Построение сечений многогранников методом следов
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться строить сечение тетраэдра и призмы плоскостью методом следов, находить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и обосновывать каждый этап построения.
- Познакомить учащихся с понятием следа секущей плоскости на грани многогранника и алгоритмом построения сечения методом следов.
- Научить применять признак принадлежности двух точек одной плоскости для проведения следа на грани многогранника.
- Развивать пространственное мышление, умение анализировать чертёж, выдвигать гипотезу и проверять её рассуждением.
- Формировать ответственное отношение к точности геометрических построений и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного геометрического чертежа как средства математического рассуждения и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию пространственных объектов и самостоятельному поиску способа построения.
- Осознают необходимость проверки результата и корректного отношения к аргументам одноклассников.
- Развивают уверенность в работе с нестандартной пространственной задачей, не сводя решение к механическому алгоритму.
Метапредметные
- Выделяют условие задачи, фиксируют известные точки и определяют грани, через которые проходит секущая плоскость.
- Строят логическую последовательность действий и проверяют, принадлежит ли полученный многоугольник одной плоскости.
- Используют чертёж, пространственную модель и устное доказательство как взаимосвязанные способы представления информации.
- Сотрудничают в парах, формулируют вопросы к решению и аргументированно оценивают предложенный способ.
- Осуществляют самоконтроль по алгоритму и корректируют построение при обнаружении ошибки.
Предметные
- Знать понятие следа секущей плоскости на грани многогранника.
- Понимать, что следом плоскости на грани является прямая, проходящая через две точки пересечения секущей плоскости с этой гранью.
- Уметь находить след плоскости на грани по двум известным точкам и продолжать построение на соседних гранях.
- Уметь строить сечение тетраэдра и призмы методом следов.
- Владеть кратким обоснованием правильности построения с использованием признака принадлежности прямой и плоскости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к построению пространственных сечений.
- Связывают точность чертежа и доказательства с требованиями математической культуры.
- Проявляют самостоятельность при выборе вспомогательных построений.
- Принимают необходимость исправления ошибки как часть исследовательской работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель построения и составляют последовательность действий.
- Планируют работу с учётом того, какие грани являются соседними.
- Сверяют каждый шаг с условием и алгоритмом метода следов.
- Оценивают полноту сечения, корректируют неверно проведенные линии.
- Фиксируют результат и определяют, какое действие требует дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Выделяют точки, принадлежащие секущей плоскости, и классифицируют их по граням.
- Устанавливают связи между плоским чертежом и пространственной моделью многогранника.
- Применяют признак принадлежности двух пересекающихся прямых одной плоскости.
- Моделируют ход построения в виде схемы или алгоритма.
- Анализируют ошибочные построения и находят нарушенный принцип.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру назначение каждой построенной линии.
- Задают уточняющие вопросы о принадлежности точки грани или ребру.
- Аргументируют выбор следующей грани и способ нахождения новой точки.
- Сопоставляют два решения и корректно указывают их достоинства и недочёты.
- Приходят к общему выводу о признаках правильного сечения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить объёмную модель треугольной призмы и тетраэдра либо прозрачные каркасные модели.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — сечение тетраэдра, повышенные — сечение призмы, исследовательские — анализ ошибки; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить индивидуальный лист алгоритма метода следов и лист самопроверки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на экран схему многогранника с отмеченными точками секущей плоскости и отдельный слайд с контрольными вопросами.
- Подготовить цветные маркеры: один цвет для рёбер многогранника, второй для следов секущей плоскости, третий для итогового сечения.
- Начертить на доске таблицу: «Дано — На какой грани строим след — Какие новые точки получаем — Чем обосновываем».
- Подготовить линейки, карандаши, ластики и прозрачные файлы или планшеты для выполнения чертежей.
- Распечатать мини-карточки для приёма «Светофор» — по одной на каждого ученика.
- Подготовить задания для домашней работы трёх уровней без привязки к номерам и страницам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость метода следов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает каркасную модель призмы с двумя отмеченными точками на разных рёбрах: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем решать задачу, которая встречается в стереометрии, инженерной графике и компьютерном моделировании. На модели выделены точки, через которые проходит секущая плоскость. Попробуйте предположить, каким должен быть итоговый многоугольник». | Рассматривают модель, называют возможные фигуры: «Треугольник», «Четырёхугольник», «Пятиугольник», объясняют, что результат зависит от положения плоскости. |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: «Как провести все стороны сечения, если часть точек секущей плоскости ещё не найдена? Можно ли построить сечение, не угадывая его форму? Сегодня мы найдём способ, который превращает пространственную задачу в последовательность плоских построений». | Формулируют предположения: «Нужно искать точки на рёбрах», «Нужно использовать грани», «Нужно соединять точки, лежащие на одной грани». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что форма сечения заранее не всегда очевидна. Сейчас восстановим знания о принадлежности точек и прямых плоскости, чтобы построить надёжный алгоритм».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать признаки принадлежности точки и прямой плоскости, а также правила изображения многогранника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране изображение тетраэдра и спрашивает: «Какие элементы тетраэдра вы видите? Как определить, что точка принадлежит грани? Может ли прямая, проходящая через две точки грани, выйти за пределы этой плоскости?» | Называют вершины, рёбра и грани; отвечают: «Если точка находится на грани, она принадлежит её плоскости»; формулируют: «Прямая через две точки плоскости лежит в этой плоскости». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «За тридцать секунд определите, какие из пар точек позволяют провести прямую на одной грани. Затем обсудите ответ с соседом и подготовьте объяснение». | Индивидуально отмечают пары точек, одну минуту обсуждают решение в парах, сообщают: «Если обе точки принадлежат одной грани, через них можно провести след на этой грани». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы для проверки: «Что называется сечением многогранника? Почему стороны сечения не могут произвольно пересекать внутренность грани? Как связаны сечение и секущая плоскость?» | Отвечают: «Сечение — многоугольник, полученный пересечением многогранника с плоскостью»; «Сторона сечения лежит в грани»; «Вершины сечения возникают в точках пересечения плоскости с рёбрами». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань, называется следом секущей плоскости на этой грани».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили главное: две точки, принадлежащие одной грани, определяют след секущей плоскости на этой грани. Теперь выясним, как использовать один найденный след для перехода на соседнюю грань».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм исследования и критерии правильного построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает тетраэдр с точками $A$ и $B$ на рёбрах одной грани: «На грани $ABC$ уже известны точки $A$ и $B$, принадлежащие секущей плоскости. Проведём через них прямую. Что она даст нам? На какую соседнюю грань мы сможем перейти?» | Формулируют: «Прямая $AB$ является следом на грани $ABC$»; «Она пересекает другие рёбра этой грани и позволяет продолжить построение на соседней грани». |
2 мин | Учитель записывает на доске цель: «Научиться строить сечение методом следов и обосновывать переход от одной грани к другой». Затем спрашивает: «Какие действия должны войти в алгоритм? Как проверим, что не остановились слишком рано?» | Предлагают шаги: «Провести след», «найти новую точку на ребре», «перейти на соседнюю грань», «соединить все найденные точки», «проверить замкнутость многоугольника и принадлежность его сторон граням». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы не просто нарисуем многоугольник, а построим его последовательно и докажем, почему каждая его сторона является частью секущей плоскости. Переходим к открытию алгоритма».
Этап 4. Открытие нового знания: метод следов (10 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать алгоритм построения сечения методом следов на примере тетраэдра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует модель тетраэдра $ABCD$, на рёбрах $AB$ и $AC$ отмечены точки $M$ и $N$: «Плоскость сечения проходит через точки $M$ и $N$. Обе точки лежат на грани $ABC$, поэтому проводим отрезок $MN$. Это след секущей плоскости на грани $ABC$. Теперь смотрим, какие рёбра грани пересекает этот след». | Строят в тетрадях тетраэдр, отмечают $M$ и $N$, проводят $MN$, отвечают: «След лежит в грани $ABC$ и является частью искомого сечения». |
3 мин | Учитель продолжает: «След $MN$ не даёт всего сечения. Он показывает направление перехода на соседние грани. Поскольку точка $M$ лежит на ребре $AB$, а точка $N$ — на ребре $AC$, ищем продолжение секущей плоскости на гранях, имеющих с ними общие рёбра. На грани $ABD$ через $M$ проводим линию, которая пересекает ребро $BD$ в точке $P$. На грани $ACD$ через $N$ проводим линию, которая пересекает ребро $CD$ в точке $Q$». | Следят за моделью и чертежом, отмечают точки $P$ и $Q$, формулируют: «$P$ и $Q$ получены как новые точки пересечения секущей плоскости с рёбрами». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: «Почему отрезки $MP$ и $NQ$ можно включить в сечение? Что общего у точек каждого отрезка?» Учитель подчёркивает цветом грани. | Отвечают: «$M$ и $P$ лежат на одной грани $ABD$, поэтому $MP$ — её след»; «$N$ и $Q$ лежат на грани $ACD$, поэтому $NQ$ — след на этой грани». |
2 мин | Учитель предлагает завершить построение: «Осталась грань $BCD$. На ней уже известны точки $P$ и $Q$. Соедините их. Какой многоугольник получился? Перечислите его стороны и укажите грани, на которых они лежат». | Проводят $PQ$, получают четырёхугольник $MPQN$, перечисляют стороны: $MN$ на $ABC$, $MP$ на $ABD$, $PQ$ на $BCD$, $QN$ на $ACD$. |
Запись в тетрадях
- Выбрать грань, на которой известны две точки секущей плоскости.
- Провести через эти точки след секущей плоскости на грани.
- На соседней грани найти новые точки пересечения следа с рёбрами.
- Повторять переход по соседним граням до возвращения к исходной грани.
- Соединить найденные точки по граням и проверить замкнутость сечения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Метод следов основан на переходе от грани к грани. Каждая сторона сечения строится как след секущей плоскости на соответствующей грани, поэтому итоговый многоугольник не является догадкой, а следует из свойств плоскости».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к построению сечения треугольной призмы и проговорить обоснование каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с изображением призмы $ABC A_1B_1C_1$ и точками $M$ на $AA_1$, $N$ на $BB_1$, $P$ на $BC$. «Работаем в парах. Один ученик отвечает за построение, второй — за проверку принадлежности каждой линии грани. Через три минуты поменяйтесь ролями». | Распределяют роли, читают условие, выделяют точки $M$, $N$, $P$ и определяют грани, содержащие пары известных точек. |
4 мин | Учитель направляет работу вопросами: «На какой грани лежат $N$ и $P$? Какой след можно провести первым? На какую соседнюю грань перейдём через точку $N$? Не соединяйте точки, если не указали грань, которой принадлежит отрезок». | Проводят след на грани $BCC_1B_1$ через $N$ и $P$, находят новые точки на соседних рёбрах, переносят построение на соседние грани, подписывают рядом с каждым отрезком название грани. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь листами. Проверьте три критерия: все вершины лежат на рёбрах, каждая сторона лежит в грани, сечение замкнуто. Поставьте партнёру две звезды и одно пожелание». | Проверяют чертежи по трём критериям, записывают два достоинства и один конкретный совет: «Подпишите грань для отрезка», «Проверьте, что линия не проходит сквозь ребро без точки пересечения». |
Эталон решения
На грани $BCC_1B_1$ точки $N$ и $P$ принадлежат секущей плоскости, поэтому проводим след $NP$. Он пересекает рёбра грани и задаёт новые точки сечения. Через найденную точку на соседнем ребре переходим на соседнюю грань и проводим следующий след через уже известную точку. Продолжаем построение до возвращения к исходной грани. Соединённые последовательно точки образуют замкнутый многоугольник. Правильность каждой стороны обосновывается тем, что она является частью пересечения секущей плоскости с соответствующей гранью.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили алгоритм к новому многограннику и проверили не только внешний вид, но и принадлежность сторон граням. Теперь каждый выполнит построение самостоятельно, без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение обосновать построение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: «Базовый вариант выполняют все. Если готовы к более сложному пространственному анализу, выбирайте повышенный или исследовательский вариант. Выбор уровня не влияет на ценность работы, но требует разной глубины рассуждения». | Выбирают уровень, записывают номер варианта и формулируют личную цель: «Построить без пропуска граней», «Обосновать каждый след». |
6 мин | Учитель предлагает базовую задачу: «В тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ лежат соответственно на рёбрах $AB$ и $AC$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через $M$, $N$ и пересекающей ребро $BD$ в точке $P$. Обозначьте все стороны сечения и укажите грани, на которых они лежат». Во время работы учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы, но не проводит линии вместо ученика. | Самостоятельно строят $MN$, используют точку $P$, находят недостающую точку на ребре $CD$, замыкают сечение, записывают принадлежность сторон граням и краткое обоснование. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: «Сверьте не только форму, но и порядок построения. Если есть ошибка, обведите место, где нарушен алгоритм, и исправьте другим цветом». | Сравнивают чертёж с эталоном, исправляют ошибки, отмечают в листе самоконтроля: «нашёл исходную грань», «построил след», «перешёл на соседние грани», «замкнул сечение», «обосновал стороны». |
Эталон решения
Проводим $MN$ на грани $ABC$. На грани $ABD$ через точку $M$ и заданную точку $P$ проводим отрезок $MP$. На грани $BCD$ через точку $P$ проводим след до пересечения с ребром $CD$ в точке $Q$. На грани $ACD$ соединяем $Q$ с $N$. Получаем сечение $MNPQ$. Стороны $MN$, $MP$, $PQ$, $QN$ лежат соответственно на гранях $ABC$, $ABD$, $BCD$, $ACD$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, умеете ли вы превращать пространственную задачу в цепочку плоских построений. Осталось оценить не только результат, но и то, какие шаги оказались наиболее трудными».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенный способ, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно начать построение; жёлтую — если понимаете идею, но путаетесь при переходе между гранями; красную — если требуется совместный разбор. Назовите один конкретный шаг, который вызывает вопрос». | Поднимают карточки, формулируют затруднения: «Не всегда понимаю, на какую грань переходить», «Забываю подписывать грань», «Трудно увидеть последнюю точку». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Запишите две фразы: “След секущей плоскости на грани — это ...”; “Чтобы проверить правильность сечения, нужно ...”. Затем ответьте: “Почему нельзя соединять две точки, если они не принадлежат одной грани?”» | Письменно завершают определения: «След — линия пересечения секущей плоскости с гранью»; «Нужно проверить принадлежность сторон граням и замкнутость»; объясняют, что соединение должно лежать в одной грани. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень или один из повышенных вариантов. При выполнении обязательно подписывайте грани, на которых лежат стороны сечения, и сохраняйте последовательность метода следов». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились строить сечение не по внешней догадке, а методом последовательного перехода от грани к грани. На следующем уроке рассмотрим случаи, когда секущая плоскость пересекает большее число граней и сечение становится многоугольником с большим количеством вершин».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — построение выполнено полностью, все точки сечения расположены на рёбрах, стороны проведены только по соответствующим граням, сечение замкнуто, приведено корректное обоснование метода следов.
- «4» — построение в целом верно, но допущена одна неточность в обозначениях или недостаточно полно записано обоснование; форма и принадлежность сторон определены правильно.
- «3» — найдено не менее половины вершин сечения и понятен общий принцип метода, но допущены ошибки при переходе между гранями или сечение не замкнуто.
- Ниже «3» — не определена исходная грань, линии проведены без указания принадлежности граням, алгоритм метода следов не прослеживается.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое след секущей плоскости на грани? | Проверка осознания нового геометрического понятия. |
С какого действия начинается построение методом следов? | Выявление понимания алгоритма и исходных данных. |
Как определить, что отрезок является стороной сечения? | Проверка умения связывать отрезок с конкретной гранью многогранника. |
Какой шаг оказался самым трудным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы увидели, что построение сечения — это не угадывание формы многоугольника, а строгое исследование граней многогранника. Мы научились находить след на одной грани и последовательно переносить построение на соседние. Типичная ошибка — соединить точки, не проверив, принадлежат ли они одной грани. На следующем уроке мы усложним задачу и рассмотрим сечения, проходящие через большее число граней. Точность чертежа и краткое обоснование будут так же важны, как и сам итоговый многоугольник».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 2 задачи на построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через две точки на рёбрах и одну заданную точку на другом ребре. Для каждого отрезка подписать грань, на которой он лежит. | Закрепить алгоритм метода следов и проверять принадлежность каждой стороны сечения соответствующей грани. |
Средний (повышающий) | Выполнить 2 задачи на построение сечения треугольной призмы, в каждой определить все вершины сечения и назвать число его сторон. Добавить краткое обоснование переходов от грани к грани. | Развить пространственное мышление, умение продолжать след на соседние грани и анализировать форму сечения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на сечение призмы или тетраэдра методом следов, выбрать положение трёх точек, построить сечение и подготовить проверку решения по трём критериям. | Развить исследовательские и проектировочные умения, научиться оценивать корректность условия и полного построения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется следом секущей плоскости на грани? Почему две точки на одной грани задают след? Как понять, что построение сечения завершено? На каком этапе нужно проверять принадлежность сторон граням?»
