Система счисления: как число записывается в разных системах
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики объяснят, чем позиционная система счисления отличается от непозиционной, и переведут не менее двух чисел из десятичной системы в двоичную и обратно с проверкой результата.
- Образовательная задача: сформировать представление об основании позиционной системы и значении цифры, зависящем от её позиции.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись числа, строить рассуждение по алгоритму и проверять вычисления обратным действием.
- Развивающая задача: организовать обсуждение гипотез и аргументированный выбор способа перевода числа.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственное отношение к точности вычислений и уважение к разным способам рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к тому, как компьютеры представляют и обрабатывают информацию.
- Понимают практическую значимость двоичной записи в информатике и цифровых устройствах.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать посильный уровень практического задания.
- Ответственно относятся к точности записи разрядов и проверке результата.
Метапредметные
- Извлекают закономерность из примеров записи чисел и формулируют вывод о роли основания системы.
- Составляют алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную и применяют его к новым примерам.
- Сравнивают записи одного числа в разных системах и аргументируют, почему их вид различается.
- Планируют ход вычислений, сверяют результат с образцом и исправляют обнаруженную ошибку.
Предметные
- Знают, что система счисления — способ записи чисел с помощью определённых символов и правил.
- Различают позиционные и непозиционные системы на примере десятичной и римской записи.
- Объясняют, что основание позиционной системы определяет количество используемых цифр и вес разрядов.
- Переводят целые числа из десятичной системы в двоичную последовательными делениями на 2.
- Переводят двоичную запись целого числа в десятичную сумму разрядных слагаемых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение двоичной записи с интересом к программированию, цифровым устройствам и будущим профессиям.
- Осознают личную цель урока и выбирают уровень задания с учётом своих возможностей.
- Оценивают собственное продвижение без сравнения с одноклассниками.
- Проявляют уважение к объяснениям и способам решения других учеников.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель после обнаружения затруднения при чтении необычной записи числа.
- Планируют последовательность действий при переводе числа делением с остатком.
- Сверяют частные, остатки и порядок записи цифр с алгоритмом.
- Находят и исправляют ошибки, используя обратный перевод и разложение по разрядам.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки позиционной системы по ряду числовых примеров.
- Моделируют двоичное число как сумму степеней числа 2.
- Преобразуют информацию из словесного объяснения в последовательность вычислительных действий.
- Сравнивают способы представления числа и проверяют гипотезу вычислением.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре гипотезу о значении цифры и позиции, приводя пример.
- Задают уточняющие вопросы о выборе основания и порядке записи остатков.
- Представляют классу способ решения, используя математические и информатические термины.
- Сопоставляют ответы без обесценивания чужого мнения и договариваются о корректном результате.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране примеры 35₁₀, 100011₂ и запись XII; обозначения оснований заранее не объяснять.
- Распечатать карточки с тремя уровнями заданий — по одной на каждого ученика, всего по числу учеников в классе.
- Подготовить карточки с цифрами 0 и 1 — по одному комплекту на пару для моделирования двоичной записи.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: «объясняю основание», «перевожу делением», «проверяю разложением» — по одному на ученика.
- Вывести на экран таблицу разрядов двоичного числа с пустыми ячейками для совместного заполнения.
- Подготовить цветные маркеры для выделения остатков и разрядов на доске.
- Проверить наличие компьютера и проектора; цифровые устройства не обязательны для выполнения заданий.
- Оставить на доске место для записи алгоритма деления на 2 и контрольного вопроса к уроку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и вызвать интерес к проблеме представления чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две записи: 35₁₀ и 100011₂. «Здравствуйте, ребята. Посмотрите на экран: обе записи обозначают число, но выглядят по-разному. Как вы думаете, почему компьютеру удобно работать с записью, в которой используются только ноль и единица? Пока не ищем единственный правильный ответ — важно услышать ваши версии». | Готовят тетради и ручки, рассматривают записи, предлагают версии: «В компьютере есть два состояния», «Так проще различать сигнал и отсутствие сигнала». |
2 мин | Учитель записывает проблемный вопрос: «Как по записи понять, какое число перед нами?» «Сначала подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите с соседом одну минуту. После этого я попрошу несколько пар поделиться гипотезами. Можно выбрать, какую запись разбирать первой — двоичную или римскую». | Обдумывают вопрос индивидуально, обсуждают в паре и формулируют гипотезы: «Значение зависит от правил записи», «Нужно знать, что означает нижний индекс». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одной и той же величине могут соответствовать разные записи. Чтобы читать их уверенно, нам нужно разобраться в правилах, по которым строятся такие записи».
Этап 2. Актуализация знаний и обнаружение затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о цифрах и разрядах и выявить, что привычная десятичная запись основана на определённом правиле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель пишет на доске 222 и спрашивает: «Прочитайте число. Что означает каждая двойка? Если мы сложим 2 + 2 + 2, получим ли значение числа? А если разложим его как 2 сотни, 2 десятка и 2 единицы? Почему цифра одна и та же, а её вклад различается?» Учитель фиксирует ответы под разрядами: 200, 20, 2. | Читают число «двести двадцать два», объясняют: «Первая двойка означает 200, вторая — 20, последняя — 2». Делают вывод, что значение цифры зависит от места. |
3 мин | Учитель показывает записи 10 и 100 и задаёт вопросы: «Что изменилось, когда мы добавили ноль справа? А что изменится, если вместо привычных цифр использовать только 0 и 1? Можно ли просто прочитать такую запись по правилам десятичной системы? Отметьте, что именно пока непонятно». | Сравнивают записи, формулируют затруднение: «Мы не знаем, какое основание у записи», «Не умеем определить значение двоичного числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что даже в знакомой записи цифры имеют разный вес в зависимости от позиции. Теперь сформулируем, какое новое правило поможет читать записи с другим набором цифр».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и наметить план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить десятичную запись 35 и двоичную 100011₂. «У нас есть запись, составленная только из нулей и единиц, но пока нет способа прочитать её значение. Что нужно узнать, чтобы решить задачу? Какое правило должно быть связано с количеством допустимых цифр и с весом позиции?» | В парах записывают вопросы, затем предлагают: «Нужно понять основание системы», «Нужно выяснить, сколько единиц каждого разряда содержится в записи». |
2 мин | Учитель собирает ответы и записывает план: определить понятие системы счисления; разобрать основание и разряды; построить способ перевода между десятичной и двоичной записями; проверить результат. «Выберите, какой пункт кажется вам самым понятным, а какой — самым сложным. К нему мы вернёмся при самооценке». | Формулируют цель: «Научиться понимать и переводить двоичные числа». Выбирают пункт плана, который хотят проверить особенно внимательно. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель ясна: разобраться в основании и научиться переводить числа в обе стороны. Начнём с того, как позиция задаёт значение цифры».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести правила чтения позиционной записи и получить алгоритмы перевода целых чисел между десятичной и двоичной системами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу разрядов: для десятичной системы 10², 10¹, 10⁰, а для двоичной — 2², 2¹, 2⁰. «В десятичной системе используются десять цифр, поэтому основание равно 10. Каждая позиция слева направо соответствует следующей степени основания. Двоичная система использует две цифры — 0 и 1, её основание равно 2. Посмотрите на запись 101₂: какой разряд отвечает за каждую цифру? Давайте прочитаем число как сумму разрядных значений». | Заполняют подписи разрядов. Отвечают: «Первая единица — четыре, ноль — две, последняя единица — одна». Записывают: 101₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰. |
4 мин | Учитель записывает перевод 101₂ в десятичную запись: «Вычислим сумму: 4 + 0 + 1 = 5. Значит, 101₂ = 5₁₀. Теперь попробуйте объяснить правило своими словами: что нужно сделать с каждой цифрой? Не просто называйте ответ — объясните, откуда берётся вес позиции». | В парах объясняют: «Каждую цифру умножаем на степень основания, соответствующую разряду, затем складываем». Проверяют, что 101₂ и 5₁₀ обозначают одно число. |
4 мин | Учитель показывает условие: «Переведите число 13₁₀ в двоичную систему». На доске выполняет деление с остатком: 13 : 2 = 6, остаток 1; 6 : 2 = 3, остаток 0; 3 : 2 = 1, остаток 1; 1 : 2 = 0, остаток 1. «Остатки читаем снизу вверх. Почему не сверху вниз? Проверим ответ разложением по степеням двойки». | Записывают деления и остатки. Предлагают ответ 1101₂, объясняют порядок: «Последний остаток становится старшей цифрой». Проверяют: 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 13. |
Запись в тетрадях
- Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.
- В двоичной системе основание 2 и используются цифры 0 и 1.
- Перевод из двоичной системы в десятичную: представить число как сумму цифр, умноженных на соответствующие степени 2.
- Перевод из десятичной системы в двоичную: делить число и последовательные частные на 2, записать остатки снизу вверх.
Эталон решения
Перевод 13₁₀ в двоичную систему: 13 : 2 = 6, ост. 1; 6 : 2 = 3, ост. 0; 3 : 2 = 1, ост. 1; 1 : 2 = 0, ост. 1. Читаем остатки снизу вверх: 1101₂. Проверка: 1101₂ = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли два взаимно проверяющих способа: разложение по степеням основания и деление с остатком. Теперь потренируемся применять их и проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить оба алгоритма на коротких примерах с проговариванием и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с двумя заданиями: перевести 19₁₀ в двоичную систему и перевести 10010₂ в десятичную. «Один участник решает первое задание, второй — второе. Затем поменяйтесь ролями объясняющего и проверяющего. Проверяющий не сообщает ответ сразу: он задаёт вопрос о следующем шаге». | Распределяют задания и договариваются, кто начинает объяснение. |
4 мин | Учитель запускает таймер на четыре минуты и напоминает критерий проверки: «Для перевода делением должны быть записаны все остатки и прочитаны в верном порядке. Для двоичного числа укажите степень двойки под каждым разрядом. Если ответ не совпал, найдите конкретный шаг, где разошлись рассуждения». | Решают задания и проговаривают алгоритм партнёру. Ожидаемые результаты: 19₁₀ = 10011₂; 10010₂ = 18₁₀. |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить перевод 19, другую — разложение 10010₂. «Покажите не только ответ, но и проверку. Согласны ли остальные с тем, как выбран порядок разрядов? Если заметили расхождение, аргументируйте его вычислением». | Представляют решения у доски или с места. Проверяют: 10011₂ = 16 + 2 + 1 = 19; 10010₂ = 16 + 2 = 18. |
Эталон решения
19₁₀: 19 : 2 = 9, ост. 1; 9 : 2 = 4, ост. 1; 4 : 2 = 2, ост. 0; 2 : 2 = 1, ост. 0; 1 : 2 = 0, ост. 1. Ответ: 10011₂. Проверка: 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19. Для 10010₂: 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 + 2 = 18₁₀.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили оба способа и проверили ответы обратным вычислением. Теперь каждый выполнит короткую работу самостоятельно, а уровень задания можно выбрать».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и дать ученикам возможность выбрать уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: «Обязательная часть одна для всех: переведите 11₁₀ в двоичную систему и проверьте результат. Затем выберите карточку: базовая — ещё один перевод в десятичную; повышенная — перевод в обе стороны и объяснение; дополнительная — найдите и исправьте ошибку в готовом решении. Выбор уровня — это способ подобрать себе подходящий вызов, а не сравнение учеников». | Выбирают карточку, подписывают её и готовятся работать самостоятельно. |
5 мин | Учитель напоминает: «Работайте без обсуждения, записывайте ход решения. На экране будет эталон только после сигнала. Если закончили раньше, выполните проверку разложением по степеням двойки». Наблюдает за работой и фиксирует типичные затруднения, не подсказывая ответ. | Самостоятельно переводят 11₁₀ в двоичную систему: ожидаемый ответ 1011₂. Выполняют выбранное задание и записывают проверку. |
2 мин | Учитель открывает на экране контрольные результаты: 11₁₀ = 1011₂; 111₂ = 7₁₀; для повышенного уровня — 14₁₀ = 1110₂; в ошибочном примере проверяют порядок остатков. «Сверьте не только итог, но и каждый шаг. Поставьте рядом с решением знак “+”, если способ понятен, или отметьте место, где нужна помощь». | Сверяют вычисления, исправляют ошибки другим цветом и отмечают в тетради конкретный шаг, который вызвал затруднение. |
Эталон решения
11₁₀: 11 : 2 = 5, ост. 1; 5 : 2 = 2, ост. 1; 2 : 2 = 1, ост. 0; 1 : 2 = 0, ост. 1. Ответ 1011₂. Проверка: 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 11. Дополнительная проверка: 111₂ = 4 + 2 + 1 = 7₁₀.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно проверить вычислением, а ошибку — найти по конкретному шагу. Осталось связать новый способ с задачей о том, почему двоичная запись используется в цифровой технике».
Этап 7. Включение в систему знаний и практический контекст (3 мин)
Цель этапа: связать правило двоичной записи с представлением данных в цифровых устройствах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает схему из двух состояний: «сигнал есть» и «сигнала нет». «В электронных устройствах удобно различать два устойчивых состояния, поэтому информация может кодироваться нулём и единицей. Это не значит, что компьютер “понимает” число так же, как человек: запись обрабатывается по правилам. Какой пример из повседневной жизни можно описать двумя состояниями?» | Предлагают примеры: «выключатель включён или выключен», «ответ да или нет», «лампа горит или не горит». Объясняют связь с цифрами 1 и 0. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «Теперь мы можем прочитать 100011₂? Назовите его значение и покажите, как проверили». | Отвечают: «100011₂ = 32 + 2 + 1 = 35₁₀». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы ответили на вопрос урока и увидели связь записи числа с работой цифровых устройств. Теперь оценим, что уже получается уверенно и что нужно повторить».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат обучения, обозначить затруднение и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: «Отметьте, что вы сейчас можете сделать самостоятельно: объяснить основание двоичной системы, перевести число делением на 2, проверить двоичную запись разложением. Рядом допишите одно действие, которое хотите потренировать». | Отмечают освоенные действия и записывают оставшийся вопрос или трудный шаг. |
1 мин | Учитель сообщает: «Домашнее задание выберите по уровню. Базовый вариант обязателен для всех; повышенный и дополнительный выбирайте по желанию. Перед выходом ответьте себе: почему остатки при переводе читают снизу вверх?» | Записывают выбранный вариант домашней работы и формулируют ответ: «Потому что последний остаток соответствует старшему разряду». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательный перевод и все задания выбранного уровня; записаны промежуточные деления или разрядное разложение; проверка подтверждает ответ.
- «4» — основной алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — выполнен обязательный перевод, но есть ошибка в порядке остатков или определении разрядов; ученик может назвать место затруднения и исправить часть решения с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем двоичная система отличается от десятичной? | Проверить понимание основания и набора используемых цифр. |
Какой шаг перевода из десятичной системы в двоичную требует особого внимания? | Выявить затруднения в делении и чтении остатков снизу вверх. |
Как проверить, что двоичная запись обозначает нужное число? | Проверить осознанное владение разложением по степеням двойки. |
Какой уровень практического задания вы выбрали и почему? | Оценить самостоятельность выбора и субъективное ощущение сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что запись числа зависит от правил системы счисления, а в позиционной системе значение цифры определяется её разрядом. Вы научились переводить целые числа между десятичной и двоичной системами и проверять результат двумя способами. Самая частая ошибка — прочитать остатки в том же порядке, в котором они получены, поэтому обязательно сверяйте ответ разложением по степеням двойки. Вы выбирали уровень заданий и отвечали за собственный темп работы — это важная часть самостоятельного обучения. На следующем уроке мы продолжим изучать представление информации в компьютере и применим двоичную запись к новым задачам».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: перевести два целых числа от 5 до 20 из десятичной системы в двоичную и два двоичных числа длиной до пяти цифр — в десятичную. Для каждого ответа выполнить обратную проверку. | Закрепляет оба алгоритма; при проверке обратить внимание на запись промежуточных остатков, порядок цифр и разрядные слагаемые. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на перевод целых чисел в обе стороны, включая числа до 40; к одному примеру письменно составить объяснение алгоритма так, чтобы одноклассник мог повторить его. | Развивает уверенное применение алгоритмов и умение ясно объяснять вычислительные действия. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать два примера перевода между десятичной и двоичной системами, в одном специально допустить типичную ошибку, затем составить разбор, объясняющий, как её обнаружить и исправить. | Развивает анализ и оценку решения; при проверке смотреть на корректность примеров и убедительность объяснения ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: что называют основанием двоичной системы? Почему цифры 0 и 1 в позиционной записи могут обозначать разные вклады? Как проверить результат перевода числа в двоичную систему?
