Повторение планиметрии: теорема о пропорциональных отрезках и подобие треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся повторят признаки подобия треугольников, сформулируют теорему о пропорциональных отрезках и применят их для решения не менее трёх геометрических задач, включая задачу с практическим контекстом.
- Образовательная задача: восстановить содержание теоремы о пропорциональных отрезках, признаки подобия треугольников и связь между отношениями сходственных сторон и углов.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выдвигать гипотезу, выбирать признак подобия и аргументировать последовательность решения.
- Метапредметная задача: совершенствовать навыки планирования решения, смыслового чтения условия, математической записи и самопроверки результата.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за точность доказательства, уважение к аргументам одноклассников и готовность самостоятельно исправлять ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение геометрического доказательства для дальнейшего изучения математики и подготовки к обучению в вузе.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа решения задачи.
- Понимают ценность точности чертежа, обозначений и аргументированной математической речи.
- Развивают устойчивость к затруднению и готовность рассматривать ошибку как источник дальнейшего продвижения.
Метапредметные
- Анализируют условие задачи, выделяют известные и неизвестные величины, устанавливают связи между ними.
- Планируют решение и выбирают подходящий признак подобия на основании данных чертежа.
- Формулируют гипотезы, проверяют их вычислением и оценивают правдоподобие ответа.
- Работают с математической информацией, представленной в тексте, на чертеже и в пропорции.
- Используют взаимопроверку и корректируют решение по заданным критериям.
Предметные
- Знать формулировку теоремы о пропорциональных отрезках и признаки подобия треугольников.
- Уметь распознавать сходственные стороны и углы подобных треугольников.
- Уметь составлять пропорции и находить неизвестный отрезок через коэффициент подобия.
- Уметь обосновывать подобие треугольников по двум углам, двум сторонам и углу между ними, трём сторонам.
- Уметь применять теорему о пропорциональных отрезках при решении задач по чертежу.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на подобие.
- Связывают точность математического рассуждения с качеством будущей учебной и профессиональной деятельности.
- Осознают необходимость самостоятельной проверки каждого вывода.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и планируют действия для её достижения.
- Контролируют соответствие пропорции выбранным сходственным сторонам.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения материала по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Восстанавливают определения и теоремы по опорным признакам.
- Сравнивают три признака подобия и классифицируют задачи по способу решения.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью чертежа, обозначений и пропорции.
- Устанавливают причинно-следственную связь между параллельностью прямых и пропорциональностью отрезков.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбор признака подобия полной математической фразой.
- Задают уточняющие вопросы к чертежу и условию задачи.
- Аргументированно сравнивают разные решения.
- Соблюдают правила конструктивной взаимопроверки и формулируют корректное замечание.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с тремя чертежами: параллельные прямые, пересекающие стороны угла; два треугольника с отмеченными углами; практический чертёж для измерения высоты.
- Распечатать диагностические карточки с тремя заданиями базового уровня — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки для работы в парах с четырьмя чертежами и пропусками в доказательствах — по одной на пару.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: обязательный, повышающий и дополнительный.
- Разместить на доске опорную схему: «признак → сходственные стороны → пропорция → вычисление → проверка».
- Подготовить линейки, карандаши и угольники для уточнения чертежей; по одному комплекту на парту.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для «Билета на выход».
- На отдельном листе заготовить эталоны решений для самопроверки: задача на теорему о пропорциональных отрезках и задача на подобие по двум углам.
- Подготовить на экране практический вопрос: «Как оценить высоту дерева, не измеряя её напрямую?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать практическую ценность подобия треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы не просто повторяем формулы. Представьте, что вам нужно определить высоту дерева, вышки или здания, не поднимаясь на них. На экране показаны два треугольника, возникающие при измерении расстояний и теней. Как связаны их размеры?" | Рассматривают схему, называют возможные связи: "Углы могут быть равными", "Стороны могут быть пропорциональны", "Треугольники могут быть подобными". |
2 мин | Учитель продолжает: "Запишите тему урока. Наша задача — восстановить не отдельные правила, а целостный алгоритм: увидеть геометрическую конфигурацию, доказать подобие или пропорциональность и только после этого выполнять вычисления. Поднимите стикер зелёного, жёлтого или красного цвета, показывая, насколько уверенно вы сейчас решаете такие задачи." | Записывают тему, выбирают стикер самооценки и прикрепляют его на доску в колонке «Мой старт». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что подобие позволяет находить недоступные величины по доступным измерениям. Теперь восстановим знания, которые понадобятся для решения этой практической задачи."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения, свойства пропорции и признаки подобия треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала молча восстановите три признака подобия и теорему о пропорциональных отрезках. Затем сравните формулировки с соседом. Обратите внимание: признак должен содержать условие и вывод, а не только название." | Индивидуально записывают формулировки, затем обсуждают их в парах и предлагают классу: "По двум углам", "По двум сторонам и углу между ними", "По трём сторонам". |
3 мин | Учитель показывает на доске пропорцию $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ и спрашивает: "Какие преобразования с пропорцией допустимы? Что называют сходственными сторонами? Как из коэффициента подобия получить неизвестную сторону?" Учитель фиксирует ответы в опорной схеме. | Отвечают: "Крайние и средние члены можно менять местами", "Сходственные стороны занимают одинаковое положение относительно равных углов", "Если коэффициент равен $k$, то соответствующие стороны относятся как $k$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулировки у нас восстановлены, но пока не проверено, умеем ли мы быстро распознавать нужную конфигурацию. Сейчас найдём место возможного затруднения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить типичную ошибку при выборе сходственных сторон и сформулировать план повторения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, где $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$, и спрашивает: "Ученик записал пропорцию $\frac{AB}{A_1C_1}=\frac{BC}{A_1B_1}$. Можно ли сразу принять её? Почему?" | Находят ошибку: "В пропорции перепутаны сходственные стороны; стороне $AB$ соответствует $A_1B_1$, а стороне $BC$ — $B_1C_1$". |
2 мин | Учитель говорит: "Значит, вычисление — только середина решения. Сначала нужно установить соответствие углов и сторон. Сформулируйте план нашей работы из четырёх шагов." | Формулируют план: "Проанализировать чертёж, выбрать признак, записать соответствие и пропорцию, вычислить и проверить ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обнаружили главное затруднение — неверное соответствие элементов. Теперь исследуем, как параллельные прямые и равные углы помогают получить пропорциональные отрезки."
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания (9 мин)
Цель этапа: восстановить теорему о пропорциональных отрезках через анализ чертежа и связать её с подобием треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает чертёж: из вершины $O$ проведены два луча, на них отмечены точки $A,B$ и $C,D$, причём $AC\parallel BD$. Учитель говорит: "Посмотрите на треугольники $OAC$ и $OBD$. Какие углы равны из-за общей вершины, а какие — как соответственные углы при параллельных прямых? Какой вывод можно сделать?" | Называют равные углы: "$\angle O$ — общий, $\angle OAC=\angle OBD$, $\angle OCA=\angle ODB$". Формулируют: "Треугольники подобны по двум углам". |
3 мин | Учитель записывает на доске: "Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки" и поясняет: "Из подобия следует $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$. Важно сопоставлять отрезки, лежащие напротив равных углов." | Записывают теорему и следствие, подчёркивают пары соответствующих отрезков, объясняют происхождение каждой пропорции. |
2 мин | Учитель предлагает классификацию: "Если в задаче даны два угла — используем один признак; если две стороны и угол между ними — другой; если три стороны — третий. Не называйте признак, пока не указали, какие элементы сравниваются." | Заполняют в тетради краткую таблицу «Данные — признак — вывод», приводят по одному примеру для каждого признака. |
Запись в тетрадях
Записать: «Теорема о пропорциональных отрезках: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки». Алгоритм: 1) установить соответствие углов и сторон; 2) выбрать признак подобия; 3) записать пропорцию; 4) найти неизвестное; 5) проверить смысл ответа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили доказательную цепочку: параллельность даёт равенство углов, равенство углов даёт подобие, а подобие даёт пропорциональность. Проверим эту цепочку на конкретных задачах."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор признака подобия и составление корректной пропорции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: "В треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$, причём $DE\parallel BC$. Известно, что $AD=4$ см, $DB=6$ см, $AE=6$ см. Найдите $EC$. Сначала не считайте: объясните, какие треугольники подобны и почему." | В парах выделяют треугольники $ADE$ и $ABC$, записывают: "$\angle A$ общий, $\angle ADE=\angle ABC$, значит, треугольники подобны по двум углам". |
3 мин | Учитель спрашивает: "Какие стороны соответствуют друг другу? Запишите пропорцию и проговорите, почему именно такая запись корректна. После этого выполните вычисление." | Записывают $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$, где $AB=4+6=10$ см, $AC=6+x$, получают $\frac{4}{10}=\frac{6}{6+x}$ и находят $x=9$ см. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверьте не только число, но и наличие обоснования подобия, правильность соответствия и единицы измерения. Поставьте две звезды и одно пожелание." | Проверяют решение партнёров, отмечают сильные стороны и формулируют замечание, например: "Вычисление верное, но не указано равенство углов". |
Эталон решения
$AB=AD+DB=4+6=10$ см. Так как $DE\parallel BC$, то $\angle ADE=\angle ABC$, $\angle AED=\angle ACB$, поэтому $\triangle ADE\sim\triangle ABC$. Следовательно, $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. Подставим данные: $\frac{4}{10}=\frac{6}{6+x}$. Получаем $4(6+x)=60$, $24+4x=60$, $x=9$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что параллельность превращает задачу на неизвестный отрезок в задачу на подобие. Теперь каждый проверит, может ли выполнить полный алгоритм самостоятельно и без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять признаки подобия и теорему о пропорциональных отрезках.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней и говорит: "Обязательное задание выполняют все. Повышающий уровень выбирают те, кто завершил обязательное решение и готов обосновывать каждый шаг. На листе сначала выполните чертёж или дополните его, затем запишите доказательство." | Выбирают уровень, подписывают лист, готовят чертёж и отмечают известные величины. |
5 мин | Учитель предлагает обязательную задачу: "В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $\angle A=\angle A_1$, $\angle C=\angle C_1$, $AC=8$ см, $A_1C_1=12$ см, $AB=10$ см. Найдите $A_1B_1$." Учитель напоминает: "Сначала укажите признак подобия и соответствие сторон." | Самостоятельно записывают подобие по двум углам, пропорцию $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, находят $A_1B_1=15$ см. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон и говорит: "Сверьте решение по четырём критериям: признак, соответствие, пропорция, вычисление. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место, где возникло расхождение, и исправьте рядом." | Проверяют работу по эталону, исправляют ошибки другим цветом, отмечают количество выполненных критериев. |
Эталон решения
Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle C=\angle C_1$, то $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$ по двум углам. Стороне $AB$ соответствует $A_1B_1$, стороне $AC$ — $A_1C_1$. Поэтому $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$. Подставляем: $\frac{10}{A_1B_1}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Тогда $A_1B_1=15$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вычисление обычно вызывает меньше затруднений, чем установление соответствия. Последним шагом применим знания к реальной измерительной ситуации и сформулируем общий вывод."
Этап 7. Включение знаний в систему и практическая задача (4 мин)
Цель этапа: применить подобие треугольников в жизненном контексте и осознать универсальность метода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает схему: вертикальная рейка высотой $1{,}5$ м отбрасывает тень $2$ м, тень дерева равна $8$ м. Учитель спрашивает: "При одинаковом направлении солнечных лучей какие треугольники можно считать подобными? Какой величины не хватает для ответа?" | Называют прямоугольные треугольники «рейка — её тень» и «дерево — его тень», объясняют равенство острых углов и формулируют пропорцию $\frac{h}{8}=\frac{1{,}5}{2}$. |
2 мин | Учитель говорит: "Вычислите высоту дерева и оцените, реалистичен ли результат. Важно не только получить число, но и объяснить модель." | Вычисляют $h=8\cdot\frac{1{,}5}{2}=6$ м и формулируют вывод: "Высота дерева примерно 6 м; метод основан на подобии прямоугольных треугольников". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Подобие работает не только в учебном чертеже: оно позволяет измерять объекты косвенно. Завершим урок оценкой собственного продвижения и коротким билетом на выход."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какой признак подобия вы выбираете, если известны два угла; какая ошибка чаще всего возникает при составлении пропорции? Затем прикрепите стикер на шкалу «Мой старт — Мой результат»." | Пишут: "По двум углам" и "Нельзя смешивать сходственные и несходственные стороны". Отмечают личную динамику на шкале. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень, но обязательный минимум должен быть выполнен всеми. При решении обязательно записывайте обоснование подобия, а не только вычисления." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы по формату решения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательная и повышенная задачи, обоснован выбранный признак подобия, правильно установлено соответствие сторон, пропорция и вычисления записаны последовательно.
- «4» — обязательная задача решена верно, но в обосновании допущена одна неточность или отсутствует отдельный промежуточный шаг, не повлиявший на результат.
- «3» — выполнена основная часть обязательной задачи, правильно назван признак подобия или записана пропорция, но допущена вычислительная ошибка либо нарушена последовательность рассуждения.
- Ниже базового уровня — решение не демонстрирует понимания соответствия элементов; учитель предлагает разобрать ошибку по алгоритму «чертёж — признак — пропорция — проверка».
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по чертежу определить, какие стороны являются сходственными? | Выявление понимания соответствия элементов подобных треугольников. |
Какой признак подобия вы выбираете чаще всего и почему? | Проверка осознанности выбора способа решения, а не механического воспроизведения. |
На каком шаге решения вы сегодня испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме: анализ чертежа, доказательство или вычисление. |
Как подобие треугольников применяется за пределами учебной задачи? | Осознание практической и межпредметной значимости изученного метода. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы восстановили связь между параллельностью, равенством углов, подобием и пропорциональностью отрезков. Самая частая ошибка — записать пропорцию до того, как установлено соответствие сторон, поэтому всегда начинайте с анализа чертежа. Вы показали, что умеете не только вычислять, но и объяснять ход решения. На следующем уроке мы продолжим применять подобие при решении более сложных задач, где потребуется самостоятельно достраивать чертёж и выбирать вспомогательные линии."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на подобие треугольников: одну на признак по двум углам, одну на пропорциональные отрезки при параллельных прямых и одну на нахождение неизвестной стороны по коэффициенту подобия. В каждой задаче записать обоснование и пропорцию. | Закрепляет алгоритм выбора признака и составления пропорции; при проверке смотреть на соответствие сторон и полноту обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи, в которых требуется самостоятельно провести дополнительный отрезок или достроить параллельную прямую, чтобы получить подобные треугольники. | Развивает анализ чертежа и умение находить скрытую конфигурацию подобия; при проверке оценивать обоснованность вспомогательного построения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу на косвенное измерение высоты или расстояния с использованием подобия треугольников; приложить схему, исходные данные и краткое объяснение модели. | Формирует умение создавать математическую модель и проверять реалистичность результата; при проверке смотреть на корректность чертежа, единицы измерения и доказательство подобия. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие данные позволяют применить признак подобия по двум углам?», «Как из параллельности получить пропорциональность отрезков?», «Какие стороны нужно поставить в соответствие в пропорции?», «Почему одного совпадения числовых отношений недостаточно для доказательства подобия?»
