Граф, связный граф, представление задачи с помощью графа. Стартовая диагностика
Цели и задачи
- Цель: Сформировать у учащихся понятие графа и его элементов (вершины, ребра), научить определять связность графа и использовать графы как инструмент моделирования условий математических задач.
- Образовательные задачи: ввести определения графа, ребра, вершины, степени вершины, связного графа; провести стартовую диагностику базовых знаний по теории вероятностей и логике.
- Развивающие задачи: развивать навыки абстрактного мышления, умение переводить текстовую информацию на язык графических моделей.
- Воспитательные задачи: способствовать осознанию практической значимости математики в анализе сложных систем и сетей.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли статистики и теории графов в современной науке.
- Критическое отношение к информации и стремление к логической точности аргументации.
- Развитие навыков самоконтроля и ответственности за результат стартовой диагностики.
Метапредметные
- Умение создавать и преобразовывать модели (графы) для решения задач.
- Навыки смыслового чтения при анализе условий задач из учебника Высоцкого и Ященко.
- Способность самостоятельно планировать пути достижения целей и выбирать эффективные способы решения задач.
Предметные
- Знать определения графа, вершины, ребра, связного графа.
- Уметь строить граф по текстовому описанию отношений между объектами.
- Уметь находить степени вершин и проверять граф на связность.
- Владеть навыками первичного анализа структуры графа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития математической науки.
Регулятивные УУД
- Самостоятельная постановка целей учебной деятельности при переходе к изучению нового раздела вероятности и статистики.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств (графов) для представления и решения учебных задач.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию при обсуждении способов представления связей в графе.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить распечатку стартовой диагностики (тест на 5-7 минут) по количеству учеников в классе.
- Учебник: Математика. Вероятность и статистика. 10—11 классы. Базовый и углублённый уровни. /И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко/ под редакцией И. В. Ященко. Открыть главу 1.
- Распечатать раздаточный материал: карточки с задачей о Кёнигсбергских мостах для этапа мотивации.
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) Определение графа; 2) Примеры связных и несвязных графов; 3) Задача о рукопожатиях.
- Проверить наличие цветных маркеров для рисования графов на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и стартовая диагностика (10 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу в новом учебном году и выявить уровень остаточных знаний по вероятности и логике за курс основной школы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, десятиклассники! Поздравляю вас с началом учебного года. В этом году наш курс 'Вероятность и статистика' становится более глубоким и теоретическим. Мы начнем с инструмента, который объединяет математику, логику и программирование — с теории графов. Но прежде чем мы двинемся вперед, нам нужно понять, что осталось в нашем 'багаже' знаний." | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие учебников Высоцкого и Ященко на партах. |
8 мин | "Я раздаю вам листы со стартовой диагностикой. В ней всего 5 вопросов: на классическое определение вероятности, комбинаторику и логические высказывания. Это не контрольная, а наш 'компас'. У вас 7 минут. Приступайте." | Выполняют индивидуально задания на карточках. Решают задачи типа: 'Сколькими способами можно выбрать 2 дежурных из 5?' или 'Найдите вероятность выпадения четного числа на кубике'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Спасибо, сдаем работы. Результаты помогут мне скорректировать наши повторения. А теперь — к загадке, с которой началась целая наука."
Этап 2. Мотивация и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: вызвать интерес к теме через историческую задачу и подвести к необходимости введения понятия 'граф'.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Посмотрите на слайд. Это карта города Кёнигсберг в XVIII веке. Жители любили гулять по семи мостам через реку Преголя. Возник вопрос: можно ли пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды, и вернуться в начало? Попробуйте схематично изобразить острова и мосты в тетради. Как нам упростить эту картинку, чтобы не рисовать дома и деревья?" | Пытаются нарисовать схему в тетрадях. Предлагают заменить острова точками, а мосты — линиями. Формулируют затруднение: 'Не получается пройти так, чтобы не повторяться'. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Леонард Эйлер в 1736 году понял, что важна не форма островов, а то, как они связаны. Он заменил объекты точками, а связи — линиями. Так появился первый граф. Запишем тему урока."
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести формальные определения и свойства графов, опираясь на текст учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Откройте учебник на странице 8. Найдите определение графа. Давайте запишем: Граф — это совокупность точек, называемых вершинами, и соединяющих их линий, называемых ребрами. Обратите внимание: ребра могут быть кривыми, это не меняет сути графа. Сколько вершин и ребер было в нашей задаче о мостах?" | Читают определение, записывают его. Отвечают: "4 вершины (части суши) и 7 ребер (мостов)". |
7 мин | "Введем понятие степени вершины — это количество ребер, выходящих из нее. Посмотрите на рисунок 1.2 в учебнике. И еще одно важное свойство: связность. Как вы понимаете слово 'связный'? Можем ли мы из любой вершины попасть в любую другую по ребрам? Если да — граф связный. Давайте нарисуем на доске пример несвязного графа." | Записывают определение степени вершины. Один ученик у доски рисует две отдельные группы вершин (например, треугольник и отдельный отрезок), объясняя, что это один граф, но он несвязный. |
Запись в тетрадях
- Граф G = (V, E), где V — множество вершин, E — множество ребер.
- Степень вершины deg(v) — число ребер, инцидентных вершине v.
- Граф называется связным, если между любыми двумя его вершинами существует путь.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь, когда у нас есть аппарат терминов, давайте научимся превращать запутанные условия задач в четкие схемы-графы."
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка навыка построения графа по текстовому условию (моделирование).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Разберем задачу из учебника: 'В турнире по шахматам участвуют 6 человек. Каждый должен сыграть с каждым по одной партии. Сколько всего партий будет сыграно?'. Давайте представим это в виде графа. Что будет вершинами? Что — ребрами? Прошу одного желающего к доске." | Ученик у доски ставит 6 точек (игроков). Начинает соединять их ребрами (партиями). Класс считает количество ребер. Приходят к выводу: из каждой вершины выходит по 5 ребер. Сумма степеней 30, значит ребер 15. |
Эталон решения
Вершины: \( V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Ребро существует между любыми двумя вершинами (полный граф \( K_6 \)). Количество ребер: \( \frac{n(n-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \). Ответ: 15 партий.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Видите? Граф позволил нам не запутаться в переборе вариантов. Это и есть представление задачи с помощью графа."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить умение самостоятельно строить граф и определять его связность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Выполните задание: Нарисуйте граф знакомств для компании из 5 человек (Аня, Боря, Вера, Гена, Даша), если: Аня знакома с Борей и Верой, Гена знаком с Дашей, Боря знаком с Дашей. Является ли этот граф связным? Можно ли передать записку от Веры к Гене?" | Рисуют граф в тетрадях. Анализируют связи. Отвечают на вопросы: 'Граф связный, так как есть путь Вера-Аня-Боря-Даша-Гена. Записку передать можно'. |
2 мин | "Посмотрите на эталон на слайде. Поднимите руки, у кого ребра пересеклись? Помните, что пересечение ребер — это не новая вершина, если там нет точки!" | Сверяют свои рисунки с образцом. Исправляют ошибки в визуализации. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что связность графа напрямую влияет на возможность коммуникации в системе."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: обобщить изученное и зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш первый урок в 10 классе подходит к концу. Мы вспомнили базу и открыли для себя мир графов. Что в этой теме показалось вам самым неожиданным? Запишите домашнее задание: оно дифференцированное." | Высказывают мнения (например, о том, что мосты Кёнигсберга — это математика). Записывают номера из учебника. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Граф построен верно, все вершины подписаны, правильно определена связность и степени вершин, даны обоснованные ответы на вопросы к задаче.
- "4" — Граф построен верно, но допущена неточность в определении степени одной из вершин или отсутствует подпись одной вершины.
- "3" — Граф построен с ошибками (пропущено ребро), но общее понимание структуры (вершины/ребра) продемонстрировано.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую реальную ситуацию из жизни вы могли бы представить в виде графа прямо сейчас? | Проверка понимания универсальности модели графа. |
Что сложнее: нарисовать граф или понять, связный он или нет? | Выявление субъективных трудностей в визуализации и анализе. |
Как знание о степенях вершин помогло бы Эйлеру решить задачу о мостах быстрее? | Стимулирование аналитического мышления и прогнозирования. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали первый шаг в теорию графов — язык, на котором говорят социальные сети, логистические компании и интернет-провайдеры. Ваша диагностика показала, что фундамент у нас есть, а сегодняшняя работа с графами — что вы готовы к абстрактным моделям. На следующем уроке мы узнаем, почему в Кёнигсберге всё-таки нельзя было пройти по всем мостам, и познакомимся с понятием 'дерево'. Всем спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 12, №1.4, №1.6 | Построение графов по описанию и нахождение степеней вершин. |
Средний (повышающий) | Учебник, стр. 13, №1.10 | Задача на доказательство существования графа с заданными степенями вершин. |
Продвинутый (дополнительный) | Проектное мини-задание | Изобразить схему линий метро вашего города (или ближайшего крупного) в виде графа. Указать самую 'степенную' вершину (станцию-узел). |