Правила отыскания НОД и НОК чисел
Цели и задачи
- Цель: научить учащихся находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел на основе их разложения на простые множители.
- Образовательная задача: вывести алгоритмы нахождения НОД и НОК, закрепить навыки разложения чисел на простые множители.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение сравнивать и анализировать алгоритмы, формировать навыки самоконтроля.
- Воспитательная задача: воспитывать культуру математической речи, умение работать в парах и слушать коллег.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критичности мышления при анализе собственных ошибок.
- Осознание математики как части общечеловеческой культуры.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения и устанавливать аналогии.
- Развитие навыков смыслового чтения (извлечение информации из алгоритмов в учебнике).
- Умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения НОД и НОК, понимать их практическое значение.
- Уметь раскладывать натуральные числа на простые множители.
- Владеть алгоритмом нахождения НОД и НОК для двух и более чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Планирование последовательности промежуточных целей.
- Саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
- Учет позиции собеседника.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (приём "Математическое лото") — 15 комплектов.
- Подготовить презентацию со слайдами: "Алгоритм НОД", "Алгоритм НОК", "Проверь себя".
- Проверить наличие таблицы простых чисел на форзаце учебника или распечатать её как плакат.
- Подготовить сигнальные карточки (красный, желтый, зеленый) для рефлексии на каждого ученика.
- Заготовить на доске два столбика для сравнения: НОД и НОК.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать благоприятный психологический настрой, заинтриговать учащихся практической задачей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня мы продолжаем путешествие по стране Делимости. Но сначала ответьте: любите ли вы праздники? Представьте, что нам нужно собрать одинаковые подарки из 48 конфет 'Мишка' и 36 конфет 'Белочка'. Какое наибольшее количество подарков мы сможем сделать?" | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Слушают задачу, начинают прикидывать варианты в уме. |
2 мин | "Вижу, вы начали подбирать числа. А если конфет будет 480 и 360? Или еще больше? Всегда ли удобно подбирать числа вручную? Сегодня мы откроем секретный способ, который позволит находить такие числа быстро и безошибочно. Запишите тему урока: 'Правила отыскания НОД и НОК'." | Записывают число и тему урока в тетради. Осознают, что старых знаний (подбора) может быть недостаточно для больших чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы овладеть этим секретом, нам нужно вспомнить наш главный инструмент — простые числа и разложение на множители."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (простые числа, разложение на множители) через активную форму работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Проведем 'Цифровой диктант'. Я называю утверждение, если оно верное — ставите 1, если нет — 0. 1) Число 7 — простое. 2) Число 15 — простое. 3) Любое четное число делится на 2. 4) Число 1 не является ни простым, ни составным. 5) Разложить на простые множители — значит представить число в виде суммы простых чисел." | Пишут в тетрадях последовательность цифр. Ожидаемый ответ: 10110. |
2 мин | "Поменяйтесь тетрадями с соседом. Сверьтесь с эталоном на доске. Поднимите руки, у кого нет ошибок. Молодцы! Теперь вспомним, как разложить число 24 на простые множители 'столбиком'. Кто пойдет к доске?" | Проводят взаимопроверку. Один ученик у доски раскладывает 24: $24 = 2^3 \cdot 3$. Остальные проверяют в тетрадях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как раскладывать числа. Теперь применим это умение для нашей задачи с подарками."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать проблему — как именно из разложений получить НОД и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Вернемся к числам 48 и 36. Разложите их на простые множители в тетрадях. (Учитель делает это на доске). $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$, $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. Мы ищем НОД(48, 36). Посмотрите на множители. Какие из них есть и там, и там? Как нам использовать эти 'общие' части, чтобы получить 12?" | Раскладывают числа. Видят, что в обоих разложениях есть двойки и тройки. Пытаются сформулировать правило: нужно взять только те множители, которые повторяются. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы правы, нужно искать 'общие интересы' чисел. Давайте оформим это в виде четкого правила."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы нахождения НОД и НОК, используя метод сравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Работаем по алгоритму НОД. 1. Разложить на множители. 2. Подчеркнуть общие множители. 3. Найти их произведение. Давайте запишем это для 48 и 36. Какие множители общие? Правильно, две двойки и одна тройка. $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. Значит, мы можем сделать 12 подарков. А теперь — НОК. Это число, которое 'жадное', оно хочет содержать в себе все множители обоих чисел. Как нам составить НОК(48, 36)?" | Записывают алгоритм НОД. Диктуют учителю общие множители. Рассуждают о НОК: 'Нужно взять все множители первого числа и добавить те, которых нет, из второго'. |
6 мин | "Смотрите, приём 'Дополнение'. Берем все множители числа 48 ($2, 2, 2, 2, 3$). Теперь смотрим на 36. Там две двойки (они у нас уже есть) и две тройки (а у нас только одна). Добавляем одну тройку. Итого: $48 \cdot 3 = 144$. Давайте сравним правила в учебнике на стр. 148 и 150 с нашими выводами." | Записывают алгоритм НОК. Читают учебник, подтверждают свои догадки. Один ученик вслух зачитывает правила. |
Запись в тетрадях
НОД: выписать общие множители и перемножить их.
НОК: выписать множители одного числа и дописать недостающие множители другого, перемножить.
НОК: выписать множители одного числа и дописать недостающие множители другого, перемножить.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритмы у нас в руках. Теперь нужно научиться не путать их. НОД — это 'скромный' (только общее), НОК — 'жадный' (всё сразу)."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритмов на конкретных примерах с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Решим №650(а) и №672(а). К доске приглашаются двое. Один ищет НОД(24, 36), другой НОК(24, 36). Важное условие: каждый шаг нужно комментировать громко, чтобы класс слышал алгоритм." | Двое работают у доски, остальные в тетрадях. Ученики комментируют: "Раскладываю 24 на множители... подчеркиваю общие..." |
2 мин | "Минутка отдыха! Встаньте. Если я называю простое число — хлопок над головой, если составное — приседание. 2, 9, 13, 21, 19, 25." | Выполняют физические упражнения, закрепляя знания о типах чисел. |
Эталон решения
$24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$.
$НОД(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
$НОК(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 72$.
$НОД(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
$НОК(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 72$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, с проговариванием получается лучше. Теперь попробуйте свои силы самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала и умение применять алгоритмы в индивидуальном режиме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "У вас на столах карточки с двумя вариантами. Выберите любой и найдите НОД и НОК пары чисел: Вариант 1 — (12 и 18), Вариант 2 — (15 и 25). Время пошло!" | Выбирают вариант и решают задачи самостоятельно. |
2 мин | "Внимание на экран! Сверьте свои результаты с ответами. Если всё верно — поставьте себе '+' на полях. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять, на каком шаге алгоритма вы сбились." | Сверяют ответы: В1: НОД=6, НОК=36; В2: НОД=5, НОК=75. Проводят самоанализ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Кто нашел ошибку и понял её — вы молодцы, это путь к знанию. Кто решил всё верно — вы готовы к более сложным задачам."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить свою деятельность и получить дифференцированное задание на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Подведем итог. Чем отличается нахождение НОД от НОК? Воспользуемся приёмом 'Светофор'. Зеленый — я всё понял и могу научить другого. Желтый — я понял, но мне нужно еще потренироваться. Красный — мне трудно, нужна помощь." | Отвечают на вопрос учителя, формулируя главное различие. Поднимают карточки соответствующего цвета. |
3 мин | "Запишем домашнее задание. Оно на доске в таблице. Обратите внимание на творческое задание — оно для тех, кто хочет получить дополнительную пятерку." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — безошибочно выполнены разложения на множители, верно найдены НОД и НОК во всех заданиях самостоятельной работы.
- "4" — допущена одна вычислительная ошибка при умножении множителей, но алгоритм применен верно.
- "3" — верно выполнено разложение на множители, но перепутаны правила (например, для НОД взяты все множители вместо общих).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме НОК самый трудный? | Выявление этапа, где чаще всего возникают затруднения (дополнение множителей). |
Где в жизни нам может пригодиться НОД? | Осознание практической значимости темы (раздел имущества, упаковка товаров). |
Как бы ты объяснил тему другу, который пропустил урок? | Проверка глубины понимания и способности к обобщению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали и открыли важные правила, которые будут сопровождать вас до самого 11 класса (и даже на ЕГЭ!). Помните: математика — это не только цифры, это порядок в мыслях. Если вы научитесь раскладывать задачи 'по полочкам', как мы сегодня раскладывали числа на множители, любая проблема станет решаемой. До встречи на следующем уроке!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №651, №673 | Найти НОД и НОК для трех пар чисел по алгоритму. |
Средний (повышающий) | №680 | Решить задачу на нахождение НОК в реальной ситуации (движение автобусов). |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект | Придумать и оформить на листе А4 свою задачу на НОД или НОК 'Сказочная математика'. |
Контрольный вопрос: 'Может ли НОД двух чисел быть больше их НОК? Почему?' Подумайте над этим дома.