Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут распознавать скрещивающиеся прямые и обосновывать их взаимное расположение, объяснять понятие сонаправленных лучей и определять угол между скрещивающимися прямыми через параллельный перенос прямых.
- Образовательная задача: сформулировать определение скрещивающихся прямых и признак скрещивания, опираясь на материал учебника.
- Образовательная задача: установить и объяснить теорему об углах с соответственно сонаправленными сторонами.
- Развивающая задача: строить пространственное рассуждение и доказывать вывод, используя признак скрещивания и параллельный перенос.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за точность геометрического чертежа и уважительное обсуждение доказательств.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают практическую значимость пространственной геометрии при описании объектов, расположенных на разных уровнях, например дорог на эстакаде и под ней.
- Проявляют заинтересованность в самостоятельном построении и проверке геометрических рассуждений.
- Осознают ценность точной терминологии и корректного доказательства.
- Уважительно относятся к иной аргументированной точке зрения при обсуждении чертежа.
Метапредметные
- Извлекают из учебного текста определения, условия теорем и логические следствия.
- Сопоставляют возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
- Строят рассуждение по условию «прямая лежит в плоскости, другая пересекает плоскость вне первой прямой».
- Представляют доказательство связной последовательностью утверждений и обоснований.
- Планируют проверку своего решения по критериям: корректность построения, применение определения или теоремы, обоснованность вывода.
Предметные
- Знают определение скрещивающихся прямых и различают пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
- Умеют формулировать и применять признак скрещивающихся прямых, приведённый в учебнике.
- Знают определение сонаправленных лучей для лучей на одной прямой и для лучей, не лежащих на одной прямой.
- Объясняют, почему углы с соответственно сонаправленными сторонами равны.
- Умеют определять угол между скрещивающимися прямыми, проводя через выбранную точку параллельные им прямые.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят цель урока с личной готовностью рассуждать о взаимном расположении прямых в пространстве.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске примеров скрещивающихся прямых.
- Осознают смысл изучения геометрических понятий для дальнейшего освоения стереометрии.
- Оценивают собственную готовность аргументировать геометрический вывод.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования на основе проблемного вопроса о прямых в пространстве.
- Планируют последовательность построения и проверки вывода о скрещивании прямых.
- Сверяют рассуждение с условиями признака и выявляют пропущенные обоснования.
- Корректируют чертёж и доказательство после обсуждения с одноклассником.
- Оценивают результат по критериям точности определения и полноты аргументации.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки скрещивающихся прямых в определении учебника.
- Классифицируют взаимное расположение двух прямых на три случая.
- Моделируют условие теоремы с помощью чертежа прямой, плоскости и точки пересечения.
- Анализируют доказательство признака, различая условие, допущение и вывод.
- Устанавливают связь между сонаправленностью сторон углов и равенством углов.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к геометрическому чертежу и уточняют значение терминов.
- Объясняют партнёру, почему прямые не могут пересекаться или быть параллельными в заданной ситуации.
- Аргументируют вывод ссылкой на условие теоремы или определение.
- Слушают доказательство одноклассника и корректно указывают на недостающий шаг.
- Согласуют в паре краткое доказательство, сохраняя математическую точность.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник, приложенный учителем: фрагмент с пунктами о скрещивающихся прямых, сонаправленных сторонах и угле между прямыми; использовать текст как основной источник определений и теорем.
- Подготовить на доске или слайде три схематичных изображения: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.
- Подготовить чертёж к признаку скрещивания: плоскость α, прямая AB в плоскости и прямая CD, пересекающая α в точке C, не принадлежащей AB.
- Подготовить изображение дорог: одна проходит по эстакаде, другая — под эстакадой, как на иллюстрации учебника.
- Распечатать по одной карточке на пару с двумя задачами на применение признака и определение угла между прямыми; формулировки основаны на вопросах и задачах 34 и 44 приложенного материала.
- Подготовить по одному листу самооценки на ученика с тремя пунктами: распознаю скрещивание; применяю признак; объясняю способ определения угла.
- Подготовить линейки и карандаши для аккуратного выполнения пространственных схем; обеспечить наличие тетрадей и учебников у учащихся.
- Вывести на экран формулировки теоремы о признаке скрещивания, теоремы об углах с сонаправленными сторонами и определения угла между скрещивающимися прямыми.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную работу и создать проблемную ситуацию, показывающую, что в пространстве прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность к уроку: тетрадь, ручка, линейка и учебник на парте. Сегодня разберём взаимное расположение прямых в пространстве и научимся находить угол между скрещивающимися прямыми." | Готовят материалы и открывают нужный раздел учебника. |
3 мин | "Посмотрите на изображение дорог: одна проходит по эстакаде, другая — под ней. Пересекаются ли дороги? Параллельны ли они? Можно ли провести плоскость через обе? Обсудите ответ в паре." | Обсуждают и формулируют предположение: дороги не пересекаются, но не лежат в одной плоскости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели ситуацию, которую нельзя описать только словами «пересекаются» или «параллельны». Теперь вспомним, какие варианты взаимного расположения прямых мы уже знаем и чего не хватает для пространственного случая."
Этап 2. Актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства пересекающихся и параллельных прямых и подготовить основание для изучения скрещивающихся прямых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "На доске три схемы: две прямые пересекаются, две прямые параллельны и две прямые изображены в разных направлениях. Для первых двух случаев ответьте: лежат ли прямые в одной плоскости? Что общего у пересекающихся прямых? Что отличает параллельные? Дайте точные формулировки, а не только укажите на рисунок." | По очереди называют признаки: пересекающиеся имеют одну общую точку и лежат в одной плоскости; параллельные лежат в одной плоскости и не пересекаются. |
3 мин | "Откройте приложенный учебник на разделе о взаимном расположении прямых в пространстве и найдите абзац перед определением скрещивающихся прямых. Прочитайте его про себя. Подчеркните, какие два условия относятся к пересекающимся и параллельным прямым. Теперь ответьте: возможно ли, что прямые не пересекаются и не параллельны? Какое дополнительное обстоятельство нужно проверить?" | Читают фрагмент учебника, отмечают условие о принадлежности одной плоскости и отвечают: «нужно проверить, лежат ли обе прямые в одной плоскости». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили: привычные случаи пересечения и параллельности связаны с одной плоскостью. Если такой общей плоскости нет, возникает новый вид взаимного расположения. Сформулируем вопрос, на который ответим в ходе исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и наметить план получения определения и способа нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Представьте две прямые: первая лежит в плоскости α, вторая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой. Можно ли провести одну плоскость через обе? Если предположить, что можно, куда должна была бы проходить эта плоскость? Обсудите ход рассуждения с соседом и назовите возможное противоречие." | В парах анализируют условие и предполагают: плоскость через первую прямую и точку пересечения должна совпасть с α, но вторая прямая не лежит в α. |
2 мин | "Сформулируйте, что нам нужно выяснить сегодня. Кроме определения, нам потребуется способ сравнить направления двух скрещивающихся прямых и определить угол между ними. Предложите план: какое понятие изучим сначала, а какое будет опираться на него?" | Формулируют цель и план: определить скрещивающиеся прямые; доказать признак; разобраться в сонаправленности лучей; построить параллельные прямые и определить угол. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования готов: сначала дадим точное определение, затем проверим признак и только после этого перейдём к углам. Запишите тему урока и откройте соответствующий фрагмент учебника."
Этап 4. Открытие нового знания (20 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить определение скрещивающихся прямых, признак скрещивания, определение сонаправленных лучей и способ задания угла между скрещивающимися прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Посмотрите на чертёж: прямая AB лежит в плоскости α, а прямая CD пересекает α в точке C, причём C не лежит на AB. Учебник называет такие прямые скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Почему из условия можно сделать именно такой вывод? Предположим обратное: обе прямые лежат в плоскости β. Тогда β проходит через AB и точку C. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость, значит, β совпадает с α. Но тогда CD должна лежать в α, что противоречит условию. Какой вывод получаем?" | Следят за чертежом, записывают цепочку рассуждения и формулируют: «AB и CD не лежат в одной плоскости, следовательно, они скрещиваются». |
5 мин | "Сформулируйте признак своими словами, не теряя ни одного условия. Что лежит в плоскости? Где пересекает плоскость вторая прямая? Почему точка пересечения не должна лежать на первой прямой? Сравните свою формулировку с текстом учебника и уточните её." | В парах формулируют и сверяют признак: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются. |
5 мин | "Теперь прочитайте в учебнике определение сонаправленных лучей. Сравните два случая: лучи не лежат на одной прямой и лучи лежат на одной прямой. Какие дополнительные условия нужны в каждом случае? Объясните, почему одних слов «параллельны» недостаточно, когда важно направление лучей." | Читают определение и составляют устное сравнение: для лучей не на одной прямой нужны параллельность и расположение в одной полуплоскости с границей, проходящей через начала лучей; на одной прямой лучи совпадают или один содержит другой. |
6 мин | "Перейдём к углам. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, учебник утверждает, что углы равны. Как это поможет определить угол между скрещивающимися прямыми? Через произвольную точку проведём прямые, соответственно параллельные данным скрещивающимся прямым. Угол между полученными пересекающимися прямыми примем за угол между исходными. Почему выбор точки не меняет результат? Назовите теорему, которая обеспечивает равенство соответствующих углов." | Объясняют по шагам: через другую точку проводят такие же параллельные прямые; стороны углов оказываются попарно сонаправленными; углы равны по теореме об углах с сонаправленными сторонами. |
Запись в тетрадях
- Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
- Признак: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.
- Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то углы равны.
- Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через одну точку параллельно данным прямым; его величина не зависит от выбора точки.
- Угол между пересекающимися прямыми выбирают не больше каждого из остальных образованных углов; его величина от 0° до 90° включительно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определения и связали угол между скрещивающимися прямыми с углом между пересекающимися параллельными им прямыми. Теперь применим эти идеи к конкретным конфигурациям и проверим, какие условия нельзя упустить."
Этап 5. Первичное закрепление (9 мин)
Цель этапа: применить признак скрещивания и определение угла между прямыми при разборе конфигурации из учебного материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Откройте в приложенном учебнике задачу 34. Прочитайте условие: точка D не лежит в плоскости треугольника ABC; M, N и P — середины DA, DB и DC соответственно; K лежит на BN. Сегодня разберём подпункт о прямых ND и AB. Начертите схему и ответьте: в какой плоскости лежит AB? Где расположена точка N? Как связано положение N с отрезком DB?" | Читают условие задачи 34, строят схему, отмечают, что AB лежит в плоскости ABC, а N лежит на DB и не принадлежит плоскости ABC. |
4 мин | "Используйте признак, который только что сформулировали. Какая прямая лежит в плоскости ABC? Какая пересекает эту плоскость и в какой точке? Принадлежит ли точка пересечения прямой AB? Обоснуйте ответ полным предложением, а не только названием вида расположения." | Пишут доказательство: «AB лежит в плоскости ABC; ND пересекает плоскость ABC в точке N; N не лежит на AB, поэтому ND и AB скрещиваются». |
3 мин | "Теперь рассмотрим задачу 44 из этого же материала: прямые OB и CD параллельны, а OA и CD скрещиваются; если угол AOB равен 40°, найдите угол между OA и CD. Через O проведите прямую, параллельную CD. Какой угол она образует с OA и почему он равен углу между скрещивающимися прямыми?" | Проводят через O прямую, параллельную CD; она параллельна OB, поэтому угол между OA и CD равен 40°. |
Эталон решения
Задача 34, подпункт ND и AB: AB лежит в плоскости ABC. Прямая ND совпадает с DB и пересекает плоскость ABC в точке B. Точка B принадлежит AB, поэтому приведённый признак в таком виде не позволяет заключить о скрещивании; кроме того, ND и AB имеют общую точку B. Следовательно, прямые ND и AB пересекаются. Задача 44, случай ∠AOB = 40°: через O проводится прямая, параллельная CD; она параллельна OB. Угол между OA и CD равен меньшему углу между OA и OB, то есть 40°.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Важно не подменять признак догадкой по рисунку: сначала проверяем, где лежит точка пересечения с плоскостью. В разобранной конфигурации прямые ND и AB пересекаются в B. Теперь каждый выполнит короткую проверочную работу самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать скрещивающиеся прямые и находить угол между ними по параллельным прямым.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Раздаю карточки. На них два задания: первое — применить признак скрещивания к конфигурации задачи 36 из учебного материала; второе — решить случай б) задачи 44, где угол AOB равен 135°. Работайте самостоятельно, записывайте не только ответ, но и основание каждого вывода. На выполнение семь минут, время отсчитываю на доске." | Получают карточки, читают условия и готовят чертежи для двух заданий. |
5 мин | "В первом задании дано: прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную a. Докажите, что b и c скрещиваются. Во втором используйте факт OB ∥ CD и ∠AOB = 135°. Помните: между прямыми выбирают меньший из образованных углов. Проверьте, что в доказательстве указаны и общая плоскость, и условие пересечения." | Индивидуально доказывают скрещивание b и c; строят угол, соответствующий углу 135°, и находят меньший угол между прямыми: 180° − 135° = 45°. |
2 мин | "Покажите зелёный сигнал, если оба решения готовы и обоснованы, жёлтый — если есть сомнение в одном шаге, красный — если требуется разбор. Сверьте ответы с эталоном на доске: в первом случае предположение о том, что b и c лежат в одной плоскости, приводит к невозможному пересечению b и a; во втором ответ равен 45°. Исправьте решение другим цветом." | Самопроверяют решения, отмечают уровень уверенности, исправляют пропущенное обоснование или ошибку в выборе меньшего угла. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили два разных умения: доказательство скрещивания и выбор угла между прямыми. Если ответ получен без объяснения, добавьте к нему ссылку на условие или определение. Перейдём к итоговой рефлексии и зафиксируем, что уже получается самостоятельно."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся затруднения и дать разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Заполните лист самооценки: отметьте, можете ли вы определить скрещивающиеся прямые, сформулировать признак и объяснить построение угла между прямыми. Затем ответьте на билет выхода: чем угол между скрещивающимися прямыми определяется и почему не зависит от выбора точки? Укажите один шаг, который пока вызывает вопрос." | Отмечают пункты самооценки и письменно отвечают на билет выхода: «через выбранную точку проводят параллельные данным прямые; величина угла не зависит от точки благодаря равенству углов с сонаправленными сторонами». |
2 мин | "Запишите домашнее задание по уровням. Обязательная часть закрепляет определения и типовые рассуждения; повышенная часть требует доказательства, а дополнительная — самостоятельного анализа пространственной конфигурации. Перед выходом ответьте устно: какое условие признака скрещивания самое важное? Как выбирают угол между прямыми, если один из углов тупой?" | Записывают выбранный уровень домашней работы и отвечают: «точка пересечения второй прямой с плоскостью не должна лежать на первой прямой»; «берут угол, не превосходящий остальных, то есть не больше 90°». |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены оба задания самостоятельной работы; в доказательстве указаны принадлежность прямой плоскости и положение точки пересечения, угол между прямыми выбран корректно и обоснован.
- "4" — оба ответа по существу верны, но допущена одна неточность в оформлении доказательства или пропущено промежуточное обоснование.
- "3" — верно решена хотя бы одна часть работы, однако доказательство скрещивания неполное либо при нахождении угла не учтено, что выбирают угол не больше 90°.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, что две прямые скрещиваются, и какое условие признака нельзя пропустить? | Проверка понимания определения и существенного условия теоремы. |
Почему угол между скрещивающимися прямыми не зависит от точки, через которую проводят параллельные прямые? | Проверка понимания роли сонаправленных сторон и равенства соответствующих углов. |
Какое действие при самостоятельной работе оказалось для вас самым трудным? | Выявление точек затруднения в построении доказательства и выборе угла. |
Какое из трёх умений вы уже можете объяснить однокласснику: распознавать скрещивание, применять признак или находить угол? | Самооценка освоения содержания и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы расширили перечень возможных взаимных расположений прямых и научились обосновывать, когда прямые скрещиваются. Мы связали угол между такими прямыми с углом между пересекающимися прямыми, проведёнными параллельно исходным. Обратите особое внимание на типичную ошибку: нельзя объявлять прямые скрещивающимися только потому, что они так выглядят на рисунке, — нужно проверить условие теоремы или отсутствие общей плоскости. На следующем уроке продолжим применять эти понятия при решении задач на взаимное расположение прямых и плоскостей."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Повторить определения скрещивающихся прямых, сонаправленных лучей и угла между скрещивающимися прямыми; решить 2 задачи на классификацию взаимного расположения прямых и 1 задачу на применение признака по конфигурации «прямая в плоскости, другая пересекает плоскость вне неё». | Закрепляет определения и распознавание существенных условий; при проверке обратить внимание на обоснование, а не только на ответ. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение угла между прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым: включить случай, когда заданный угол острый, тупой и прямой; каждый ответ обосновать через сонаправленность сторон. | Развивает применение теоремы об углах с сонаправленными сторонами; проверить правильный выбор угла величиной не более 90°. |
Продвинутый (дополнительный) | Выбрать одну конфигурацию из задач 34–47 приложенного учебного материала, составить к ней подробный чертёж и написать доказательство взаимного расположения выбранной пары прямых; дополнительно объяснить, как определить угол между ними, если они скрещиваются. | Развивает самостоятельный анализ пространственной конфигурации и построение доказательства; оценить точность чертежа, корректность применения теорем и связность аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как сформулировать определение скрещивающихся прямых? Какое условие содержит признак скрещивания? Почему угол между скрещивающимися прямыми можно находить через параллельные им прямые и почему результат не зависит от выбранной точки?»
