Объем прямоугольного параллелепипеда. Развертка
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут самостоятельно выводить формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a * b * c, соотносить ее с площадью основания и высотой, а также распознавать и конструировать развертку фигуры.
- Образовательная задача: Научить вычислять объем параллелепипеда в стандартных единицах измерения и понимать принцип построения развертки.
- Развивающая задача: Развивать пространственное воображение через моделирование объемных тел из плоских заготовок.
- Воспитательная задача: Формировать навыки аккуратности при выполнении чертежей и работе с раздаточным материалом.
Планируемые результаты
Личностные
- Развитие познавательного интереса к изучению геометрии.
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы при выводе формулы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения прямоугольного параллелепипеда, куба, их элементов (грани, ребра, вершины).
- Владеть формулой объема V = abc и уметь применять ее для решения практических задач.
- Уметь идентифицировать развертку прямоугольного параллелепипеда среди других плоских фигур.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Знаково-символические действия (моделирование); логические действия (анализ, синтез, сравнение).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить набор моделей прямоугольных параллелепипедов разного размера (деревянные или пластиковые).
- Распечатать развертки прямоугольного параллелепипеда для каждого ученика (на бумаге плотностью 120-160 г/м2).
- Подготовить демонстрационные кубики с ребром 1 см (единичные кубы) — не менее 30 штук.
- Загрузить интерактивную модель «Развертка параллелепипеда» на ПК/интерактивную доску.
- Распечатать листы самооценки для этапа рефлексии.
- Учебник: Математика, 6 класс (автор Н.Я. Виленкин и др.), открыть на параграфе «Объем прямоугольного параллелепипеда».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать ситуацию успеха и заинтересованности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверьте, всё ли у вас готово: учебник, тетрадь, линейка, карандаш и ножницы. Сегодня мы продолжаем наше путешествие в мир объемных фигур. Посмотрите на предметы на моем столе: коробка конфет, системный блок компьютера, кирпич. Что их объединяет?» | Ученики проверяют готовность мест. Отвечают: «Все они имеют форму прямоугольного параллелепипеда». |
2 мин | «Верно. Представьте, что нам нужно отправить посылку в этой коробке. Как узнать, сколько вещей в неё поместится? Или сколько воздуха внутри этой комнаты? Какую величину нам нужно измерить?» Учитель подводит к понятию объема. | Ученики предполагают: «Нужно измерить вместимость», «Нужно узнать объем». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правильно, нам нужен объем. Запишите тему урока в тетради: "Объем прямоугольного параллелепипеда. Развертка".»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить основные элементы параллелепипеда и понятие площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним строение нашей фигуры. Я показываю элемент на модели, а вы хором называете его. Сколько у параллелепипеда граней? Какую форму они имеют? Сколько ребер? Сколько вершин? Что такое измерения параллелепипеда?» | Ученики отвечают: «6 граней, прямоугольники. 12 ребер, 8 вершин. Измерения — это длина, ширина и высота». |
2 мин | «Вспомните, в каких единицах мы измеряли площадь? А в каких единицах, по вашему мнению, измеряется объем?» Учитель показывает кубик 1х1х1 см. | Ученики отвечают: «Площадь в квадратных сантиметрах. Объем, наверное, в кубических». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили элементы фигуры. Теперь давайте узнаем, как именно эти элементы помогают вычислить объем.»
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: экспериментальным путем вывести формулу объема и познакомиться с разверткой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Приём "Лаборатория". У меня есть прозрачная коробка. Ее длина 4 см, ширина 3 см, высота 2 см. Давайте заполним ее единичными кубиками (1 см³). Сколько кубиков поместится в один слой на дно? Сколько таких слоев будет?» Учитель демонстрирует процесс. | Ученики считают: «В первом ряду 4 кубика, таких рядов 3. Значит в слое 4 * 3 = 12 кубиков. Всего 2 слоя. 12 * 2 = 24 кубика». |
3 мин | «Как мы получили число 24, используя измерения 4, 3 и 2? Попробуйте составить формулу в общем виде, если измерения — это a, b и c.» Учитель записывает формулу на доске: V = a * b * c. | Ученики формулируют: «Нужно перемножить длину, ширину и высоту». Записывают формулу в тетрадь. |
4 мин | «А теперь представьте, что мы разрезали нашу коробку по ребрам и разложили на плоскости. Получится фигура, которая называется разверткой. Посмотрите на экран (интерактивная модель). Из каких фигур состоит развертка параллелепипеда? Сколько их?» | Ученики наблюдают за анимацией: «Развертка состоит из 6 прямоугольников. Они попарно равны». |
Запись в тетрадях
V = a · b · c (объем параллелепипеда)
V = a³ (объем куба)
S_осн = a · b, следовательно V = S_осн · h
V = a³ (объем куба)
S_осн = a · b, следовательно V = S_осн · h
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формула выведена! Теперь мы можем вычислить объем любого параллелепипеда, зная его размеры. Давайте проверим это на практике.»
Этап 4. Первичное закрепление и практическая работа (10 мин)
Цель этапа: отработать навык вычисления объема и закрепить представление о развертке через моделирование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Откройте учебник на стр. 124, задача №820. Вычислите объем аквариума, если его длина 60 см, ширина 30 см, а высота 40 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах и литрах (вспомните, что 1 л = 1 дм³).» | Ученики решают задачу: 60 * 30 * 40 = 72000 см³. Переводят в дециметры: 6 * 3 * 4 = 72 дм³ = 72 литра. |
7 мин | «Приём "Конструктор". У вас на партах лежат заготовки разверток. Аккуратно вырежьте их и сложите модель параллелепипеда. Перед тем как склеить, измерьте линейкой стороны прямоугольников и вычислите объем будущей фигуры.» | Ученики вырезают развертку, выполняют измерения, записывают вычисления в тетрадь и склеивают модель. |
Эталон решения (задача №820)
1) V = 60 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 72000 \text{ см}^3
2) 72000 \text{ см}^3 = 72 \text{ дм}^3 = 72 \text{ л}
Ответ: 72 л.
2) 72000 \text{ см}^3 = 72 \text{ дм}^3 = 72 \text{ л}
Ответ: 72 л.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с ролью конструкторов. Ваши модели помогут вам лучше понимать устройство объемных тел.»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень первичного усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполните небольшое задание на карточках. Вариант 1: Найти V, если a=5, b=4, c=10. Вариант 2: Найти V, если a=6, b=3, c=5. Дополнительно: Как изменится объем, если высоту увеличить в 2 раза?» | Ученики самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран: «Сверьте свои результаты с эталоном. Если всё верно — поставьте себе "+".» | Ученики проводят самопроверку, фиксируют ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Кто справился без ошибок? Молодцы! Те, у кого возникли трудности, не переживайте — дома будет возможность закрепить навык.»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить свою деятельность и получить инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте подведем итог. Посмотрите на свои модели. Что нового вы сегодня открыли? Какая формула стала главной? Приём "Незаконченное предложение": 1. Сегодня я узнал... 2. Было трудно... 3. Теперь я могу...» | Ученики по желанию зачитывают свои варианты ответов, анализируют свою работу. |
4 мин | Учитель диктует домашнее задание и дает пояснения по уровням сложности. «Запишите задание в дневники. Обратите внимание на творческое задание.» | Ученики записывают ДЗ, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Модель собрана аккуратно, расчеты объема выполнены без ошибок, верные единицы измерения.
- «4» — Модель собрана, расчеты верны, но допущены мелкие неточности в оформлении или единицах измерения.
- «3» — Модель собрана с дефектами, в расчетах объема допущены ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу ты будешь использовать, чтобы найти объем комнаты? | Проверка усвоения основного математического аппарата. |
Что произойдет с разверткой, если мы изменим высоту параллелепипеда? | Развитие пространственного мышления и понимания структуры фигуры. |
Где в жизни тебе может пригодиться умение вычислять объем? | Осознание практической значимости изученного материала. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы совершили важное открытие — научились измерять пространство внутри тел. Мы увидели, что математика — это не просто цифры, а инструмент для создания реальных предметов, от маленьких коробок до огромных зданий. На следующем уроке мы узнаем, как вычислять площадь поверхности этих тел, используя те самые развертки, которые вы сегодня сделали. Спасибо за активную работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | Учебник, №821, №822 | Решить задачи на прямое применение формулы объема. |
Средний | Задача на карточке | Найти высоту параллелепипеда, если известен его объем и площадь основания. |
Продвинутый | Творческий проект | Сконструировать из картона развертку и модель предмета сложной формы (например, буква Г), состоящего из двух параллелепипедов, и вычислить его общий объем. |
Контрольный вопрос: «Сколько литров воды вмещает куб с ребром 10 см?»