Знакомство с многогранниками. Изображение многогранников на рисунках и проекционных чертежах
Цели и задачи
- Цель: Сформировать у учащихся понятие многогранника, его элементов и обучить правилам изображения пространственных фигур на плоскости с использованием параллельного проектирования.
- Образовательная задача: Познакомить с определениями грани, ребра, вершины, диагонали многогранника; рассмотреть выпуклые и невыпуклые многогранники.
- Развивающая задача: Развивать пространственное воображение и навыки графической грамотности при построении проекционных чертежей.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и аккуратность при выполнении геометрических чертежей.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (связь геометрии с инженерными специальностями).
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: Умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства для решения учебных задач (моделирование многогранников).
- Регулятивные: Умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: Умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров при выработке общего решения.
Предметные
- Знать определение многогранника, его элементов (вершина, ребро, грань).
- Уметь различать выпуклые и невыпуклые многогранники.
- Владеть навыками изображения многогранников на плоскости с соблюдением правил видимости линий.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование устойчивого интереса к изучению стереометрии.
- Развитие навыков самоанализа при выполнении графических работ.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль при выполнении чертежа многогранника.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве свойств проекций.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Сотрудничество с учителем и сверстниками в поиске ответов на проблемные вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модели многогранников: куб, параллелепипед, треугольная и четырехугольная пирамиды, октаэдр.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — по 1 на ученика.
- Подготовить презентацию со слайдами, демонстрирующими примеры многогранников в архитектуре и искусстве.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Открыть учебник Л.С. Атанасяна «Геометрия 10-11» на параграфе «Многогранники».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Мы продолжаем наше путешествие в мир стереометрии. Сегодня мы переходим от изучения абстрактных точек, прямых и плоскостей к конкретным телам, которые окружают нас повсюду — от кристаллов соли до небоскребов Москва-Сити. Проверьте наличие линеек, карандашей и ластиков — сегодня они будут нашими главными инструментами». | Приветствуют учителя, проверяют готовность рабочих мест, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель демонстрирует слайд с изображением египетских пирамид, Лувра и кубика Рубика: «Что объединяет эти объекты с точки зрения геометрии? Мы привыкли называть их фигурами, но в стереометрии есть более точный термин. Как вы думаете, какой?» | Отвечают: «Это объемные фигуры, тела, многогранники». Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно, это многогранники. Сегодня мы научимся не только давать им строгое определение, но и правильно изображать их на бумаге так, чтобы они оставались объемными в нашем восприятии».
Этап 2. Актуализация знаний и проверка ДЗ (7 мин)
Цель этапа: повторить опорные знания о взаимном расположении прямых и плоскостей, проверить выполнение домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Прежде чем строить сложные тела, вспомним основы. Проверим домашнее задание №45. Поднимите руки, у кого возникли трудности с построением линии пересечения плоскостей? Давайте быстро сверим ответы по цепочке». Учитель контролирует правильность ответов. | Сверяют ответы в тетрадях, комментируют алгоритм нахождения линии пересечения двух плоскостей. |
4 мин | Учитель проводит блиц-опрос: «1. Как называются прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости? 2. Сколько плоскостей можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой? 3. Что такое параллельное проектирование?» | Отвечают: «1. Скрещивающиеся. 2. Только одну. 3. Это способ изображения фигуры на плоскости, при котором все точки фигуры переносятся параллельно заданному направлению». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, фундамент заложен. Знание свойств параллельного проектирования нам сегодня жизненно необходимо для правильного изображения многогранников».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы (3 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, мотивирующую к изучению нового материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает модель невыпуклого многогранника (например, «звездчатый» многогранник или склеенный из двух кубов Г-образный объект): «Посмотрите на этот объект. Мы привыкли к кубам и пирамидам. Но является ли это многогранником? И как нам нарисовать его так, чтобы ваш товарищ понял, что задняя стенка у него полая? В чем главное отличие этого тела от обычного куба?» | Вступают в диалог, высказывают предположения: «У него есть вмятины», «Не все точки можно соединить отрезком внутри тела». Пытаются сформулировать проблему изображения невидимых частей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, наша задача — выяснить, что такое многогранник с точки зрения математики, и освоить универсальный язык его изображения».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение многогранника и его элементов, изучить правила изображения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на странице 64. Найдите определение многогранника. Давайте его проанализируем. Многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Обратите внимание на элементы: грани, ребра, вершины. Запишем это в тетрадь». Учитель рисует на доске произвольный выпуклый многогранник и подписывает элементы. | Работают с учебником, выписывают определение и элементы многогранника. Зарисовывают схему в тетрадь. |
4 мин | «Теперь о важном разделении: выпуклые и невыпуклые. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани. Посмотрите на рисунок 65 в учебнике. Видите разницу?» Учитель объясняет на моделях разницу между типами многогранников. | Сравнивают рисунки в учебнике, формулируют своими словами признак выпуклости. |
3 мин | «Как мы рисуем многогранник? Мы используем параллельное проектирование. Запомните правила: 1. Параллельные ребра оригинала изображаются параллельными отрезками на чертеже. 2. Отношение длин параллельных отрезков сохраняется. 3. Невидимые ребра рисуем пунктиром!» | Записывают правила изображения многогранников в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая геометрическое тело.
- Элементы: Грани (многоугольники), Ребра (стороны граней), Вершины (концы ребер).
- Выпуклый многогранник: лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани.
- Правило чертежа: Видимые линии — сплошные, невидимые — штриховые (пунктир).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы теоретически подкованы. Теперь перейдем к практике, ведь геометрия — это прежде всего умение видеть и строить».
Этап 5. Практика (7 мин)
Цель этапа: отработать навыки построения простейших многогранников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Давайте вместе построим наклонную треугольную призму. Шаг 1: Рисуем верхнее основание — треугольник. Шаг 2: Из каждой вершины проводим равные параллельные отрезки под углом. Шаг 3: Соединяем концы. А теперь внимание: какие ребра мы не видим? Обозначьте их пунктиром». Учитель проходит по рядам, корректируя работы. | Выполняют чертеж в тетрадях под диктовку учителя, анализируют видимость ребер, исправляют ошибки ластиком. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Посмотрите на свои чертежи. Если призма кажется объемной — вы справились. Если плоской — проверьте параллельность боковых ребер».
Этап 6. Самостоятельная работа (8 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала через дифференцированные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Раздаю карточки. Выберите уровень, который вам по силам. Уровень А — базовый (построить куб и назвать элементы). Уровень Б — средний (достроить невидимые ребра у сложной фигуры). Уровень В — продвинутый (изобразить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки). Приступайте, у вас 8 минут». | Выбирают уровень сложности и самостоятельно выполняют задания на карточках. При необходимости пользуются учебником. |
Эталон решения (Уровень Б)
Для изображения невидимых ребер четырехугольной пирамиды: 1. Основание ABCD (параллелограмм). 2. Вершина S вне плоскости. 3. Ребра SA, SB, SC — видимые (сплошные), если вершина смещена вперед. Ребра AD и CD основания будут невидимыми (пунктир), если они перекрываются гранями ABS и BCS.
Завершение этапа: учитель собирает карточки: «Время вышло. Эти работы покажут мне, насколько хорошо вы научились "видеть" сквозь бумагу».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить собственную деятельность, зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Подведем итоги. Что нового мы узнали о привычных нам фигурах? Какое свойство параллельного проектирования самое коварное при рисовании? Предлагаю заполнить небольшую таблицу рефлексии». | Отвечают на вопросы, анализируют свои ошибки в чертежах. Обсуждают, что параллельность сохраняется, а углы — нет. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Обратите внимание на творческое задание для желающих». | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — чертеж выполнен аккуратно, соблюдены все правила параллельного проектирования, верно определены и обозначены пунктиром все невидимые ребра, элементы многогранника названы без ошибок.
- «4» — чертеж верен, но допущены небольшие неточности в параллельности линий или неаккуратность, правильно определено большинство невидимых ребер.
- «3» — допущены грубые ошибки в правилах проектирования (например, не соблюдена параллельность ребер), неверно указана видимость линий, но общее представление о фигуре передано.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило изображения многогранников показалось самым сложным? | Выявление затруднений в графических навыках и понимании проекции. |
Смогу ли я отличить выпуклый многогранник от невыпуклого без подсказки учебника? | Проверка усвоения ключевого теоретического понятия. |
Где в моей будущей профессии могут пригодиться навыки черчения многогранников? | Связь с жизненным самоопределением и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы сделали важный шаг от плоскости к пространству. Помните, что геометрия — это не только формулы, но и искусство видеть структуру мира. На следующем уроке мы познакомимся с удивительной формулой Эйлера, которая связывает вершины, ребра и грани любого выпуклого многогранника. Уверен, она вас удивит. Спасибо за работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, §1, вопросы 1-3, № 218. | Выучить определения, изобразить в тетради правильную четырехугольную пирамиду. |
Средний (повышающий) | № 221, № 223. | Решить задачи на нахождение количества ребер и граней многогранника по заданным условиям. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект. | Склеить из плотной бумаги модель любого невыпуклого многогранника и принести на следующий урок. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если многогранник имеет 6 граней и 8 вершин, сколько у него ребер? (Подсказка: вспомните куб)».