Перевод чисел в различные системы счисления и выполнение арифметических операций
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут переводить целые числа из десятичной системы в двоичную и обратно, выполнять сложение и вычитание двоичных чисел и проверять результат обратным переводом, набрав не менее 3 баллов из 4 по критериям самостоятельной работы.
- Образовательная задача: повторить позиционный принцип записи числа и раскрытие числа в виде суммы разрядных слагаемых.
- Образовательная задача: самостоятельно вывести и применить алгоритмы перевода целых чисел между десятичной и двоичной системами счисления.
- Развивающая задача: анализировать ход вычислений, обнаруживать ошибку и обосновывать выбор более удобного способа проверки.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за точность вычислений, уважение к аргументам одноклассников и интерес к применению информатики в цифровых технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что двоичная система счисления является практическим способом представления данных в вычислительной технике.
- Проявляют интерес к математическим основаниям работы цифровых устройств и возможным профессиональным применениям информатики.
- Принимают личную ответственность за точность вычислений и проверку полученного результата.
- Сохраняют готовность корректировать решение после обнаружения ошибки.
- Уважают разные способы рассуждения и аргументированно обсуждают решение с одноклассниками.
Метапредметные
- Извлекают правило из примеров, сравнивают представления одного числа в разных системах и формулируют закономерность.
- Планируют решение задачи, выбирают способ перевода и проверяют результат обратным действием.
- Работают с электронной таблицей или калькулятором для проверки ручных вычислений, не подменяя инструментом объяснение алгоритма.
- Формулируют математическое рассуждение последовательно, используя термины «основание», «разряд», «цифра» и «позиционная запись».
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выводы на основе вычислений.
Предметные
- Объясняют позиционный принцип записи чисел и различают основание системы счисления и цифры числа.
- Переводят целые числа из десятичной системы в двоичную последовательным делением на 2 с записью остатков в обратном порядке.
- Переводят двоичные числа в десятичную систему как сумму степеней основания 2.
- Выполняют сложение и вычитание двоичных чисел, учитывая перенос и заём.
- Проверяют арифметический результат переводом в десятичную систему и оценивают правдоподобие ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый алгоритм с личными интересами в информатике, математике и цифровых технологиях.
- Определяют, какие действия помогают им точнее выполнять вычисления.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске способа проверки результата.
- Адекватно относятся к ошибке как к основанию для анализа и коррекции решения.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют последовательность действий для перевода числа и выполнения операции.
- Сверяют решение с правилами и критериями, находят и исправляют вычислительную ошибку.
- Оценивают собственное продвижение по результатам самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Выделяют разрядное значение цифр и представляют число как сумму степеней основания системы.
- Сравнивают двоичную и десятичную записи одного и того же числа.
- Моделируют алгоритм перевода в виде таблицы деления с остатком и схемы разрядов.
- Используют электронный инструмент для проверки результата и сопоставляют его с ручным вычислением.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру способ перевода числа, проговаривая основание и порядок чтения остатков.
- Согласуют общий ответ в паре и распределяют действия при решении игровой задачи.
- Задают вопросы, помогающие уточнить место переноса или займа в двоичном вычислении.
- Аргументируют вывод ссылкой на разрядное разложение или обратную проверку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, примерами двоичных разрядов, алгоритмом перевода и игровым заданием; открыть её до начала урока.
- Подготовить компьютеры или ноутбуки с доступом к электронной таблице либо локальным калькулятором систем счисления; предусмотреть демонстрацию экрана через проектор.
- Распечатать карточки игрового задания трёх уровней — по одной на пару, ориентировочно 15 комплектов для класса из 30 учеников.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной работы трёх уровней — по одной на каждого ученика, с отдельным листом ответов для учителя.
- Подготовить листочки для итогового билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Как представить число и выполнить вычисление, если компьютер оперирует двоичными разрядами?»
- Вывести на экран таблицу степеней двойки от 2⁰ до 2⁷ и памятку: «делим на основание; остатки читаем снизу вверх».
- Подготовить маркеры и таймер; проверить, что пары учеников могут сверять вычисления на экране, не вводя персональные данные.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к проблеме представления чисел в цифровых устройствах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран две записи: 13₁₀ и 1101₂. «Здравствуйте, ребята. Посмотрите на экран: записи выглядят по-разному, но могут обозначать одно и то же число. Сегодня мы выясним, как это проверить и как выполнять вычисления, не путая основания. Подготовьте тетради и ручки; в конце урока каждый сможет выбрать задачу подходящего уровня». | Готовят рабочее место, рассматривают записи и предполагают: «Обе записи могут обозначать число тринадцать». |
1 мин | Учитель указывает на проблемный вопрос на доске: «Как компьютер представляет числа и выполняет вычисления, если его основа — двоичные разряды? Подумайте, где в повседневной жизни мы встречаем последствия такого представления: в памяти устройства, передаче данных или цифровом изображении». | Называют возможные контексты: «В компьютере данные кодируются», «Фотография хранится как набор чисел»; формулируют предположение о роли нулей и единиц. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одна величина может иметь разные записи. Сначала проверим, какие знания о разрядах и основаниях уже помогут нам разобраться в этой задаче».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия позиционной записи, разряда и степени основания и выявить затруднения при работе с двоичной записью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске разложение 347₁₀ и организует короткое задание с таймером. «Вспомните, почему цифра 4 в числе 347 означает сорок, а не просто четыре. Запишите число как сумму разрядных слагаемых. Затем отметьте, какие степени десяти соответствуют сотням, десяткам и единицам». | Индивидуально записывают: 347 = 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰; поясняют: «Значение цифры зависит от позиции». |
2 мин | Учитель выводит последовательность разрядов 2³, 2², 2¹, 2⁰ и задаёт вопросы. «Если основание равно двум, какие цифры допустимы? Сколько единиц содержат разряды, подписанные 2³ и 2¹? Обсудите ответ с соседом 30 секунд, затем назовём его всему классу». | Обсуждают в паре и отвечают: «Используются только 0 и 1», «2³ равно 8, 2¹ равно 2»; приводят пример числа, записанного только нулями и единицами. |
1 мин | Учитель показывает запись 102₂ и спрашивает: «Допустима ли такая запись в двоичной системе? Объясните не только ответ, но и правило, на которое вы опираетесь». | Отвечают: «Нет, цифра 2 недопустима, потому что в двоичной системе используются только 0 и 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что разряд определяется основанием, а допустимые цифры связаны с этим основанием. Теперь проверим, умеем ли мы перевести конкретное число и объяснить каждый шаг».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение в переводе числа и совместно сформулировать цель и план открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание без готового алгоритма: «Переведите 13₁₀ в двоичную систему любым способом, который сможете обосновать. У вас одна минута. Не стирайте ход рассуждения: нам важно увидеть не только ответ, но и место затруднения». | Пробуют представить 13 как сумму степеней двойки либо делить число на 2; часть учеников записывает 1101₂, часть отмечает, что не уверена в порядке разрядов. |
1 мин | Учитель просит назвать затруднение и фиксирует на доске формулировки. «Что именно пока не очевидно: какие степени выбрать, как получить цифры или в каком порядке их записывать? Почему угадывание записи не является надёжным алгоритмом?» | Формулируют затруднения: «Нужно понять, как систематически получить цифры», «Неясно, в каком порядке записывать остатки». |
1 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «За полминуты каждый предложит план поиска, затем сравните планы в паре. Какое правило нам нужно открыть, чтобы переводить не только 13, но и любое целое число?» | Сначала формулируют личное предложение, затем согласуют план: «Нужен алгоритм перевода делением на основание и правило чтения остатков». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы поставили задачу найти общий алгоритм, а не запомнить один ответ. Теперь исследуем несколько делений и сами установим, как остатки становятся разрядами двоичного числа».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы перевода целого числа между десятичной и двоичной системами и установить правила двоичного сложения и вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске таблицу последовательного деления числа 13 на 2. «Разделим 13 на 2 с остатком: получим 6 и остаток 1. Затем делим частное 6 на 2, дальше — каждое новое частное. Записывайте остатки в отдельный столбец. Какой порядок чтения даст число, если первый остаток относится к младшему разряду?» | Заполняют таблицу: 13:2 = 6 ост. 1; 6:2 = 3 ост. 0; 3:2 = 1 ост. 1; 1:2 = 0 ост. 1. Читают остатки снизу вверх и получают 1101₂. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на обоснование. «Почему остатки читаются снизу вверх, а не в порядке вычисления? Вспомните, что первый остаток показывает чётность исходного числа и потому задаёт младший разряд. Сформулируйте правило так, чтобы по нему можно было перевести любое целое число». | Формулируют правило: «Последовательно делим число на 2, записываем остатки, а затем читаем их снизу вверх»; отмечают, что остатки являются цифрами 0 или 1. |
2 мин | Учитель показывает разряды 2³, 2², 2¹, 2⁰ и запись 1101₂. «Для обратного перевода умножаем каждую цифру на значение её разряда и складываем. Посмотрите: 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰. Вычислите сумму и сравните её с исходным числом». | Записывают разложение и вычисляют: 8 + 4 + 0 + 1 = 13; делают вывод: «Обратный перевод подтверждает результат». |
2 мин | Учитель записывает примеры двоичного сложения: 1₂ + 1₂ и 101₂ + 11₂. «В двоичном разряде 1 + 1 даёт ноль в текущем разряде и перенос единицы в следующий. Выполните сложение столбиком и проговорите, где появляется перенос. Как проверим ответ без повторения того же действия?» | Выполняют: 1₂ + 1₂ = 10₂; 101₂ + 11₂ = 1000₂. Предлагают перевести слагаемые и сумму в десятичную систему. |
2 мин | Учитель показывает вычитание 1000₂ − 1₂ и проговаривает заём. «Здесь в младшем разряде нельзя вычесть единицу из нуля. Занимаем единицу из старшего ненулевого разряда; при переходе через нулевые разряды заём последовательно передаётся. Проверьте вычисление обратным переводом и сформулируйте, за какой операцией нужно особенно следить». | Получают 111₂; проверяют: 1000₂ = 8₁₀, 1₂ = 1₁₀, разность 7₁₀ = 111₂. Отмечают необходимость внимательно отслеживать заём через нулевые разряды. |
Запись в тетрадях
- Перевод из десятичной системы в двоичную: последовательно делить целое число на 2, записывать остатки и читать их снизу вверх.
- Перевод из двоичной системы в десятичную: представить число суммой произведений цифр на степени двойки, соответствующие разрядам.
- При сложении двоичных чисел 1 + 1 = 10₂; при вычитании из нуля занимать единицу в старшем разряде.
- Проверять перевод и арифметическую операцию обратным переводом в десятичную систему.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели алгоритмы перевода и увидели, как в двоичной записи работают перенос и заём. Теперь применим правила в короткой командной игре, где важны и скорость, и доказательство ответа».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Двоичный код» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы перевода и двоичных операций в парной игре с выбором уровня сложности и проверкой решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет правила игры. «Перед вами карточки с одной общей целью — расшифровать числовое сообщение. Выберите базовый уровень, а если готовы к дополнительному вызову — средний или продвинутый. За верный ответ команда получает один балл, за правильное объяснение алгоритма — ещё один. Скорость без обоснования полного балла не приносит». | В парах выбирают карточку, распределяют роли: один выполняет вычисление, второй проверяет переводом или обратной операцией. |
3 мин | Учитель запускает таймер и напоминает проверять допустимость цифр и основание. «Базовая карточка: переведите 19₁₀ в двоичную систему и проверьте ответ. Средняя карточка: вычислите 1011₂ + 110₂ и проверьте сумму в десятичной системе. Продвинутая карточка: вычислите 11010₂ − 1011₂ и докажите ответ обратным сложением». | Решают выбранное задание и записывают ход вычислений. Полученные ответы сверяют внутри пары; при расхождении повторно проверяют разряды и перенос или заём. |
2 мин | Учитель организует обмен решениями между соседними парами. «Поменяйтесь карточками или тетрадями с соседней парой. Проверьте не только итог, но и запись разрядов. Поставьте отметку рядом с верным шагом, а возле ошибки задайте вопрос, который поможет её исправить». | Проверяют вычисление соседей, отмечают сильную сторону и указывают конкретный шаг для проверки, например: «Проверь перенос из второго разряда». |
1 мин | Учитель просит одну пару кратко обосновать ответ. «Кто объяснит, каким способом проверили результат и почему эта проверка надёжна? Что оказалось важнее для точности — скорость, аккуратная запись или обратное действие?» | Представляют решение и отвечают: «Перевели слагаемые в десятичную систему и сравнили сумму», «Проверили вычитание обратным сложением». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы не просто нашли ответы, а подтвердили их проверкой. Теперь каждый самостоятельно выполнит задание выбранного уровня, чтобы оценить, какой алгоритм уже освоен уверенно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение переводом чисел и двоичными арифметическими операциями на заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и выводит критерии: 1 балл за правильный перевод, 1 балл за верное действие, 1 балл за корректную проверку, 1 балл за объяснение. «Выберите уровень, который готовы выполнить самостоятельно. Базовый обязателен для всех, следующий уровень можно добавить, если останется время. Записывайте ход решения полностью: оценивается не только ответ». | Получают карточки, выбирают доступный уровень и знакомятся с критериями оценивания. |
6 мин | Учитель задаёт время и наблюдает за ходом работы, не сообщая готовых ответов. «Базовый уровень: переведите 22₁₀ в двоичную систему, затем выполните 101₂ + 10₂. Средний уровень: переведите 11010₂ в десятичную систему и вычислите 1110₂ − 101₂. Продвинутый уровень: вычислите 10111₂ + 1101₂, затем подтвердите результат переводом в десятичную систему. Если сомневаетесь, вернитесь к памятке на доске». | Индивидуально решают задания карточки. Записывают деление с остатками или сумму разрядных слагаемых, выполняют двоичное действие и отмечают способ проверки. |
2 мин | Учитель открывает на экране ответы и просит выполнить самопроверку другим цветом. «Сверьте каждый шаг, а не только последнюю строку. Если нашли расхождение, обведите место ошибки и исправьте его. Поставьте себе баллы по критериям и отметьте, какое действие требует ещё одной тренировки». | Сверяют записи с эталоном, исправляют обнаруженные ошибки другим цветом, подсчитывают баллы и отмечают затруднение. |
1 мин | Учитель предлагает поднять карточку самооценки: зелёную — алгоритм применяю самостоятельно, жёлтую — нужна проверка по памятке, красную — требуется разбор примера. «Цвет не влияет на отметку; он поможет мне выбрать, что повторить в начале следующего занятия». | Показывают выбранный цвет и при необходимости называют конкретное затруднение: «Путаю порядок остатков», «Теряю заём через нулевые разряды». |
Эталон решения
Базовый перевод: 22:2 = 11, остаток 0; 11:2 = 5, остаток 1; 5:2 = 2, остаток 1; 2:2 = 1, остаток 0; 1:2 = 0, остаток 1. Читаем остатки снизу вверх: 22₁₀ = 10110₂. Сложение: 101₂ + 10₂ = 111₂; проверка: 5 + 2 = 7. Средний перевод: 11010₂ = 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 + 8 + 2 = 26₁₀. Вычитание: 1110₂ − 0101₂ = 1001₂; проверка: 14 − 5 = 9. Продвинутый пример: 10111₂ + 01101₂ = 100100₂; проверка: 23 + 13 = 36, а 100100₂ = 32 + 4 = 36₁₀.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что у каждого уже есть способ проверить вычисление. Осталось связать его с реальной работой цифровых устройств и сформулировать, что именно вы освоили сегодня».
Этап 7. Межпредметная связь, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: связать двоичную арифметику с математикой и цифровыми технологиями, оценить индивидуальный результат и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране два двоичных значения и поясняет связь с математикой и ИКТ. «Двоичная запись опирается на те же степени основания, которые мы используем в разрядном разложении десятичного числа. В вычислительной технике данные представлены битами — значениями 0 и 1; последовательности битов используются при кодировании информации. Если программа складывает двоичные числа, какой математический навык обеспечивает проверку результата?» | Отвечают: «Разложение по степеням основания», «Перевод в десятичную систему», «Проверка сложения обратным действием»; связывают двоичные цифры с битами. |
2 мин | Учитель раздаёт листочки для билета на выход. «Запишите ответ на два вопроса: как перевести целое десятичное число в двоичное и какую проверку вы примените к двоичному вычитанию? Добавьте один пример действия, которое теперь можете выполнить увереннее, и один вопрос, если он остался». | Самостоятельно заполняют билет на выход: формулируют алгоритм, называют проверку и оценивают собственное понимание. |
1 мин | Учитель коротко объясняет уровни домашней работы и напоминает о выборе. «Всем выполните базовое задание, а затем выберите средний или продвинутый уровень по готовности. Записывайте все промежуточные действия и проверяйте ответы обратным переводом. На следующем уроке мы применим эти способы к более широкому кругу систем счисления и вычислительных задач». | Записывают домашнее задание, выбирают дополнительный уровень и задают уточняющие вопросы о способе проверки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены перевод числа из десятичной системы в двоичную и арифметическое действие; ход решения записан последовательно, проверка подтверждает ответ, ученик может объяснить перенос или заём.
- «4» — оба задания в основном выполнены верно, допущена не более чем одна вычислительная ошибка или неточность в записи; способ перевода и общий ход проверки понятны.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно из двух основных заданий, но в другом допущены ошибки в порядке остатков, разрядах, переносе либо займе; требуется опора на памятку для проверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило перевода из десятичной системы в двоичную вы теперь можете объяснить другому человеку? | Проверка осознанного усвоения алгоритма, а не механического воспроизведения ответа. |
На каком шаге двоичного сложения или вычитания вам нужно быть особенно внимательным? | Выявление точек затруднения при переносе и займе. |
Какой способ проверки результата вы использовали и почему ему можно доверять? | Оценка понимания обратного перевода и контроля вычислений. |
Какой уровень задания вы выбрали и что помогло вам справиться? | Субъективная оценка освоения темы и эффективности выбранной стратегии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, как одно число получает разные записи и как двоичные разряды участвуют в вычислениях. Главное — не угадывать ответ, а последовательно выполнять алгоритм и проверять его обратным переводом. Чаще всего ошибки возникают, когда остатки читают не снизу вверх или теряют перенос и заём между разрядами. Сохраните в тетради памятку и используйте её при выполнении домашней работы. На следующем уроке продолжим исследовать представление чисел и применим сегодняшние способы к новым задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: перевести два целых числа из десятичной системы в двоичную и два двоичных числа в десятичную. Для каждого решения записать промежуточные действия и проверку. | Закрепляет алгоритмы перевода; при проверке смотреть на порядок записи остатков и правильность степеней двойки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 примера на сложение и вычитание двоичных чисел, включая хотя бы один пример с переносом и один пример с займом через нулевой разряд; каждый результат проверить в десятичной системе. | Развивает точность двоичных вычислений; при проверке обращать внимание на перенос, заём и согласованность обратного перевода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу, связанную с двоичным представлением данных или подсчётом небольших числовых значений; привести условие, решение двоичным способом и проверку в десятичной системе. | Развивает моделирование и функциональную грамотность; при проверке оценивать корректность условия, обоснованность вычислений и ясность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как перевести целое десятичное число в двоичное? Как проверить двоичное число переводом в десятичную систему? Что происходит в разряде при сложении 1 + 1? Как проверить правильность вычитания?»
