Развернутая форма записи чисел в позиционных системах счисления
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно представлять целые числа в развернутой форме для систем счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.
- Образовательная задача: изучить алгоритм записи числа в развернутой форме и понять роль основания системы счисления.
- Развивающая задача: развивать навыки абстрактного мышления и умение проводить аналогии между десятичной и другими системами счисления.
- Воспитательная задача: формировать культуру интеллектуального труда и ответственное отношение к точности вычислений.
- Межпредметная задача: актуализировать знания из курса математики о разрядах числа и степенях с натуральным показателем.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Осознание важности математического аппарата в развитии цифровых технологий.
- Умение вести конструктивный диалог и уважать мнение сверстников при работе в парах.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать аналогии, классифицировать и строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: способность самостоятельно определять цели своего обучения и планировать пути их достижения.
- Коммуникативные: умение формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение.
Предметные
- Знание определения позиционной системы счисления и её основания.
- Умение определять разряды цифр в числе.
- Владение навыком записи чисел в развернутой форме в различных системах счисления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценностных ориентиров в сфере информационных технологий.
- Развитие критического мышления через анализ собственных ошибок.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль процесса выполнения заданий по эталону.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из объяснения учителя и учебника.
- Синтез как составление целого из частей (построение формулы развернутой записи).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Интеграция в группу сверстников и построение продуктивного взаимодействия.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с примерами записи чисел в разных системах счисления.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 шт.
- Проверить работоспособность проектора и интерактивной доски.
- Подготовить маркеры трех цветов для выделения разрядов, оснований и цифр числа.
- Распечатать «Билеты на выход» для этапа рефлексии — 25 шт.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, коллеги! Да-да, именно коллеги, ведь сегодня мы будем заниматься настоящим научным поиском. Посмотрите на доску. Здесь записано число 10 в двух вариантах: римскими цифрами (X) и арабскими (10). Скажите, в каком случае цифра '1' имеет больший вес? Почему в числе 111 первая единица стоит больше, чем последняя? Мы привыкли к этому с первого класса, но задумывались ли вы, какая математическая магия скрыта за обычным порядком цифр? Сегодня мы станем архитекторами чисел и разберем их до самого основания». | Слушают учителя, включаются в диалог. Отвечают на вопросы: «В числе 111 первая единица означает сотни, а последняя — единицы. В римской системе X — это всегда десять, независимо от места». Выдвигают предположения о важности позиции цифры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы вспомнили, что в нашей привычной системе счисления место цифры решает всё. Это и есть главный секрет позиционных систем, который мы сегодня раскроем для любых чисел».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: повторить разрядную запись в десятичной системе и выявить проблему при записи в других системах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним математику. У меня на доске число 345. Как мы можем представить его в виде суммы разрядных слагаемых? Запишите это в тетрадях. Теперь посмотрите: 345 = 3*100 + 4*10 + 5*1. А если использовать степени числа 10? Вспомните, что любое число в нулевой степени — это единица. Попробуйте переписать это выражение, используя только цифры 3, 4, 5 и степени десятки». | Записывают в тетрадях: 345 = 300 + 40 + 5. Затем пытаются применить степени: 3*10^2 + 4*10^1 + 5*10^0. Один ученик записывает вариант на доске. |
3 мин | «Отлично! А теперь — вызов. Перед вами число 1011, записанное в двоичной системе счисления (внизу стоит индекс 2). Как нам разложить его по такой же логике? Мы знаем, что основание здесь не 10, а 2. Попробуйте предположить, как будет выглядеть эта запись. В чем главная сложность?» | Сталкиваются с затруднением. Пробуют провести аналогию, но сомневаются в степенях и основании. Отвечают: «Непонятно, на что умножать единицы и нули — на 10 или на 2? Какие степени использовать?» |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
34510 = 3 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что привычная схема работает для десятичной системы, но вызывает вопросы для других. Наша цель — вывести универсальную формулу для любого основания».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм записи развернутой формы числа и зафиксировать его в виде формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель использует прием «Сократовский диалог»: «Давайте посмотрим на наше десятичное число еще раз. Откуда взялись степени 2, 1, 0? Верно, это номера позиций цифр, если считать справа налево, начиная с нуля. Давайте пронумеруем разряды в двоичном числе 1011. Надпишите над каждой цифрой её номер. Теперь, если в десятичной системе мы умножали на 10 в степени разряда, то на что будем умножать в двоичной? Правильно, на основание системы — на двойку». | Нумеруют разряды над числом 1011 (над последней 1 — ноль, над предпоследней — один и т.д.). Диктуют учителю: «Надо 1 умножить на 2 в третьей степени, плюс 0 на 2 во второй...» Записывают: 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0. |
7 мин | «Вы только что совершили открытие! Эта форма записи называется развернутой. Давайте сформулируем общее правило. Чтобы записать число в развернутой форме, нужно: 1. Пронумеровать разряды справа налево (от 0). 2. Каждую цифру числа умножить на основание системы в степени разряда. 3. Сложить полученные произведения. Давайте проверим это для восьмеричной системы. Число 728. Кто попробует?» Учитель записывает на доске общую формулу: Aq = an·qn + an-1·qn-1 + ... + a0·q0. | Один ученик выходит к доске и записывает для 728: 7*8^1 + 2*8^0. Остальные фиксируют общую формулу в тетрадь. Задают уточняющие вопросы про шестнадцатеричную систему (как быть с буквами A-F). |
Эталон решения
Для числа $A = 1011_2$:
Разряды: $1^3 0^2 1^1 1^0$
Развернутая форма: $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$
Разряды: $1^3 0^2 1^1 1^0$
Развернутая форма: $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть универсальный инструмент. Неважно, какое основание у системы — принцип всегда один. Но чтобы мозг работал четко, нужно дать телу разрядку».
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять мышечное и зрительное напряжение, переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаем, коллеги. Представьте, что вы — элементы памяти компьютера. Если я показываю ладонь — это '1', если кулак — '0'. Я буду показывать комбинации, а вы — зеркально повторять их обеими руками. Теперь упражнение для глаз: 'напишите' глазами в воздухе основание нашей системы счисления — цифру 10, а затем основание двоичной — 2. Глубокий вдох, выдох, садимся». | Выполняют кинезиологические упражнения, повторяя жесты учителя. Делают гимнастику для глаз, расслабляют плечевой пояс. |
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм в процессе коммуникации, используя прием Think-Pair-Share.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Работаем в парах. На слайде три числа: 11012, 548, 1A16. Ваша задача: первый вариант объясняет второму, как разложить первое число, второй вариант — первому про второе число. Третье число делаете вместе. Помните, что в 16-ричной системе A = 10. У вас 5 минут на всё. Я прохожу и слушаю ваши объяснения». | Обсуждают задания в парах. Один ученик проговаривает алгоритм: «Сначала ставим индексы разрядов...», второй проверяет. Записывают решения в тетради. При возникновении споров обращаются к формуле на доске. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Я слышал отличные объяснения! Вы уже почти эксперты. Пришло время проверить себя в индивидуальном зачете».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Раздаю карточки. Выберите уровень, который вам по силам. Зеленая карточка — база (2 и 8 системы), желтая — средний (добавляется 16-ричная), красная — продвинутый (нужно найти ошибку в готовой записи). На работу 7 минут». | Выбирают уровень сложности, самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
3 мин | «Время вышло. Откройте следующий слайд с эталонами ответов. Возьмите зеленую ручку или карандаш. Если всё верно — ставьте '+', если есть ошибка — аккуратно исправьте её. Кто справился без ошибок с красной карточкой?» | Сверяют свои записи с эталоном на экране. Проводят самооценку, фиксируют количество правильных слагаемых в развернутой форме. |
Эталон ответов (фрагмент)
- База: 111_2 = 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0
- Средний: 2B_16 = 2*16^1 + 11*16^0
- Продвинутый: Ошибка в 102_2 — цифры '2' не существует в двоичной системе!
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки сегодня — это ваш опыт. Главное, что вы их увидели и поняли причину».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наш научный поиск подходит к концу. Заполните, пожалуйста, 'Билет на выход'. Там всего три вопроса. После этого запишите домашнее задание. Оно тоже на выбор, как и сегодня на уроке. Спасибо за работу, вы сегодня были очень проницательны!» | Заполняют листки рефлексии. Записывают домашнее задание в дневники. Задают вопросы по ДЗ. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно записаны все 4 предложенных числа в развернутой форме, правильно указаны степени и основания.
- «4» — верно записаны 3 числа, или допущена одна техническая ошибка в вычислении степени при верном алгоритме.
- «3» — верно записаны 2 числа, или есть понимание алгоритма, но перепутаны местами разряды (нумерация слева направо).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие в алгоритме было самым трудным? | Выявление этапа, на котором происходит сбой (нумерация или степени). |
Где в математике нам встречалась похожая запись? | Проверка осознания межпредметных связей. |
Могу ли я объяснить эту тему другу, который пропустил урок? | Субъективная оценка уровня владения материалом. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть внутреннюю структуру чисел. Развернутая форма — это мост, который позволит нам на следующем уроке легко переводить числа из любой системы в нашу родную, десятичную. Мы поняли, что информатика и математика говорят на одном языке логики. Если сегодня у вас остались вопросы по степеням — не переживайте, на практике мы их закрепим. До встречи в мире двоичных кодов!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, §1.1, №5, 6 | Записать в развернутой форме 5 двоичных чисел. |
Средний (повышающий) | Карточка в ЭЖД | Записать в развернутой форме числа в системах с основанием 3, 5 и 12. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Придумать свою систему счисления (символы, основание) и записать в ней дату своего рождения в развернутой форме. |
Контрольный вопрос: Чему равно любое число в нулевой степени? (Ответ: 1). Почему нумерация разрядов начинается с нуля? (Чтобы соответствовать весу самого младшего разряда — единиц).
