Умножение и деление обыкновенных дробей. Взаимнообратные дроби
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно выводить и применять правило деления обыкновенных дробей через использование взаимнообратных чисел.
- Образовательные: познакомить с понятием взаимнообратных чисел; вывести алгоритм деления дробей; научить выполнять деление дроби на дробь и дроби на натуральное число.
- Развивающие: развивать навыки исследовательского поиска и моделирования математических процессов; формировать логическое мышление через установление причинно-следственных связей.
- Воспитательные: воспитывать культуру общения при работе в парах и группах; формировать интерес к предмету через практико-ориентированные задачи.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Навыки сотрудничества в различных социальных ситуациях.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию из текстов, строить логические рассуждения, выдвигать гипотезы и доказывать их.
- Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели, выбирать способы решения учебных задач, осуществлять самоконтроль и коррекцию.
- Коммуникативные: умение работать в паре и группе, аргументировать свою позицию, слушать и слышать собеседника.
Предметные
- Знать определение взаимнообратных чисел и их основное свойство.
- Уметь находить число, обратное данному (обыкновенной дроби, натуральному числу).
- Владеть алгоритмом деления обыкновенных дробей.
- Уметь применять деление дробей при решении текстовых задач с реальным контекстом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению на основе познавательных интересов.
- Осознание ценности математических знаний для решения практических жизненных задач.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Планирование последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Создание и преобразование моделей и схем для решения задач.
Коммуникативные УУД
- Организация учебного взаимодействия в паре (распределение ролей, договаривание о правилах).
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заданиями для исследования (по 1 на парту, всего 15 шт.).
- Подготовить набор бумажных полосок (длиной 12 см и 24 см) для моделирования деления.
- Загрузить интерактивную презентацию с визуализацией правила деления дробей.
- Подготовить ссылку на онлайн-тренажер (например, на платформе РЭШ или Учи.ру).
- Выписать на доску ключевые примеры для этапа актуализации.
- Подготовить карточки «Светофор» (красный, желтый, зеленый) для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создание эмоционального настроя и актуализация практической значимости темы через игровой контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами превращаемся в исследователей-кулинаров. Представьте, что нам нужно приготовить десерт по старинному рецепту, где все ингредиенты указаны в частях и дробях. Но вот незадача: рецепт рассчитан на огромную компанию, а нам нужно разделить его на маленькие порции. Справимся?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и раздаточного материала на столах. |
2 мин | «Для начала давайте проверим нашу "кулинарную" интуицию. Если у нас есть 2 целых яблока и мы делим каждое пополам, сколько кусочков получится? А если у нас есть половина яблока и мы делим её ещё на две части? Запишите свои догадки в виде чисел на полях тетради». | Отвечают: «4 кусочка», «четвертинка». Пытаются соотнести житейский опыт с математической записью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы видим, что делить целые числа мы умеем, а вот как грамотно записать и выполнить деление дроби на дробь — это тайна, которую мы раскроем сегодня».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторение умножения дробей и выявление проблемы при попытке выполнить деление.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На доске записаны примеры на умножение. Решите их устно: 2/3 * 3/4; 5/7 * 7/5; 1/8 * 8. Что интересного вы заметили во втором и третьем примерах? Как называются такие числа?» | Решают устно. Замечают, что в последних примерах получается 1. Отвечают: «Числа как будто перевернуты», «Взаимнообратные». |
3 мин | «А теперь попробуйте решить задачу: Площадь прямоугольника 4/5 кв.м, его длина 2/3 м. Найдите ширину. Какое действие нужно выполнить? Запишите выражение». Учитель фиксирует на доске: 4/5 : 2/3 = ? | Формулируют действие: деление. Сталкиваются с затруднением: «Мы не знаем правила, как делить одну дробь на другую». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, умножать мы умеем, а делить — нет. Но математика — это страна связей. Может быть, умножение нам поможет?»
Этап 3. Открытие нового знания. Исследовательская работа (12 мин)
Цель этапа: использование метода моделирования и исследовательского метода для вывода правила деления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем в парах. У вас на столах бумажные полоски длиной 12 см. Представьте, что это 1 целая. Разделите её пополам (согните). Какая часть получилась? (1/2). А теперь разделите 1/2 на 1/4. Сколько раз 1/4 помещается в 1/2? Посмотрите на сгибы». | Сгибают полоски, визуально определяют, что в половине содержится две четверти. Отвечают: «Получилось 2». |
4 мин | «Запишем наше открытие: 1/2 : 1/4 = 2. А теперь посмотрите на пример 1/2 * 4/1. Сколько получится? Сравните результаты. Какой вывод можно сделать о делении на дробь?» Учитель использует сократовский диалог, подводя к мысли о замене деления умножением на обратное число. | Вычисляют: 1/2 * 4 = 2. Замечают совпадение. Выдвигают гипотезу: «Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь». |
4 мин | «Давайте проверим нашу гипотезу на примере из учебника (стр. 98). Прочитайте правило. Совпадает ли оно с нашим открытием? Попробуем решить ту задачу про площадь: 4/5 : 2/3». | Читают правило в учебнике. Применяют его к задаче: 4/5 * 3/2 = 12/10 = 1.2 м. Проверяют умножением: 1.2 * 2/3 = 6/5 * 2/3 = 4/5. Верно! |
Запись в тетрадях
Правило: Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.
a/b : c/d = a/b * d/c
a/b : c/d = a/b * d/c
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы совершили открытие! Оказывается, деление — это просто умножение "наоборот". Теперь закрепим этот навык».
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: смена деятельности и физическая разрядка с элементами математической игры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Игра "Взаимнообратные". Я называю дробь. Если у неё есть обратная (например, 2/3), вы поднимаете руки вверх и хлопаете. Если я называю число 0 (у которого нет обратного), вы приседаете. Если я называю дробь, обратную которой вы не можете быстро придумать — просто качаете головой». Называет: 1/2, 5, 10/3, 0, 1, 7/9. | Выполняют движения в соответствии с правилами игры. На 0 — приседают, на дроби — хлопают. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Размялись, вспомнили про ноль — молодцы! Возвращаемся к нашим вычислениям».
Этап 5. Первичное закрепление и практика (10 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма на типовых примерах разного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполняем задания из учебника №445 (а, б, в) — фронтально у доски. Вызываю по одному человеку. Остальные работают в тетрадях. Внимание на сокращение дробей перед умножением!» | Ученики по очереди выходят к доске, проговаривают алгоритм: «Пишу делимое, меняю деление на умножение, переворачиваю делитель...» |
5 мин | «Теперь работаем в группах по 4 человека. Задание "Математическое лото". Нужно соотнести карточку с примером на деление и карточку с ответом. Одна группа работает у интерактивной доски (ИКТ)». | Собирают лото, обсуждая решения внутри группы. Группа у доски перетаскивает блоки в электронном приложении. |
Эталон решения
5/9 : 10/27 = 5/9 * 27/10 = (5 * 27) / (9 * 10) = (1 * 3) / (1 * 2) = 3/2 = 1 1/2
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство групп справились без ошибок. Те, кто запутался в сокращении — не переживайте, сейчас мы попробуем творческий подход».
Этап 6. Творческое задание и межпредметные связи (8 мин)
Цель этапа: применение знаний в нестандартной ситуации, развитие креативности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Задание "Архитектор будущего". У вас есть план комнаты площадью 15 3/4 кв.м. Одна стена уже построена и её длина 4 1/2 м. Вам нужно вычислить длину второй стены и нарисовать эскиз этой комнаты в масштабе (1 клетка = 1/2 метра). Это задача на стыке математики и технологии». | Переводят смешанные числа в неправильные дроби, выполняют деление. Рисуют прямоугольник в тетради, рассчитывая количество клеток. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши проекты выглядят профессионально! Дроби помогают нам строить и созидать».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: самооценка результатов деятельности и постановка задач на следующий урок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок-исследование подходит к концу. Возьмите свои карточки "Светофор". Зелёный — всё понял, могу научить другого. Жёлтый — понял, но нужно ещё потренироваться. Красный — пока трудно, нужна помощь». | Поднимают карточки, оценивая свой уровень понимания темы. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Выберите тот уровень, который вам по силам. И не забудьте про творческий бонус!» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — все вычисления выполнены верно, дроби сокращены, выделена целая часть, творческое задание выполнено аккуратно.
- «4» — допущена 1 вычислительная ошибка при верном алгоритме, или не выполнено сокращение результата.
- «3» — ученик понимает алгоритм (заменяет деление на умножение), но допускает более 2 ошибок в таблице умножения или сокращении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое открытие мы сегодня сделали? | Осознание нового способа действия (алгоритма). |
Что общего у деления и умножения дробей? | Выявление структурных связей между операциями. |
В какой момент урока вам было труднее всего? | Диагностика личных затруднений для коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, вы сегодня отлично поработали! Мы не просто выучили правило из учебника, а сами его сконструировали. Помните, что в математике, как и в жизни, чтобы решить сложную задачу (разделить), иногда нужно просто посмотреть на неё с другой стороны (умножить на обратное). На следующем уроке мы научимся применять это правило в сложных уравнениях. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | №446, №448 | Отработка стандартного правила деления дробей. |
Средний | №452 + задача про рецепт | Решение задач на деление в несколько действий. |
Продвинутый | Придумать сказку | Творческое задание: «Приключения Дроби в стране Взаимнообратных чисел». |
Контрольный вопрос перед выходом: «Чему равно произведение взаимнообратных чисел?» (Ожидаемый хором ответ: «Единице!»).