Задачи на совместную работу: Маша, Оля и грядка
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно решать задачи на совместную работу двумя арифметическими способами и составлять алгоритм решения.
- Образовательная задача: изучить понятие производительности труда как части работы, выполненной за единицу времени.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через сопоставление двух способов решения и поиск взаимосвязей в обратных задачах.
- Воспитательная задача: формировать навыки сотрудничества через обсуждение гипотез и взаимопроверку.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие навыков анализа жизненных ситуаций (трудовая деятельность) с точки зрения математики.
- Повышение мотивации к изучению предмета через решение практико-ориентированных задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию, строить логическую цепь рассуждений, создавать алгоритм деятельности.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять самоконтроль.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, слушать собеседника и вести диалог.
Предметные
- Знать определение производительности труда и формулу связи работы, времени и производительности.
- Уметь решать задачи на нахождение времени совместной работы и времени одного из участников.
- Уметь составлять и решать задачи, обратные данным.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознание смысла учения и личной ответственности за результат.
- Умение адекватно оценивать свои трудности и достижения.
Регулятивные УУД
- Определение цели учебной деятельности с помощью учителя.
- Составление плана выполнения заданий и работа по алгоритму.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств (схемы, дроби) для решения задач.
- Сравнение различных способов решения одной и той же задачи.
Коммуникативные УУД
- Участие в коллективном обсуждении проблемы.
- Формулирование собственного мнения и позиции.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки с текстом задачи и шаблонами для двух способов решения (по 1 шт. на парту).
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) Условие задачи; 2) Схема 'Работа - Время - Производительность'; 3) Алгоритм решения.
- Подготовить 30 стикеров зеленого и красного цвета для этапа рефлексии.
- Записать на доске тему урока и ключевые слова: 'Производительность', 'Совместная работа', 'Целое'.
- Проверить работу проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать благоприятный психологический настрой, вызвать интерес к теме через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня у нас необычный урок — мы будем помогать двум подругам, Маше и Оле, разобраться с их летней практикой в школьном саду. Но сначала проверьте, всё ли у вас готово: учебник, тетрадь, ручка и светлая голова?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие школьных принадлежностей на рабочих местах. |
2 мин | «Представьте ситуацию: вам нужно убрать класс. Если вы будете работать один, потратите час. А если вчетвером? Как изменится время? Почему? Как мы называем скорость выполнения работы в математике?» | Отвечают: «Время уменьшится», «Потому что мы будем работать вместе», «Это производительность». Обсуждают, что вместе работа идет быстрее. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно, когда мы работаем вместе, наши силы складываются. Сегодня мы узнаем, как математически точно рассчитать время такой работы.»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия (работа, время, производительность) и действия с обыкновенными дробями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним формулу работы. Если A — это работа, t — время, а v — производительность, как они связаны? Запишите формулы в тетрадь. А теперь блиц-опрос: если Маша пропалывает 1/15 грядки за минуту, а Оля 1/12, кто из них работает быстрее?» | Записывают: $A = v \cdot t$, $v = A / t$, $t = A / v$. Отвечают: «Оля работает быстрее, так как 1/12 больше, чем 1/15». Объясняют сравнение дробей с одинаковыми числителями. |
2 мин | «Выполните в тетрадях вычитание: $1/12 - 1/15$. Какой общий знаменатель мы выберем? Это умение нам сейчас очень пригодится.» | Находят НОК(12, 15) = 60. Вычисляют: $5/60 - 4/60 = 1/60$. Один ученик комментирует решение с места. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, фундамент заложен! Мы вспомнили, как находить часть работы и как работать с дробями. Переходим к нашей главной задаче.»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (15 мин)
Цель этапа: решить задачу двумя способами, выявить их особенности и составить алгоритм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Прочитайте задачу на экране: 'Маша и Оля проплывают грядку за 12 минут, а одна Оля за 15 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Маша?'. В чем сложность? Мы знаем общее время, но не знаем объем работы (сколько метров грядка). Что мы можем принять за объем работы?» | Читают условие. Предлагают варианты: «Принять грядку за единицу», «Принять за какое-то число метров». |
6 мин | «Способ 1: Работа с долями. Давайте примем всю грядку за 1. Какую часть грядки девочки пропалывают вместе за 1 минуту? А Оля одна? Как найти производительность Маши?» Учитель записывает решение на доске. | Записывают: 1) $1 : 12 = 1/12$ (грядки/мин) — совместная производительность; 2) $1 : 15 = 1/15$ (грядки/мин) — производительность Оли; 3) $1/12 - 1/15 = 1/60$ (грядки/мин) — производительность Маши; 4) $1 : (1/60) = 60$ (мин). Ответ: 60 минут. |
7 мин | «Способ 2: Введение условных единиц. Давайте представим, что грядка состоит из 60 кустиков сорняков (почему 60?). Сколько кустиков вырывают девочки вместе за минуту? А Оля? Сколько остается Маше?» | Обсуждают, что 60 делится и на 12, и на 15. Решают: 1) $60 : 12 = 5$ (куст/мин) — вместе; 2) $60 : 15 = 4$ (куст/мин) — Оля; 3) $5 - 4 = 1$ (куст/мин) — Маша; 4) $60 : 1 = 60$ (мин). Делают вывод, что ответы совпали. |
Алгоритм решения задачи на совместную работу
- Принять всю работу за единицу (или за удобное число, кратное данным значениям времени).
- Найти производительность каждого участника (часть работы за единицу времени).
- Найти общую производительность (сложением) или производительность одного из участников (вычитанием).
- Разделить всю работу на полученную производительность, чтобы найти искомое время.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что задачу можно решить по-разному. Первый способ универсален, а второй — нагляден. Теперь попробуем 'перевернуть' задачу.»
Этап 4. Первичное закрепление и обратная задача (10 мин)
Цель этапа: закрепить навык через составление обратной задачи и самостоятельное применение алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Ребята, что такое обратная задача? Давайте составим её: теперь мы знаем, что Маша пропалывает грядку за 60 минут, а Оля за 15. Что нам нужно найти?» | Отвечают: «Нужно найти, за сколько они прополют грядку вместе». Формулируют текст задачи в тетрадях. |
6 мин | «Решите полученную обратную задачу любым из двух способов самостоятельно. Кто закончит — сравните ответ с условием первой задачи. Должно получиться 12!» | Решают задачу. Большинство выбирает способ с долями: $1/60 + 1/15 = 1/60 + 4/60 = 5/60 = 1/12$. Время: $1 : (1/12) = 12$ мин. Проверяют результат. |
Эталон решения обратной задачи
1) $1 : 60 = 1/60$ (грядки/мин) — производительность Маши;
2) $1 : 15 = 1/15$ (грядки/мин) — производительность Оли;
3) $1/60 + 1/15 = 5/60 = 1/12$ (грядки/мин) — совместная производительность;
4) $1 : (1/12) = 12$ (мин) — время совместной работы.
2) $1 : 15 = 1/15$ (грядки/мин) — производительность Оли;
3) $1/60 + 1/15 = 5/60 = 1/12$ (грядки/мин) — совместная производительность;
4) $1 : (1/12) = 12$ (мин) — время совместной работы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы успешно справились с 'перевертышем'! Это доказывает, что вы поняли суть совместной работы.»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала в индивидуальном режиме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На карточках у вас задача: 'Один насос наполняет бассейн за 10 часов, а другой за 15 часов. За сколько часов наполнят бассейн оба насоса?'. Решите её, пользуясь нашим алгоритмом.» | Самостоятельно решают задачу в тетрадях. Применяют алгоритм. |
2 мин | Открывает ответ на слайде: «Сверьтесь с эталоном. Поднимите руку, у кого получилось 6 часов?» | Проверяют решение: $1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6$. Время = 6 часов. Оценивают свою работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу много рук, молодцы! Те, у кого возникли трудности, не расстраивайтесь — дома будет возможность закрепить успех.»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести самооценку и дать инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте подведем итоги. Какой из способов решения вам показался проще? Почему мы не можем просто сложить 12 и 15 минут, чтобы найти время Маши? Прошу вас наклеить на 'дерево успеха' зеленый стикер, если вы все поняли, и красный, если остались вопросы.» | Учащиеся анализируют свою деятельность. Отвечают: «Нельзя складывать время, потому что вместе они работают быстрее, а не медленнее». Приклеивают стикеры. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням сложности. Выберите тот, который вам по силам.» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — задача решена верно двумя способами, составлена и решена обратная задача, нет ошибок в вычислениях с дробями.
- «4» — задача решена верно одним способом, составлена обратная задача, допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях.
- «3» — задача решена с помощью учителя или по образцу, есть затруднения в понимании производительности как доли.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали сегодня о работе людей или механизмов? | Осознание практической значимости математики. |
В каком шаге алгоритма вы чувствовали себя наиболее уверенно? | Выявление сильных сторон ученика. |
Почему при совместной работе время всегда меньше, чем время самого быстрого участника? | Проверка логического понимания темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важное открытие: математика помогает не только считать яблоки, но и планировать серьезные дела — от прополки грядок до строительства домов. Вы научились смотреть на работу как на единое целое. На следующем уроке мы усложним задачу и добавим третьего участника — посмотрим, как справятся три насоса или три мастера. Спасибо за активную работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 456, № 458 из учебника | Решить задачи на нахождение совместного времени по алгоритму. |
Средний (повышающий) | Составить задачу про ремонт комнаты | Придумать условие, где известны время мастера и время подмастерья, и решить её двумя способами. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача 'Три трубы' | Первая труба наполняет бак за 2ч, вторая за 3ч, третья за 6ч. За сколько наполнят вместе? |
Контрольный вопрос: Если один человек красит забор за 2 часа, а другой за 3 часа, может ли у них вместе получиться 5 часов? Почему?