Многообразие графических информационных моделей. Граф
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать граф как графическую информационную модель, выделять его вершины и рёбра, строить граф по описанию ситуации и читать информацию по готовому графу.
- Сформировать представление о графе как модели объектов и связей между ними; ввести понятия «вершина», «ребро», «степень вершины», «путь».
- Научить строить и анализировать графы на практических примерах, связанных с маршрутами, компьютерными сетями и социальными связями.
- Развивать умение работать в паре и группе, моделировать реальные ситуации, аргументировать выбор способа представления информации.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через разбор типичной задачи на анализ графа и формирование алгоритма её решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графов для описания транспортных, компьютерных и социальных сетей.
- Проявляют готовность проверять решение и спокойно исправлять ошибки, что снижает тревожность при подготовке к ОГЭ.
- Развивают ответственность за результат общей групповой модели.
- Понимают значение информатики для профессионального самоопределения в цифровой среде.
Метапредметные
- Выделяют объекты и связи между ними в текстовой ситуации и переводят описание в графическую модель.
- Планируют последовательность построения графа, проверяют соответствие модели условию.
- Извлекают информацию из графа, сравнивают варианты маршрутов и аргументируют вывод.
- Сотрудничают в паре и группе, распределяют роли и представляют результат.
Предметные
- Знать назначение графа как графической информационной модели, понятия «вершина», «ребро», «степень вершины», «путь».
- Уметь строить граф по заданному описанию связей между объектами.
- Уметь определять число вершин и рёбер, степень вершины и возможный путь между двумя вершинами.
- Владеть алгоритмом чтения графа и решения практических задач, аналогичных заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения графов через их применение в навигации, интернете и профессиональных задачах.
- Оценивают собственную готовность к решению задач и формулируют личную учебную цель.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении разных моделей.
- Принимают ситуацию ошибки как естественный этап проверки модели.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с графом и составляют план построения модели.
- Распределяют время и роли при выполнении группового задания.
- Сверяют построенный граф с исходным условием и находят несоответствия.
- Оценивают результат по предложенным критериям и корректируют модель.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные объекты и связи в тексте.
- Классифицируют графические модели и устанавливают соответствие между ситуацией и графом.
- Строят знаковую модель, используя вершины и рёбра.
- Анализируют путь, степень вершины и количество элементов графа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: аналитик, конструктор, проверяющий, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о значении вершин и рёбер.
- Аргументируют выбор модели и корректно оценивают решение другой группы.
- Согласуют общий вариант при наличии разных предложений.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями карты маршрутов, компьютерной сети, схемы социальных связей и несколькими графами.
- Распечатать карточки трёх уровней: распознавание элементов графа, построение графа, задача формата ОГЭ — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить для четырёх групп листы А3, цветные маркеры и наборы карточек с названиями объектов и связей.
- Вывесить на доске памятку: «Вершины — объекты; рёбра — связи; путь — последовательность связанных вершин».
- Подготовить маршрутные карточки для игры «Графический детектив» — по одной на группу.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой самооценки.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки с перемещением по условным вершинам.
- Подготовить эталонные графы для самопроверки и лист критериев групповой работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация «Графический детектив» (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую необходимость графов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему метро без подписей: "Ребята, перед вами сеть станций. Представьте, что диспетчеру нужно быстро понять, как добраться из одной точки в другую. Как можно представить такую систему компактно и понятно? Сегодня мы будем работать как графические детективы: искать объекты и связи между ними." | Рассматривают схему, называют возможные объекты и связи: «станции», «переходы», «маршруты». Формулируют предположение: «Нужна схема сети». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала за 30 секунд каждый запишите пример системы, которую удобно представить сетью. Затем обсудите ответ с соседом и выберите один пример для класса." | Индивидуально записывают пример, обсуждают его в паре и предлагают варианты: «дороги», «интернет», «дружеские связи», «авиарейсы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что во многих системах есть объекты и связи между ними. Сегодня научимся описывать такие системы с помощью графа и проверим себя на задаче, похожей на задание ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о графических информационных моделях и подготовить понятия для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три модели: план помещения, диаграмму, схему сети: "Назовите, какую информацию передаёт каждая модель. Что в них обозначено условными знаками? Почему схема иногда удобнее текста?" | Сопоставляют модель и информацию, отвечают: «план показывает расположение», «диаграмма показывает соотношение», «схема сети показывает связи». |
3 мин | Учитель проводит игру «Верю — не верю»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Любой ответ нужно объяснить. Графическая модель всегда является точной копией объекта. Схема может не сохранять внешний вид объекта. Линия на схеме может обозначать связь." | Отмечают ответы и аргументируют: «граф не копирует объект», «модель выделяет существенные свойства», «линия может показывать соединение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что модель выделяет важные свойства объекта. Теперь выясним, какие элементы нужны именно для модели сети и как их обозначать."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при описании связей и сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт паре карточку: «Есть четыре пункта: школа, библиотека, стадион и парк. Школа соединена с библиотекой и парком, библиотека — со стадионом, парк — со стадионом. Изобразите все связи». Учитель спрашивает: "Что нужно обозначить сначала? Как не пропустить связь?" | В парах выделяют четыре объекта, рисуют точки и соединяют их линиями. Формулируют затруднение: «Нужно договориться, что обозначают точки и линии». |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: "Какую цель поставим? Какие шаги помогут её достичь?" | Формулируют цель: «узнать элементы графа и научиться строить его по условию». Предлагают план: выделить объекты, обозначить вершины, провести рёбра, проверить связи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: текст нужно перевести на язык модели. Сейчас мы сами откроем правила такого перевода и сразу применим их на практике."
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования (8 мин)
Цель этапа: сформировать понятия «граф», «вершина», «ребро», «степень вершины» и «путь» через построение модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель строит на доске модель ситуации: «Есть пункты A, B, C и D. Пункт A соединён с B и C, B соединён с D, C соединён с D». Учитель проговаривает: "Точки, изображающие объекты, назовём вершинами. Линии, изображающие связи, назовём рёбрами. Получившуюся модель называют графом. Посмотрите, сколько рёбер выходит из вершины A? Это степень вершины." | Переносят модель в тетрадь, подписывают вершины A, B, C, D и рёбра. Отвечают: «Из A выходят два ребра, степень вершины A равна 2». |
3 мин | Учитель продолжает: "Последовательность вершин, соединённых рёбрами, называют путём. Например, A—B—D — путь из A в D. Найдите другой путь. Чем граф отличается от рисунка реального маршрута?" | Находят путь A—C—D, объясняют: «граф показывает связи, а не внешний вид местности». |
2 мин | Учитель выводит алгоритм на доску: 1) выделить объекты; 2) заменить объекты вершинами; 3) заменить связи рёбрами; 4) проверить каждую связь; 5) ответить на вопрос по графу. | Записывают алгоритм, задают уточняющие вопросы и сверяют его с собственной моделью. |
Запись в тетрадях
Граф — графическая информационная модель, состоящая из вершин и рёбер. Вершины обозначают объекты, рёбра — связи между объектами. Степень вершины — количество рёбер, выходящих из неё. Путь — последовательность вершин, соединённых рёбрами.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили язык графов и алгоритм построения модели. Теперь проверим его в групповой игре, где важны не только скорость, но и точность."
Этап 5. Физкультминутка-моделирование «Живой граф» (3 мин)
Цель этапа: закрепить смысл вершин, рёбер и пути через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель размещает в классе таблички A, B, C, D и говорит: "Сейчас мы превратимся в живой граф. Четыре ученика — вершины. Остальные показывают рёбра, становясь между связанными вершинами. Двигайтесь спокойно, не толкайтесь." | Четыре ученика занимают места-вершины, остальные распределяются между указанными парами. |
2 мин | Учитель даёт команды: "Покажите путь A—B—D. Теперь замрите и назовите степень вершины B. Какая связь исчезнет, если убрать ребро C—D?" | Перемещаются по заданному пути, отвечают: «степень B равна 2 или 3 в зависимости от показанных связей», называют изменившийся путь и перестраивают модель. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что вершины и рёбра — не абстрактные слова: они описывают реальные объекты и связи. Возвращаемся к столам и применяем алгоритм в групповой работе."
Этап 6. Групповая практика «Графический детектив» (12 мин)
Цель этапа: научить строить и анализировать графы по текстовому описанию, распределяя роли в группе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека и распределяет роли: "Аналитик выделяет объекты, конструктор рисует вершины и рёбра, проверяющий сверяет каждую связь, докладчик представляет ответ. На листе А3 выполните задание: «В компьютерной сети есть пять компьютеров: A, B, C, D, E. A соединён с B и C; B — с C и D; C — с E; D — с E». Постройте граф, найдите степень вершины C и путь из A в E." | Распределяют роли, читают условие, подчёркивают названия компьютеров и связей. |
6 мин | Учитель напоминает алгоритм и консультирует: "Сначала пересчитайте вершины, затем отдельно проверьте каждую связь из текста. Не добавляйте ребро только потому, что оно кажется логичным. После построения найдите все рёбра, выходящие из C, и один путь из A в E." | Строят граф на листе А3, подписывают пять вершин, проводят рёбра AB, AC, BC, BD, CE, DE. Определяют степень C: 3; находят путь A—C—E или A—B—D—E. |
4 мин | Учитель организует мини-турнир: "Каждая группа за 30 секунд представляет модель. Остальные проверяют её по двум критериям: все связи из условия присутствуют, лишних связей нет. Поднимите зелёную карточку при полном совпадении, жёлтую — если есть исправление." | Докладчики показывают граф и объясняют решение. Другие группы сверяют рёбра, задают вопросы и предлагают исправления. |
Эталон решения
Вершины: A, B, C, D, E. Рёбра: AB, AC, BC, BD, CE, DE. Из вершины C выходят рёбра CA, CB, CE, поэтому её степень равна 3. Один из путей из A в E: A—C—E. Возможен также путь A—B—D—E.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы построили одну и ту же модель, если точно следовали условию. Мы научились не просто рисовать схему, а проверять каждое ребро и получать из графа нужную информацию. Теперь каждый самостоятельно решит короткую задачу формата ОГЭ."
Этап 7. Самостоятельная работа, рефлексия и домашнее задание (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание графа, организовать самопроверку и зафиксировать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки: "Решите самостоятельно. В городе есть пункты P, Q, R, S. Дороги соединяют P с Q и R, Q с R и S, R с S. Сколько всего дорог? Какова степень вершины Q? Укажите путь из P в S. Сначала постройте граф, затем запишите ответы." | Строят граф и записывают: 5 дорог; степень Q равна 3; возможный путь P—Q—S или P—R—S. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и говорит: "Проверьте не только ответ, но и модель. Если ошибка, зачеркните неверное ребро и исправьте его другим цветом." | Сверяют граф и ответы с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результат. |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и «Билет на выход»: "Покажите цвет, который описывает вашу готовность строить граф. На листке допишите фразу: «Граф полезен, когда…» и ответьте: «Как проверить, что граф построен верно?» Затем запишите домашнее задание." | Показывают карточку, пишут: «Граф полезен, когда нужно показать объекты и связи между ними». Формулируют проверку: «сверить все вершины и рёбра с условием». Записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переводить описание сети в граф, находить степень вершины и путь. Ошибка в такой задаче обычно появляется, если пропущена связь или добавлено лишнее ребро, поэтому всегда выполняйте проверку по исходному условию."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — граф содержит все 5 вершин и 6 заданных рёбер без лишних связей; правильно определены степень вершины C и путь из A в E; группа может объяснить алгоритм построения.
- «4» — граф построен в основном верно, допущена одна неточность в подсчёте степени или записи пути, которую ученик исправил при проверке.
- «3» — выделены основные вершины и построена часть рёбер, но допущены две и более ошибки; ученик с помощью группы или учителя находит способ исправления.
- Ниже «3» — не выделены объекты и связи либо граф не соответствует исходному условию; требуется повторная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что обозначают вершины и рёбра графа? | Проверка осознания базовых понятий темы. |
Какой шаг алгоритма построения графа помогает не пропустить связь? | Выявление понимания последовательности моделирования. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения и причин ошибок. |
Где в реальной жизни можно использовать граф? | Осознание практической и профессиональной значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за текстом структуру: объекты превращаются в вершины, а связи — в рёбра. Вы построили граф компьютерной сети, нашли степень вершины и путь, а затем решили индивидуальную задачу в формате, близком к ОГЭ. Помните о типичной ошибке: нельзя добавлять связь, которой нет в условии, и нельзя забывать проверять каждое ребро. На следующем уроке мы продолжим анализировать графы и решать более сложные задачи на маршруты и свойства сетей."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания: определить вершины и рёбра по готовому графу; найти степень двух указанных вершин; записать один путь между двумя вершинами. | Закрепляет распознавание элементов графа и чтение модели; при проверке обратить внимание на точность подсчёта и последовательность вершин в пути. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на построение графа по описанию транспортной, компьютерной или социальной сети; для каждого графа указать число вершин, число рёбер и один возможный путь. | Развивает перевод текста в графическую модель; проверить отсутствие пропущенных и лишних связей. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную модель сети из 6–8 объектов, составить к ней текстовое описание и 3 вопроса для одноклассника: о числе рёбер, степени вершины и маршруте. | Формирует навык создания и проверки информационной модели; оценить полноту описания и однозначность вопросов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют графом? Чем вершина отличается от ребра? Как определить степень вершины? Что такое путь? Как проверить, что построенный граф соответствует условию?»
