Взаимное расположение прямых в пространстве: скрещивающиеся и параллельные прямые
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать параллельные и скрещивающиеся прямые в пространственной фигуре, формулировать признаки скрещивающихся прямых и применять их при решении не менее трёх задач.
- Сформировать представление о трёх возможных случаях взаимного расположения двух прямых в пространстве: пересечение, параллельность и скрещивание.
- Научить отличать скрещивающиеся прямые от пересекающихся и параллельных, обосновывая ответ свойствами плоскости и пространственных фигур.
- Развивать умение строить рассуждение по признаку, выделять условие и вывод, работать с чертежом и пространственной моделью.
- Воспитывать аккуратность геометрической записи, самостоятельность суждений и готовность аргументировать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение пространственного мышления для изучения математики, архитектуры, инженерии и технических дисциплин.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию геометрических объектов, которые нельзя полностью изобразить на плоскости.
- Принимают необходимость точного доказательства и различают обоснованное утверждение и визуальное предположение.
- Оценивают собственную готовность применять признаки взаимного расположения прямых.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, макета и текста условия, сопоставляют модель и её плоское изображение.
- Планируют решение задачи по алгоритму: определить вид расположения прямых, найти плоскость или параллельную прямую, сформулировать вывод.
- Аргументируют решение в устной и письменной форме, задают уточняющие вопросы и корректно оценивают рассуждения одноклассников.
- Используют символическую запись $a\parallel b$, $a\cap b=O$ и формулировки «прямые скрещиваются», «прямые лежат в одной плоскости».
Предметные
- Знать определения пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.
- Знать признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются.
- Уметь определять взаимное расположение прямых по чертежу и условию задачи.
- Уметь доказывать параллельность прямых в пространстве через принадлежность одной плоскости и отсутствие общих точек.
- Уметь применять изученные признаки к рёбрам и диагоналям призмы, параллелепипеда и тетраэдра.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемое понятие со способностью видеть пространственные отношения в реальных объектах.
- Формируют ответственное отношение к точности чертежа и доказательства.
- Осознают личную учебную задачу и выбирают уровень сложности при самостоятельной работе.
- Развивают готовность признавать ошибку в пространственном рассуждении и исправлять её.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования модели и удерживают её при выполнении заданий.
- Планируют последовательность доказательства скрещивания или параллельности прямых.
- Проверяют, достаточно ли приведённых фактов для вывода, и корректируют неполное рассуждение.
- Оценивают результат самостоятельной работы по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Сравнивают три вида взаимного расположения прямых и выделяют их существенные признаки.
- Строят пространственную модель по словесному описанию и переводят модель в условный чертёж.
- Применяют логическую связку «если..., то...» при формулировке признака.
- Анализируют, могут ли две прямые лежать в одной плоскости, и используют это для доказательства.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе при исследовании модели.
- Формулируют вопрос к рассуждению одноклассника и предлагают корректировку без замены доказательства готовым ответом.
- Аргументированно защищают классификацию пары прямых.
- Согласовывают общий вывод и фиксируют его в геометрической терминологии.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модели куба или прямоугольного параллелепипеда по одной на группу из 3–4 человек; дополнительно подготовить объёмную модель тетраэдра.
- Распечатать карточки для групповой работы: по одной карточке на группу, всего 6 карточек, с парами рёбер и диагоналей пространственных фигур.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, с заданиями на распознавание и доказательство.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные по одному комплекту на ученика.
- Вывести на экран изображения куба, прямой призмы и двух прямых, расположенных в разных плоскостях; не использовать изображения, искажающие принадлежность точек рёбрам.
- Записать на доске тему урока и оставить место для схемы «пересекаются — параллельны — скрещиваются».
- Подготовить памятку-алгоритм: «1. Есть ли общая точка? 2. Лежат ли прямые в одной плоскости? 3. Можно ли провести через одну прямую плоскость, содержащую другую?».
- Подготовить маркеры, линейки, листы А4 для групповой фиксации вывода и таймер на 3–5 минут.
- Подготовить эталонные ответы для взаимопроверки и критерии оценивания индивидуальной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование пространственной ситуации и вызвать потребность различать прямые, которые на плоском рисунке выглядят похожими.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает модель прямоугольного параллелепипеда: "Сегодня мы будем рассуждать не только по рисунку, но и по пространственной модели. Посмотрите на два ребра: одно направлено от вас к доске, другое — слева направо. На изображении они не имеют общей точки. Как вы думаете, обязательно ли такие прямые параллельны?" | Рассматривают модель, называют предварительные версии: "Возможно, они параллельны"; "Они могут находиться в разных плоскостях". |
2 мин | Учитель организует приём «Проблемный вопрос»: "Представьте две балки в каркасе здания. Они не пересекаются и не имеют общего направления. Можно ли назвать их параллельными? Сегодня нам нужно получить не зрительное впечатление, а строгий геометрический критерий." | Формулируют проблему: нужно определить, лежат ли прямые в одной плоскости, и установить признаки каждого случая. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в пространстве отсутствия общей точки недостаточно для вывода о параллельности. Теперь восстановим известные свойства прямых и найдём полный перечень случаев."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямой, плоскости, пересечения и параллельности, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Сформулируйте признак параллельности двух прямых на плоскости. Сколько общих точек имеют пересекающиеся прямые? Что означает утверждение, что две прямые лежат в одной плоскости?" Учитель фиксирует ключевые слова на доске: «одна плоскость», «общая точка», «не имеют общих точек». | Отвечают: "Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются"; "Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку"; "Существует плоскость, содержащая обе прямые". |
3 мин | Учитель показывает на экране две пары прямых и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала определите вид расположения самостоятельно, затем за минуту сравните аргументы с соседом. Не говорите только «видно на рисунке» — назовите геометрическое основание." | Индивидуально классифицируют пары, обсуждают в парах, затем сообщают: "Первая пара пересекается, потому что имеет общую точку"; "Вторая пара параллельна, потому что лежит в одной плоскости и не пересекается". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уверенно различаем пересечение и параллельность на плоскости. Но в пространстве появляется новый вопрос: могут ли две прямые не пересекаться и всё же не быть параллельными? Проверим это на модели."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и указывает на прямые $AB$ и $CC_1$: "Эти прямые имеют общих точек? Нет. Параллельны ли они? Для параллельности нужно не только отсутствие общей точки, но и принадлежность одной плоскости. Найдите плоскость, содержащую одновременно $AB$ и $CC_1$." | Рассматривают модель, пытаются провести плоскость через указанные рёбра, отвечают: "Такой плоскости нет"; "Прямые находятся в разных плоскостях". |
2 мин | Учитель принимает ответы и формулирует задачу урока: "Значит, нам предстоит ввести новый термин, установить его отличие от параллельности, доказать признак и научиться применять его к рёбрам пространственных фигур. Сформулируйте цель своими словами." | Формулируют цель: "Научиться распознавать скрещивающиеся прямые и доказывать их скрещивание"; "Научиться доказывать параллельность прямых в пространстве". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: отсутствие общей точки ещё не определяет вид прямых. Сейчас мы исследуем модель и сами выведем определение скрещивающихся прямых."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: сформировать определения и признаки скрещивающихся и параллельных прямых через исследование пространственной модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель делит класс на группы, раздаёт модели и карточки: "Рассмотрите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Исследуйте пары $AB$ и $CC_1$, $AB$ и $CD$, $AB$ и $BC$. Для каждой пары укажите общие точки, взаимное направление и плоскость, которой принадлежат обе прямые. На листе оформите таблицу из трёх столбцов." | В группах исследуют пары с помощью модели и чертежа. Фиксируют: $AB$ и $BC$ пересекаются; $AB$ и $CD$ параллельны; $AB$ и $CC_1$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости. |
3 мин | Учитель организует защиту результатов: "Назовите существенные признаки третьей пары. Можно ли провести одну плоскость через обе прямые? Какой термин подходит для такого положения?" Учитель вводит определение и записывает на доске: «Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости». | Представляют групповой вывод: "Прямые $AB$ и $CC_1$ не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости". Записывают определение скрещивающихся прямых. |
4 мин | Учитель выводит признак: "Рассмотрим плоскость $\alpha$, в которой лежит прямая $a$. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$, причём $B$ не принадлежит $a$. Могут ли $a$ и $b$ лежать в одной плоскости? Если бы могли, эта плоскость пересекалась бы с $\alpha$ по прямой, содержащей $a$ и точку $B$, что невозможно. Следовательно, прямые скрещиваются. Запишем признак полностью." | Восстанавливают рассуждение по вопросам учителя и записывают признак: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются. |
Запись в тетрадях
- В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
- Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
- Признак: если $a\subset\alpha$, $b\cap\alpha=B$, $B\notin a$, то $a$ и $b$ скрещиваются.
- Для параллельности в пространстве необходимо, чтобы прямые лежали в одной плоскости и не имели общих точек.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили новый вид взаимного расположения и строгий признак его распознавания. Теперь проверим определение на конкретных парах прямых и научимся проговаривать доказательство без опоры только на рисунок."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм классификации прямых и применение признака скрещивания в коллективном обсуждении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и задаёт вопросы: "Определите взаимное расположение $AB$ и $A_1B_1$, $AB$ и $BB_1$, $AB$ и $CC_1$. Для каждой пары назовите основание: общая точка, общая плоскость или отсутствие общей плоскости." | Отвечают: "$AB\parallel A_1B_1$, так как они лежат в плоскости $ABB_1A_1$ и не пересекаются"; "$AB$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$"; "$AB$ и $CC_1$ скрещиваются". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Толстые и тонкие вопросы»: "Составьте по одному вопросу на распознавание факта и по одному вопросу на объяснение причины. Например: «Какие прямые скрещиваются?» и «Почему отсутствие общей точки не доказывает параллельность?»." | В парах составляют вопросы и задают их соседней паре. Отвечают с использованием терминов «одна плоскость», «общая точка», «скрещивание». |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик сказал: «Если прямые не пересекаются, они параллельны». Найдите ошибку и исправьте ответ. Какой контрпример даёт куб?" | Формулируют исправление: "В пространстве непересекающиеся прямые могут быть скрещивающимися; пример — $AB$ и $CC_1$ в кубе". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете отличать зрительное впечатление от доказательства. Следующий шаг — самостоятельно применить алгоритм и проверить, какие элементы доказательства уже стали устойчивыми."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное усвоение определений и признаков на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание и выберите одно из двух дополнительных. В задаче обязательно указывайте, почему прямые пересекаются, параллельны или скрещиваются. Задание 1: в кубе определите взаимное расположение $AD$ и $B_1C_1$, $AB$ и $DD_1$, $AB$ и $CD$. Задание 2: объясните по признаку, почему $AB$ и $CC_1$ скрещиваются. Задание 3: предложите другую пару скрещивающихся рёбер куба." | Индивидуально записывают решения: "$AD\parallel B_1C_1$"; "$AB$ и $DD_1$ скрещиваются"; "$AB\parallel CD$". В доказательстве указывают плоскость основания и точку пересечения вертикального ребра с этой плоскостью. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: «1) $AD\parallel B_1C_1$; 2) $AB$ и $DD_1$ скрещиваются; 3) $AB\parallel CD$; 4) $AB$ лежит в плоскости основания, $CC_1$ пересекает её в $C$, $C\notin AB$». Просит провести самопроверку и отметить ошибки условными знаками. | Сверяют каждое утверждение с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют доказательство и ставят себе результат по числу верных пунктов. |
Эталон решения
Для доказательства скрещивания $AB$ и $CC_1$ рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Прямая $CC_1$ пересекает плоскость $ABCD$ в точке $C$. Точка $C$ не принадлежит прямой $AB$. По признаку скрещивающихся прямых $AB$ и $CC_1$ скрещиваются.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что решающим является не положение линий на рисунке, а указание плоскости и логическое основание вывода. Завершим урок применением нового алгоритма к более обобщённой пространственной ситуации."
Этап 7. Включение знания в систему и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы доказательства и осознать степень достижения цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ определите взаимное расположение прямых $AB$ и $A_1C_1$. Сначала найдите плоскость, содержащую каждую прямую, затем сделайте вывод. Какие данные нужно проверить?" | Анализируют модель и формулируют: прямые не имеют общей точки; $AB$ лежит в плоскости основания, $A_1C_1$ — в плоскости верхнего основания; эти плоскости параллельны, но сами прямые не имеют одинакового направления, поэтому прямые скрещиваются. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить три случая; жёлтую — если путаете параллельность и скрещивание; красную — если нужен разбор алгоритма. На листе выхода допишите: «Чтобы доказать скрещивание, я должен...»" | Поднимают карточки и записывают: "указать плоскость, содержащую одну прямую; показать, что вторая пересекает её вне первой прямой". |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему две балки могут не пересекаться и всё же не быть параллельными?" | Отвечают: "Потому что они могут быть скрещивающимися: не иметь общей точки и не лежать в одной плоскости". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили полный набор основных случаев взаимного расположения прямых и научились доказывать скрещивание через плоскость. Теперь зафиксируем результат и определим дальнейшую индивидуальную работу."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены все три пары прямых в самостоятельной работе, приведено доказательство скрещивания по признаку, использованы обозначения прямых и плоскости без логических ошибок.
- «4» — верно решены не менее трёх заданий из четырёх, но допущена одна неточность в названии плоскости или в оформлении вывода.
- «3» — верно определены две пары прямых и воспроизведено определение скрещивающихся прямых, однако доказательство признака неполное или содержит одну существенную ошибку.
- Ниже базового уровня — ученик правильно называет отдельные виды расположения, но пока не связывает вывод с принадлежностью прямых одной плоскости; требуется повторить алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о непересекающихся прямых в пространстве? | Проверка осознания отличия параллельных и скрещивающихся прямых. |
Как доказать, что две прямые скрещиваются, а не просто не пересекаются на рисунке? | Выявление понимания признака и роли плоскости в доказательстве. |
Какая часть алгоритма определения взаимного расположения вызвала затруднение? | Диагностика точек затруднения для последующего повторения. |
В каком реальном объекте можно увидеть параллельные или скрещивающиеся элементы? | Связь математического понятия с пространственным моделированием и функциональной грамотностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что в пространстве отсутствие общей точки ещё не означает параллельность. Мы научились распознавать скрещивающиеся прямые, формулировать их определение и применять признак через рассмотрение плоскости. Типичная ошибка — делать вывод только по внешнему виду чертежа, не указывая, в какой плоскости лежат прямые. На следующем уроке мы продолжим исследовать параллельность в пространстве и свяжем её с параллельностью прямой и плоскости."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение взаимного расположения пар прямых в кубе или прямой призме: по одному примеру на пересечение, параллельность и скрещивание, а также одно задание на объяснение признака скрещивания. | Закрепить определения и научиться выделять основание вывода; при проверке обращать внимание на указание общей точки или общей плоскости. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на доказательство параллельности или скрещивания прямых в пространственной фигуре, каждый вывод оформить последовательностью из двух-трёх логических шагов. | Развить умение строить доказательство, а не угадывать вид расположения по рисунку; проверить корректность обозначений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пространственную модель из 6–8 точек и прямых, включив одну пару пересекающихся, одну пару параллельных и одну пару скрещивающихся прямых; письменно обосновать классификацию каждой пары. | Развить исследовательское и пространственное мышление; проверить, действительно ли для каждой пары указана плоскость или её отсутствие. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие три случая взаимного расположения прямых возможны в пространстве? Как формулируется определение скрещивающихся прямых? Что требуется указать, чтобы доказать скрещивание двух прямых? Достаточно ли отсутствия общей точки для вывода о параллельности?»
