядок важен» и «выбираются все или часть».
- Моделируют варианты с помощью дерева решений и таблицы.
- Устанавливают связь между правилом произведения и формулами комбинаторики.
- Преобразуют текстовую ситуацию в математическое выражение.
- Проверяют формулу на небольшом числе объектов непосредственным перечислением.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в парах критерии выбора формулы и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы к решению одноклассника.
- Аргументируют позицию с использованием математических терминов.
- Принимают иную стратегию решения и корректно указывают на ошибку.
- Представляют результат группы классу в сжатой и понятной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с четырьмя сюжетами: код, распределение ролей, рассадка, выбор комиссии.
- Распечатать карточки четырёх типов с задачами для групп — по одной на группу из 3–4 человек, всего 6 комплектов.
- Распечатать индивидуальную самостоятельную работу трёх уровней — по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить карточки «порядок важен» и «порядок не важен» — по две на парту.
- Вывести на доску таблицу признаков: выбираем все или часть; порядок важен или нет; повторения разрешены или нет.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для «Билета на выход» — по одному на ученика.
- Заранее записать на доске обозначения факториала и формулы $A_n^k$, $P_n$, $C_n^k$.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры и таймер на 3–5 минут.
- Разместить на отдельном слайде памятку выбора формулы и критерии самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую проблему, которую нельзя решить одним перебором.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто подставлять числа в формулы, а исследовать, почему одни выборы считаются одинаковыми, а другие — разными. Приготовьте тетради и ручки, на доске запишите дату и тему урока." | Готовят рабочее место, записывают дату и тему: «Комбинаторика: правило произведения, размещения, перестановки и сочетания». |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Представьте, что нужно создать четырёхзначный код из цифр 1, 2, 3 и 4 без повторений. Сколько кодов получится? А если из этих же цифр выбирают набор для замка, где порядок не важен? Подумайте молча, затем обсудите ответ с соседом." Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала записывают индивидуальные предположения, затем обсуждают их в парах и формулируют: «В коде порядок важен, в наборе для замка — нет». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Один и тот же набор объектов может давать разное число вариантов в зависимости от роли порядка. Сейчас мы выясним, как быстро распознавать такие ситуации и считать их без полного перебора."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить правило произведения, факториал и представление о последовательном выборе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задачу: "Для поездки можно выбрать один из 3 маршрутов до вокзала и один из 2 маршрутов от вокзала до места встречи. Сколько разных путей существует? Объясните, почему ответ находится умножением, а не сложением." | Решают устно, отвечают: «3 умножить на 2, потому что каждому первому выбору соответствует 2 вторых выбора; всего 6 путей». |
2 мин | Учитель просит восстановить понятие факториала: "Запишите, чему равны $1!$, $3!$, $5!$. Почему $n!$ удобно использовать при последовательном выборе всех $n$ объектов?" | Выполняют вычисления: «$1!=1$, $3!=6$, $5!=120$», формулируют: «При выборе всех объектов число вариантов равно $n\cdot(n-1)\cdot...\cdot1$». |
1 мин | Учитель показывает две записи: $4\cdot3\cdot2$ и $\frac{5!}{2!}$: "Сравните их и объясните, в какой ситуации сокращение факториалов помогает." | Сравнивают выражения, отвечают: «$4\cdot3\cdot2=24$, а $\frac{5!}{2!}=60$; факториал удобно сокращать, когда выбирается последовательность из части объектов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили последовательный выбор и факториал. Теперь проверим, достаточно ли этого правила для разных сюжетов и где именно возникает необходимость различать порядок."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при классификации задач и сформулировать план открытия новых формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам четыре карточки: «назначить председателя и секретаря из 6 человек», «выбрать 3 человек в комиссию из 6», «расставить 6 книг на полке», «создать пароль из 3 разных букв из 6». Учитель говорит: "Расположите карточки по сходству. Обязательно объясните, учитывается ли порядок." | В парах классифицируют ситуации, подписывают «порядок важен» или «порядок не важен», предполагают: назначения и пароль различаются перестановкой выбранных объектов, комиссия — нет. |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "В чём разница между комиссией из Ани, Бориса и Веры и комиссией из Веры, Ани и Бориса? А между первым и вторым местом на соревновании? Можно ли одной формулой считать все четыре карточки?" Затем фиксирует на доске цель: «Вывести классификацию и формулы». | Отвечают: «Комиссии одинаковы, потому что состав тот же; места различаются, потому что важен результат каждого участника». Формулируют цель: «Научиться выбирать подходящую модель и формулу». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: сначала нужно понять структуру выбора, а уже потом вычислять. Дальше мы сами построим четыре модели и свяжем их с правилом произведения."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести формулы размещений, перестановок и сочетаний через последовательный выбор и учёт порядка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: "Сначала рассмотрим упорядоченный выбор $k$ объектов из $n$. На первое место можно поставить $n$ объектов, на второе — $n-1$, и так далее. Значит, по правилу произведения получаем $n(n-1)...(n-k+1)$. Запишем это короче: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Такие выборки называются размещениями." | Записывают формулу $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ и объяснение: «Выбирается часть объектов, порядок важен». |
2 мин | Учитель предлагает пример: "Из 7 кандидатов выбирают председателя, заместителя и секретаря. Почему это размещения? Запишите выражение и вычислите." Учитель просит одного ученика объяснить решение у доски. | Решают: $A_7^3=7\cdot6\cdot5=210$. Объясняют: «Выбраны 3 из 7, должности различны, порядок назначения важен». |
2 мин | Учитель продолжает: "Если упорядочиваются все $n$ объектов, то получаем перестановки. Первый объект выбирается $n$ способами, второй — $n-1$, пока не останется один. Поэтому $P_n=n!$. Рассадка пяти человек в ряд — это $P_5=5!$." | Фиксируют: «Перестановки — это размещения всех объектов», вычисляют $P_5=120$. |
2 мин | Учитель ставит вопрос: "Как из размещений получить неупорядоченный выбор? Каждая группа из $k$ объектов образует $k!$ размещений, потому что её элементы можно переставить. Поэтому число сочетаний равно $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$." | Записывают формулу сочетаний и объясняют деление на $k!$: «Одинаковый состав был посчитан столько раз, сколько существует его перестановок». |
2 мин | Учитель предлагает сравнить два сюжета: "Из 10 учеников выбрать 3 для команды и назначить из 10 учеников капитана, заместителя и игрока. Какая модель подходит в каждом случае?" | Формулируют: «Для команды $C_{10}^3$, потому что порядок не важен; для должностей $A_{10}^3$, потому что роли различны». |
Запись в тетрадях
- Правило произведения: если первый выбор можно сделать $n_1$ способами, второй — $n_2$ способами и так далее, то общее число вариантов равно $n_1n_2...n_r$.
- Размещения: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — выбираем $k$ объектов из $n$, порядок важен.
- Перестановки: $P_n=n!$ — упорядочиваем все $n$ объектов.
- Сочетания: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — выбираем $k$ объектов из $n$, порядок не важен.
- Связь: $A_n^k=C_n^k\cdot P_k$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не набор разрозненных формул, а единую логику: сначала спрашиваем, выбираем ли мы все объекты, затем проверяем значение порядка. Теперь применим эту логику к конкретным задачам и будем проговаривать каждый выбор."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм распознавания модели и научиться обосновывать выбор формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам карточки с задачами: "1) Сколько трёхбуквенных кодов без повторений можно составить из 8 букв? 2) Сколько способов выбрать 4 участников олимпиады из 9? 3) Сколькими способами можно расставить 6 разных книг? 4) Сколько способов выбрать президента и секретаря из 8 человек? Для каждой задачи запишите не только ответ, но и фразу «порядок важен/не важен»." | В группах решают задачи и оформляют мини-таблицу «условие — модель — формула — ответ». Получают: $A_8^3=336$, $C_9^4=126$, $P_6=720$, $A_8^2=56$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Передайте карточку соседней группе. Проверьте три пункта: правильно ли определена модель, записана ли формула, соответствует ли ответ условию. Ошибку формулируйте доброжелательно: «Мы считаем иначе, потому что...»." | Проверяют карточку другой группы, отмечают две сильные стороны и один вопрос по приёму «Две звезды и пожелание». |
2 мин | Учитель разбирает спорный случай: "Почему в задаче о выборе команды нельзя использовать размещения? Представьте одну и ту же команду в разных порядках и посчитайте, сколько раз она была бы учтена." | Отвечают: «Одна команда была бы посчитана $4!$ раз, поэтому размещения завышают ответ; нужно использовать сочетания». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились определять модель до вычислений. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли он пройти весь алгоритм без подсказки группы."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение классификацией и формулами, организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт вариант базового уровня: "Решите четыре задачи и в каждой укажите признак выбора. 1) Из 7 книг выбрать 3 для выставки. 2) Из 6 участников назначить первое, второе и третье место. 3) Расставить 5 разных флагов в ряд. 4) Составить четырёхзначный код без повторений из 9 цифр. Записывайте формулу до вычислений." Для желающих предлагает повышенную задачу: "Сколько способов выбрать из 8 человек команду из 3 человек и назначить капитана?" | Индивидуально решают: $C_7^3=35$, $A_6^3=120$, $P_5=120$, $A_9^4=3024$. В повышенной задаче получают $C_8^3\cdot3=168$ или $A_8^3/2=168$. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране: "Сначала проверьте вид выбора, затем формулу и только потом арифметику. Если ошибка обнаружена, не стирайте первый вариант: зачеркните его одной линией и рядом запишите причину исправления." | Сверяют решение с эталоном, отмечают условным знаком место ошибки: «классификация», «формула» или «вычисление». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно различаете все четыре модели, жёлтую — если нужна одна подсказка, красную — если пока путаете размещения и сочетания. Поднимите руку те, кому нужна короткая консультация." | Показывают карточку, формулируют личное затруднение, при необходимости исправляют одну задачу по алгоритму «порядок — все или часть — формула». |
Эталон решения
Задача: из 8 человек выбрать команду из 3 и назначить капитана. Сначала выбираем состав команды без учёта порядка: $C_8^3=\frac{8!}{3!5!}=56$. В каждой выбранной команде капитана можно назначить 3 способами. Поэтому общее число вариантов равно $56\cdot3=168$. Эквивалентно: выбираем капитана 8 способами, затем двух участников команды из оставшихся семи: $8\cdot C_7^2=8\cdot21=168$. Здесь нельзя использовать только $C_8^3$, потому что роль капитана делает участников неравноправными.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что вычислительная часть обычно начинается с правильного смыслового вопроса. Зафиксируйте свою типичную ошибку: перепутали порядок, забыли деление на $k!$ или допустили арифметическую неточность. Завершим урок проверкой главного вывода."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм выбора формулы, оценить достижение цели и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель просит заполнить «Билет на выход»: "Закончите три фразы: «Если порядок важен и выбирается часть объектов, я использую...», «Если порядок не важен, я использую...», «Самая частая моя ошибка сегодня...»." | Письменно отвечают: «размещения», «сочетания», указывают личную ошибку или подтверждают отсутствие затруднений. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему код и состав команды из одних и тех же символов считаются по-разному? Сформулируйте ответ одним предложением. Что нужно спросить себя перед выбором формулы?" | Формулируют: «В коде порядок различает варианты, а в команде важен только состав». Называют вопросы: «Выбираются все или часть? Важен ли порядок?» |
1 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень, а повышенный или дополнительный — по готовности. В каждой задаче сначала записывайте словесное обоснование модели, затем формулу и вычисления." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают «Билет на выход». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены 4 основные задачи самостоятельной работы, для каждой правильно определена модель, формулы записаны без ошибок, решение повышенной задачи обосновано или выполнена содержательная проверка.
- «4» — верно решены 3 основные задачи, в одной задаче допущена ошибка в вычислении или неполное обоснование выбора формулы, но общий признак модели определён правильно.
- «3» — верно решены 2 основные задачи, распознаны хотя бы две модели, однако присутствует одна существенная ошибка в различении размещений и сочетаний.
- Ниже базового уровня — менее двух верных решений или отсутствие объяснения выбора формулы; ученику предлагается повторно разобрать алгоритм по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно спросить себя перед выбором формулы? | Проверка осознания алгоритма классификации задачи. |
Чем размещение отличается от сочетания на примере урока? | Выявление понимания роли порядка и состава выборки. |
Какая ошибка возникла у вас при самостоятельной работе? | Диагностика индивидуальных затруднений для последующей коррекции. |
В какой реальной ситуации комбинаторная модель может быть полезна? | Связь предметного знания с функциональной грамотностью и будущей деятельностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что комбинаторика начинается не с механического выбора формулы, а с анализа смысла задачи. Главный вопрос — различаются ли варианты только составом или ещё и порядком объектов. Типичная ошибка — использовать размещения там, где один и тот же состав переставляется и потому считается несколько раз. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные комбинаторные модели и задачи, в которых нужно последовательно применять несколько правил."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 задач: по две на правило произведения, размещения и сочетания; дополнительно решить одну задачу на перестановки всех объектов. В каждой задаче указать, важен ли порядок. | Закрепляет распознавание четырёх моделей; при проверке смотреть на словесное обоснование и соответствие формулы условию. |
Средний (повышающий) | Решить 4 смешанные задачи, в которых требуется выбрать модель среди нескольких вариантов, включая задачу на выбор команды с назначением одной роли и задачу на код без повторений. | Развивает анализ условия и последовательное применение нескольких правил; проверять, не посчитаны ли одинаковые составы повторно. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу на размещения или сочетания, решить её двумя способами и объяснить, почему второй способ даёт тот же результат. | Развивает создание математической модели и доказательное мышление; оценивать корректность сюжета, формулы и проверки через связь $A_n^k=C_n^k\cdot P_k$. |
Контрольные вопросы перед выходом: «В задаче выбрали 3 объекта из 10, порядок не имеет значения. Какая формула нужна? Если из 10 участников назначают 3 разные должности, какая модель используется? Что означает деление на $k!$ в формуле сочетаний?»
