Задачи на совместную работу
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся научатся решать задачи на нахождение времени выполнения работы одним из участников при известном времени совместной работы и времени работы другого участника через алгоритм нахождения разности производительностей.
- Образовательная задача: ввести понятие производительности как части работы, выполняемой в единицу времени; научить представлять всю работу как единицу.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение анализировать условие задачи и строить математическую модель ситуации.
- Воспитательная задача: формировать навыки сотрудничества при работе в парах и ответственного отношения к труду на примере бытовых ситуаций.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Осознание важности распределения труда и совместной деятельности для достижения результата.
- Умение адекватно оценивать свои трудности и успехи в решении новых задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение переводить текстовую информацию в математическую схему, устанавливать причинно-следственные связи.
- Регулятивные: умение формулировать цель урока, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения, слушать партнёра и договариваться о совместном решении.
Предметные
- Знать формулу зависимости работы от производительности и времени ($A = v \cdot t$).
- Уметь находить производительность при совместной работе и производительность отдельного исполнителя.
- Уметь решать задачи на совместную работу, где вся работа принимается за 1.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование мотивации к изучению математики через решение жизненных задач.
Регулятивные УУД
- Контроль процесса и результатов деятельности, внесение необходимых коррективов.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами языка.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с текстом основной задачи (15 шт).
- Подготовить слайд-презентацию с визуализацией грядки, разделённой на части.
- Подготовить сигнальные карточки "Светофор" (красный, жёлтый, зелёный) на каждую парту.
- Выписать на доске формулу связи $A, v, t$ в виде треугольника.
- Распечатать листы самооценки для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (2 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на урок, активизировать внимание учащихся через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы будем помогать двум подругам — Маше и Оле. Представьте, что лето, дача, и бабушка попросила их прополоть грядку. Как вы думаете, если девочки будут работать вместе, они справятся быстрее или медленнее, чем поодиночке? Почему? Сегодня мы научимся точно рассчитывать время такой работы. Проверьте, готовы ли у вас тетради и ручки? Начинаем!" | Здороваются, проверяют готовность мест. Отвечают на вопрос учителя: "Вместе быстрее, потому что они объединяют свои силы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно, силы объединяются. В математике это называется сложением производительностей. Давайте вспомним, что это такое."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия (работа, время, производительность) и действия с обыкновенными дробями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним нашу формулу. Если вся работа — это $A$, время — $t$, то как найти производительность $v$? Посмотрите на доску. Если Оля пропалывает грядку за 15 минут, какую часть грядки она прополет за 1 минуту?" | Отвечают: "Чтобы найти производительность, нужно работу разделить на время: $v = A / t$". Отвечают на вопрос про Олю: "Одну пятнадцатую часть грядки ($1/15$)". |
2 мин | "А если Маша и Оля вместе пропалывают грядку за 12 минут, какую часть они сделают вдвоём за 1 минуту? Запишите это число в тетрадь." | Записывают в тетрадях дробь $1/12$. Один ученик диктует ответ с места. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как находить часть работы за единицу времени. Это и есть ключ к решению нашей задачи."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (5 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему и цель урока на основе конкретной задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Внимание на экран! Задача: Маша и Оля пропалывают грядку за 12 минут, а одна Оля — за 15 минут. Сколько минут пропалывает грядку одна Маша? Некоторые ребята говорят, что нужно просто из 15 вычесть 12 и получится 3 минуты. Как вы думаете, прав ли этот ученик? Почему?" | Обсуждают в парах (приём "Подумай — обсуди в паре"). Отвечают: "Нет, не может Маша одна работать быстрее, чем вдвоём с Олей. 3 минуты — это слишком мало. Время нельзя просто вычитать". |
2 мин | "Верно! Времена вычитать нельзя. А что же можно вычитать в таких задачах? Какова цель нашего урока?" | Формулируют цель: "Научиться находить время работы одного человека, если известно общее время. Наверное, нужно вычитать производительности". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правильно! Наша цель — составить алгоритм, который поможет найти время Маши через части грядки."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения / Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: разработать алгоритм решения задачи и применить его к исходным данным.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте рассуждать. Всю работу (грядку) мы примем за единицу (1). Оля делает $1/15$ грядки в минуту. Вместе они делают $1/12$ грядки в минуту. Как нам найти, какую часть грядки делает Маша за одну минуту? Какое действие нужно совершить?" | Предполагают: "Нужно из общей производительности вычесть производительность Оли. Действие: $1/12 - 1/15$". |
5 мин | "Выполните это вычитание в тетрадях. Напомню, что нам нужен общий знаменатель. Какой он будет для 12 и 15?" Учитель помогает найти НОК(12, 15) = 60. | Считают: $1/12 - 1/15 = 5/60 - 4/60 = 1/60$. Отвечают: "Маша за одну минуту делает $1/60$ часть грядки". |
3 мин | "Если Маша за 1 минуту делает $1/60$ часть, то сколько минут ей понадобится на всю грядку (на 1 целую)? Как это найти?" | Отвечают: "Нужно 1 разделить на $1/60$. Получится 60 минут". Записывают итоговый ответ. |
Запись в тетрадях
1) 1 — вся грядка.
2) $1/12$ — общая производительность (часть/мин).
3) $1/15$ — производительность Оли (часть/мин).
4) $1/12 - 1/15 = 5/60 - 4/60 = 1/60$ (часть/мин) — производительность Маши.
5) $1 : (1/60) = 60$ (мин) — время Маши.
2) $1/12$ — общая производительность (часть/мин).
3) $1/15$ — производительность Оли (часть/мин).
4) $1/12 - 1/15 = 5/60 - 4/60 = 1/60$ (часть/мин) — производительность Маши.
5) $1 : (1/60) = 60$ (мин) — время Маши.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили алгоритм: 1. Найти общую производительность. 2. Найти известную производительность. 3. Найти разность. 4. Найти время через деление единицы на разность."
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на аналогичной задаче с проговариванием во внешней речи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Решим похожую задачу: Две трубы наполняют бассейн за 6 часов. Одна первая труба наполняет его за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба? Работаем по цепочке: один говорит шаг алгоритма, другой записывает на доске." | Ученик 1: "Примем бассейн за 1". Ученик 2: "Общая производительность $1/6$". Ученик 3: "Производительность первой трубы $1/10$". Ученик 4: "Вычитаем: $1/6 - 1/10 = 5/30 - 3/30 = 2/30 = 1/15$". Ученик 5: "Время второй трубы: $1 : (1/15) = 15$ часов". |
Эталон решения
1) $1/6$ (басс/ч) — совместная скорость.
2) $1/10$ (басс/ч) — скорость 1-й трубы.
3) $1/6 - 1/10 = 5/30 - 3/30 = 2/30 = 1/15$ (басс/ч) — скорость 2-й трубы.
4) $1 : (1/15) = 15$ (ч) — искомое время.
2) $1/10$ (басс/ч) — скорость 1-й трубы.
3) $1/6 - 1/10 = 5/30 - 3/30 = 2/30 = 1/15$ (басс/ч) — скорость 2-й трубы.
4) $1 : (1/15) = 15$ (ч) — искомое время.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, алгоритм работает не только с грядками, но и с трубами, и с любыми другими делами!"
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала каждым учеником индивидуально.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Теперь проверьте себя. На карточках задача: Папа и сын красят забор за 2 часа. Один папа покрасил бы его за 3 часа. За сколько часов покрасит забор один сын? Решите самостоятельно." | Решают задачу индивидуально в тетрадях. |
3 мин | Учитель открывает правильное решение на доске: "Сверьтесь с эталоном. Если у вас получилось 6 часов — поднимите зелёный кружок, если есть ошибка — красный." | Проверяют решение: $1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6$; $1 : (1/6) = 6$. Сигнализируют карточками о результате. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу много зелёных карточек. Те, у кого красный — не расстраивайтесь, мы сейчас увидели, где нужно быть внимательнее с общим знаменателем."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить свою деятельность и получить дифференцированное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте вернёмся к Маше и Оле. Какое главное открытие мы сегодня сделали? Что нельзя делать со временем в таких задачах? Заполните листы самооценки, которые лежат у вас на партах." | Отвечают: "Нельзя вычитать время, нужно вычитать производительности (части работы)". Заполняют листы самооценки. |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно разного уровня сложности — выберите то, которое вам по силам, или попробуйте решить всё! Спасибо за урок, вы сегодня отлично потрудились вместе, как Маша и Оля!" | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — задача решена полностью верно, соблюдена логика действий (нахождение производительностей), дан верный ответ с наименованиями.
- "4" — алгоритм выбран верно, но допущена одна вычислительная ошибка при приведении дробей к общему знаменателю.
- "3" — ученик понимает, что нужно вычитать дроби, но не смог довести решение до конца (не нашёл итоговое время).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие с дробями было самым трудным? | Выявление пробелов в технике вычислений (общий знаменатель). |
Почему нельзя просто вычесть 12 из 15 в первой задаче? | Проверка осознанности понимания физического смысла задачи. |
Где в жизни тебе может пригодиться умение рассчитывать время совместной работы? | Связь с практикой и функциональная грамотность. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать одну из самых коварных задач математики. Теперь вы знаете: чтобы работа спорилась, нужно не просто тратить время, а объединять производительность. Если вы сегодня почувствовали, что дроби — это не страшно, а полезно, значит, мы достигли цели. На следующем уроке мы узнаем, что делать, если работников не двое, а трое! До свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 456, 458 из учебника | Решить две типовые задачи на совместную работу (про трубы и маляров) по алгоритму в тетради. |
Средний (повышающий) | Карточка №2 | Задача, где время дано в разных единицах (минуты и часы). Нужно сначала привести к одной единице. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Придумать свою задачу на совместную работу про членов своей семьи и решить её. |
Контрольный вопрос: Если один человек делает работу за 2 часа, а другой за 2 часа, будет ли их совместное время равно 1 часу? Почему?