Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут самостоятельно формулировать распределительное свойство умножения и применять его для вычисления значений выражений вида (a + b) * c и (a - b) * c удобным способом.
- Образовательная задача: Вывести формулу распределительного свойства через геометрическую модель и научить применять её в прямом и обратном направлении (вынесение общего множителя).
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления, умение сравнивать различные способы решения и выбирать наиболее рациональный.
- Воспитательная задача: Формировать навыки коммуникации через работу в парах и уверенность в своих силах при решении нестандартных задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование устойчивого интереса к математике как инструменту упрощения повседневных задач.
- Развитие навыков самоконтроля и адекватной самооценки своих достижений.
- Готовность к конструктивному взаимодействию со сверстниками в процессе выполнения общего задания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы на основе анализа моделей.
- Регулятивные: умение определять цель учебной деятельности, планировать этапы решения проблемы и корректировать действия в соответствии с эталоном.
- Коммуникативные: умение слушать партнёра, формулировать свою точку зрения и аргументированно её отстаивать.
Предметные
- Знать формулировку и буквенную запись распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания.
- Уметь применять свойство для упрощения числовых и буквенных выражений.
- Владеть навыком рациональных вычислений, используя распределительный закон.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом — зачем мне нужно уметь считать быстро).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
Познавательные УУД
- Моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (площадь прямоугольника).
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с изображением составного прямоугольника (15 шт. на класс).
- Подготовить презентацию со слайдами: «Магазин канцелярских товаров», «Геометрическая модель свойства», «Задания для самостоятельной работы».
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить листы самооценки «Светофор» для каждого ученика.
- Открыть учебник математики 5 класса на теме «Свойства умножения».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать положительный эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, ребята! Представьте, что вы пришли в магазин. Вам нужно купить 7 одинаковых наборов для творчества. Каждый набор состоит из альбома за 45 рублей и красок за 55 рублей. Как вы быстрее посчитаете общую стоимость покупки: будете складывать цены, а потом умножать на 7, или сначала узнаете стоимость всех альбомов, потом всех красок и сложите? Сегодня мы узнаем математический секрет, который позволяет делать такие расчёты мгновенно. Проверьте, всё ли готово к нашему путешествию в мир быстрых чисел?» | Ученики приветствуют учителя, проверяют готовность мест. Внимательно слушают задачу о покупках, начинают предлагать свои варианты расчёта («Сначала сложить 45 и 55, получится 100, а потом умножить на 7 — это проще!»). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, ваши головы уже начали работать как калькуляторы! Мы только что нащупали важное правило, которое математики называют распределительным свойством.»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить переместительное и сочетательное свойства умножения, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте разомнёмся. На доске записаны выражения. Найдите их значения самым удобным способом: 1) 25 * 19 * 4; 2) 8 * 125 * 7; 3) 50 * 36 * 2. Какие свойства вы использовали? А теперь посмотрите на выражение 14 * (10 + 2). Можем ли мы применить здесь сочетательное свойство? Почему нет? Запишите это выражение в тетрадь, мы к нему вернёмся через минуту.» | Ученики решают примеры устно, объясняя выбор: «25 на 4 — это 100, 100 на 19 — 1900». Отвечают, что сочетательное свойство здесь не подходит, так как в скобках сложение, а не умножение. Записывают выражение в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Старые правила нам здесь не помогают. Значит, нам нужно открыть новое правило для случая, когда умножение встречается со сложением.»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать проблему невозможности быстрого вычисления без специального свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Посмотрите на экран. Задача: Вычислить 98 * 7 + 2 * 7. Кто сможет решить это в уме за 5 секунд? А теперь 102 * 6. Трудно? В математике есть приём, который превращает такие примеры в детскую игру. Как вы думаете, какая у нас сегодня цель урока? Сформулируйте тему, опираясь на наши рассуждения о покупках и свойствах.» | Ученики пытаются считать в столбик или в уме, понимая, что это занимает время. Формулируют цель: «Узнать новое свойство умножения, чтобы считать легче». Записывают тему урока: «Распределительное свойство умножения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Наша цель — приручить это свойство. Давайте станем исследователями и докажем его с помощью геометрии.»
Этап 4. Открытие нового знания. Работа в парах (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу распределительного свойства через работу с площадью прямоугольника в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «У вас на партах лежат карточки. На них изображен большой прямоугольник, состоящий из двух маленьких: синего и желтого. Сторона a = 5 см, b = 3 см, а общая ширина c = 4 см. Ваша задача в парах: найти площадь всего прямоугольника двумя разными способами. Первый способ — найти общую длину и умножить на ширину. Второй способ — найти площади частей и сложить их. Запишите выражения на карточках.» | Ученики работают в парах. Обсуждают: «Первый способ: (5 + 3) * 4 = 8 * 4 = 32. Второй способ: 5 * 4 + 3 * 4 = 20 + 12 = 32». Фиксируют результаты. |
5 мин | «Сравните результаты. Что вы заметили? Давайте попробуем заменить числа буквами a, b и c. Как будет выглядеть равенство в общем виде? Запишите его на доске. Это и есть распределительный закон! Прочитайте его в учебнике на странице 107. Совпадает ли наш вывод с научным?» | Ученики делают вывод: «Результаты одинаковые! Значит (a + b) * c = a * c + b * c». Один ученик пишет формулу на доске. Читают правило в учебнике, подтверждая своё открытие. |
3 мин | «А что если в скобках будет минус? Например, (10 - 2) * 5. Будет ли работать наше правило? Проверьте это самостоятельно в тетрадях за 1 минуту.» | Ученики проверяют: (10 - 2) * 5 = 8 * 5 = 40. 10 * 5 - 2 * 5 = 50 - 10 = 40. Подтверждают, что для вычитания свойство тоже верно. |
Запись в тетрадях
Распределительное свойство умножения:
1) Относительно сложения: (a + b) · c = ac + bc
2) Относительно вычитания: (a - b) · c = ac - bc
1) Относительно сложения: (a + b) · c = ac + bc
2) Относительно вычитания: (a - b) · c = ac - bc
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели формулу! Теперь мы — обладатели мощного инструмента. Давайте проверим его в деле.»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение свойства на простых примерах с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Давайте решим примеры у доски с объяснением. Пример А: 102 * 5. Как представить 102 в виде суммы удобных чисел? Пример Б: 9 * 38 + 9 * 62. Что общего в этих слагаемых? Правильно, множитель 9. Мы можем применить наше свойство в обратную сторону — вынести 9 за скобки. Кто хочет попробовать?» | Ученики выходят к доске. Комментируют: «102 — это 100 + 2. Умножаем 100 на 5 и 2 на 5, складываем: 500 + 10 = 510». Второй ученик: «В примере Б общий множитель 9. Выносим его: 9 * (38 + 62) = 9 * 100 = 900. Это гораздо быстрее!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили, как числа становятся послушными, когда мы знаем правила? Теперь попробуйте сами.»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала и умение применять свойство в разных ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Перед вами три уровня заданий. Выберите тот, который вам по силам. Уровень 1: Вычислить (20 + 8) * 5. Уровень 2: Вычислить удобным способом 43 * 12 + 57 * 12. Уровень 3: Решить задачу: В магазин привезли 15 ящиков яблок по 12 кг и 15 ящиков груш по 8 кг. Сколько всего кг фруктов привезли? Используйте распределительное свойство.» | Ученики выбирают уровень и решают задачи самостоятельно в тетрадях. Те, кто выбрал 3 уровень, стараются записать решение в одно выражение. |
2 мин | «Внимание на экран! Сверьте свои решения с эталоном. Если всё верно — поставьте плюс на полях. Если есть ошибка — обведите её и исправьте карандашом.» | Ученики проверяют свои работы, анализируют ошибки, если они есть. Поднимают руки те, кто выполнил всё без ошибок. |
Эталон решения
1) $(20 + 8) \cdot 5 = 20 \cdot 5 + 8 \cdot 5 = 100 + 40 = 140$
2) $43 \cdot 12 + 57 \cdot 12 = 12 \cdot (43 + 57) = 12 \cdot 100 = 1200$
3) $15 \cdot 12 + 15 \cdot 8 = 15 \cdot (12 + 8) = 15 \cdot 20 = 300$ кг.
2) $43 \cdot 12 + 57 \cdot 12 = 12 \cdot (43 + 57) = 12 \cdot 100 = 1200$
3) $15 \cdot 12 + 15 \cdot 8 = 15 \cdot (12 + 8) = 15 \cdot 20 = 300$ кг.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы! Большинство справилось. Ошибки — это наши ступеньки к знанию, не бойтесь их.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить свою работу и получить инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наш урок подходит к концу. Возьмите свои листы самооценки. Закрасьте круг: Зелёный — я всё понял и могу научить другого; Жёлтый — я понял, но мне нужно ещё потренироваться; Красный — мне было очень трудно. Также запишите в дневники домашнее задание. Оно тоже разделено по уровням сложности.» | Ученики заполняют листы самооценки, записывают домашнее задание. Несколько учеников озвучивают, что им показалось самым интересным на уроке. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно выполнил все задания выбранного уровня, продемонстрировал знание формулы и умение применять её для рациональных вычислений.
- «4» — допущена 1 вычислительная ошибка при верном ходе рассуждений или не полностью закончено обоснование выбора способа решения.
- «3» — ученик понимает смысл свойства, но допускает ошибки в его записи или применении, требуется помощь учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство мы сегодня 'открыли'? | Проверка усвоения терминологии и темы урока. |
В какой ситуации в магазине нам пригодится это правило? | Оценка понимания практической значимости математики. |
Что было самым сложным: выводить формулу или применять её? | Выявление индивидуальных затруднений для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы отлично поработали в роли исследователей. Мы не просто выучили формулу из учебника, а доказали её сами с помощью геометрии и логики. Помните, что математика — это не про скучные цифры, а про умение находить самые короткие и красивые пути к цели. На следующем уроке мы научимся использовать это свойство для решения сложных уравнений. Спасибо за урок, до свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №559, №560 (а, б) | Вычислить значения выражений, применяя распределительное свойство. |
Средний (повышающий) | Учебник, №565 | Решить текстовую задачу двумя способами, составив числовые выражения. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Придумать свою задачу из жизни (про покупки или ремонт), где распределительное свойство помогает сэкономить время на расчётах. |