Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики будут различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве, обосновывать классификацию по взаимному расположению и находить угол между прямыми, включая скрещивающиеся, через параллельный перенос; успешность проверяется по выполнению двух практических заданий и выходному вопросу.
- Образовательная задача: сформулировать признаки пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых и определить, какие пары имеют общую точку, лежат в одной плоскости или не лежат в одной плоскости.
- Образовательная задача: освоить способ построения угла между скрещивающимися прямыми через проведение параллельной прямой и уметь указывать, почему выбранный угол соответствует определению.
- Развивающая задача: анализировать чертёж пространственной фигуры, отличать видимую на рисунке картину от геометрических отношений и аргументировать вывод.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за точность построения и уважительное отношение к иной математически обоснованной позиции.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного пространственного представления при решении практических и профессионально ориентированных задач.
- Проявляют готовность проверять собственное рассуждение, а не полагаться только на внешний вид плоского чертежа.
- Проявляют познавательный интерес к геометрическим моделям объектов и конструкций.
- Сохраняют учебную самостоятельность при выборе способа построения угла между прямыми.
Метапредметные
- Извлекают из условия и чертежа сведения о принадлежности точек, прямых и плоскостей.
- Строят логическую цепочку обоснования: наличие общей точки, компланарность, параллельность или скрещивание.
- Сравнивают несколько возможных построений и выбирают соответствующее определению угла между прямыми.
- Формулируют выводы и задают уточняющие вопросы, используя математические термины.
Предметные
- Знают определения пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.
- Умеют обосновывать, что две прямые скрещиваются, показывая, что они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
- Умеют построить через точку одной прямой прямую, параллельную другой, и определить угол между полученной парой пересекающихся прямых.
- Умеют различать угол между прямыми и произвольный угол, изображённый на плоском рисунке.
- Владеют геометрической записью построения и кратким доказательным обоснованием ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят содержание урока с задачами точного моделирования пространства в архитектуре, инженерии и цифровом проектировании.
- Принимают учебную цель как способ преодолеть конкретное затруднение в определении угла между непересекающимися прямыми.
- Проявляют инициативу при выборе точки для построения параллельной прямой.
- Оценивают личный прогресс по способности самостоятельно обосновать пространственные отношения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока из обнаруженного затруднения при работе с пространственной моделью.
- Планируют порядок проверки пары прямых: сначала пересечение, затем параллельность и компланарность.
- Сверяют практическое решение с критериями построения угла и исправляют ошибку в обозначениях.
- Оценивают свою работу по чек-листу и определяют, какой шаг алгоритма требует повторения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки взаимного расположения прямых, отделяя их от особенностей рисунка.
- Моделируют пространственную ситуацию с помощью каркасной модели и обозначений на чертеже.
- Сравнивают пары прямых и классифицируют их по наличию общей точки и принадлежности одной плоскости.
- Строят доказательство скрещивания через аргумент о невозможности расположить выбранные прямые в одной плоскости.
Коммуникативные УУД
- Согласуют в паре классификацию пар прямых и обосновывают её геометрическими фактами.
- Задают вопросы, уточняющие, где именно на модели проходят рассматриваемые прямые.
- Аргументируют выбор угла между прямыми, используя определение и параллельный перенос.
- Корректно сопоставляют своё построение с альтернативным способом одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить каркасную модель прямоугольного параллелепипеда и закрепить на ней цветные нити или резинки, обозначающие пары прямых.
- Распечатать карточку с чертежом параллелепипеда и тремя практическими заданиями — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить карточки взаимопроверки с кратким алгоритмом классификации прямых — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с четырьмя пунктами: распознаю пересечение, распознаю параллельность, обосновываю скрещивание, строю угол.
- На доске или слайде разместить схему «пересекаются / параллельны / скрещиваются» с графами «общая точка» и «одна плоскость».
- Подготовить крупный чертёж куба или прямоугольного параллелепипеда с обозначениями вершин A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.
- Подготовить цветные маркеры: один цвет для исходных прямых, другой для параллельного переноса и третий для искомого угла.
- Проверить проектор или интерактивную доску; рядом разместить физическую модель для демонстрации, чтобы ученики могли сопоставить рисунок и объёмный объект.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и вызвать потребность различать пространственные отношения, которые на плоском чертеже могут выглядеть неоднозначно.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает каркас прямоугольного параллелепипеда с двумя цветными нитями и говорит: "Здравствуйте. Посмотрите на модель: одна нить проходит по нижнему переднему ребру, другая — по верхнему боковому ребру. На плоском рисунке легко принять их за пересекающиеся или параллельные. Можно ли доверять одному только изображению? Сегодня нам важно не угадать ответ, а обосновать его геометрически." | Рассматривают модель, называют первое впечатление: «кажется, не пересекаются»; формулируют сомнение: «на рисунке проекционные линии могут сбивать». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Полминуты подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите с соседом, какой факт помог бы точно классифицировать две прямые. После обсуждения я попрошу две пары предложить критерий, а мы запишем его как рабочую гипотезу." Учитель фиксирует на доске предложения: наличие общей точки и принадлежность одной плоскости. | Сначала каждый записывает одно предположение, затем обсуждает его в паре; две пары предлагают ответы: «проверить, пересекаются ли» и «проверить, можно ли провести через них одну плоскость». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что впечатление от рисунка ещё не является доказательством. Давайте проверим, какие определения и признаки уже помогут нам исследовать модель."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямой, плоскости, параллельности и пересечения, необходимые для открытия способа классификации пар прямых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит схему параллелепипеда и обращается к классу: "Назовите два признака, по которым вы узнаёте пересекающиеся прямые. Как определяются параллельные прямые? Вспомните также, что означает принадлежность нескольких объектов одной плоскости. Мне важны точные формулировки, а не рисунок сам по себе." | Отвечают: «пересекающиеся прямые имеют одну общую точку»; «параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются»; приводят пример пары противоположных рёбер. |
2 мин | Учитель раздаёт на каждую парту карточку с четырьмя парами рёбер параллелепипеда и говорит: "За две минуты отметьте пары, которые точно пересекаются, и пары, которые точно параллельны. Рядом поставьте короткое основание ответа: общая вершина или принадлежность одной грани. Если по чертежу не уверены — поставьте вопросительный знак, это станет точкой для исследования." | В парах маркируют пары рёбер; у пересекающихся указывают общую вершину, у параллельных — общую грань и отсутствие общей точки; одну неоднозначную пару отмечают вопросительным знаком. |
2 мин | Учитель просит сверить ответы с физической моделью и задаёт вопросы: "Если две прямые на рисунке не пересекаются, достаточно ли этого, чтобы назвать их параллельными? Что ещё должно быть верно? Может ли существовать пара прямых, которая не пересекается и при этом не является параллельной?" Учитель не сообщает новый термин, а фиксирует возникшее затруднение. | Сверяют карточку с моделью и отвечают: «нужно установить, что прямые лежат в одной плоскости»; предполагают: «может быть, они расположены в разных плоскостях». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки пересечения и параллельности, но обнаружили, что отсутствие общей точки ещё не даёт полного ответа. Сформулируем, какое именно новое отношение нам нужно определить."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: помочь ученикам самостоятельно сформулировать проблему урока и план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к паре цветных нитей на модели и говорит: "Назовём первую прямую AB, а вторую — CC₁. Общей точки у них нет. Но лежат ли они в одной плоскости? Как это доказать, если на чертеже изображение искажено? Обсудите в паре, какого знания не хватает, чтобы дать точный ответ и затем измерить угол между такими прямыми." | Обсуждают проблему; формулируют затруднение: «не умеем определить, лежат ли непересекающиеся прямые в одной плоскости»; замечают, что для угла нужно получить пересекающиеся прямые. |
2 мин | Учитель записывает ученические формулировки на доске и уточняет: "Какой результат мы должны получить к концу урока? Предложите план, в котором будет не только определение, но и применение. Проверим план: классифицировать пары, найти способ обосновать скрещивание, построить угол и потренироваться на модели." | Предлагают цель: «научиться различать три вида пар прямых и находить угол между непересекающимися прямыми»; принимают план: анализ признаков, открытие определения и алгоритма построения, практика и самопроверка. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель ясна: нам нужно классифицировать прямые не по картинке, а по определениям, а для измерения угла свести задачу к пересекающимся прямым. Проверим эту идею на конкретной модели."
Этап 4. Открытие нового знания и построение алгоритма (11 мин)
Цель этапа: вывести определение скрещивающихся прямых и совместно построить алгоритм нахождения угла между двумя прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁, выделяет прямые AB и CC₁ и спрашивает: "Обе прямые являются рёбрами одной модели. Есть ли у них общая точка? Если предположить, что они лежат в одной плоскости, какое следствие должно выполняться? Рассмотрите плоскость, проходящую через AB и точку C: содержит ли она прямую CC₁? Объясните, опираясь на грани модели, а не на перспективный рисунок." | Исследуют модель и называют факты: «AB и CC₁ не пересекаются»; «плоскость, содержащая AB и точку C, — плоскость ABC»; «CC₁ не лежит в ABC, поскольку C₁ не принадлежит этой плоскости». |
3 мин | Учитель фиксирует на доске вывод и говорит: "Если две прямые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости, мы называем их скрещивающимися. Запишем признаки каждого случая в таблицу. Для пересекающихся есть общая точка; для параллельных общей точки нет и прямые компланарны; для скрещивающихся общей точки нет и общей плоскости нет. Почему здесь важны сразу два признака?" | Записывают определения и отвечают: «одного отсутствия общей точки недостаточно, потому что прямые могут быть параллельными или скрещивающимися»; приводят пары рёбер параллелепипеда для каждого случая. |
3 мин | Учитель выделяет на модели скрещивающиеся AB и CC₁, затем проводит через точку A прямую, параллельную CC₁, и обозначает её AA₁. Учитель говорит: "Теперь две прямые AB и AA₁ пересекаются в A. Угол между скрещивающимися прямыми определяем через угол между пересекающимися прямыми, параллельными исходным. Почему AA₁ допустимо использовать вместо CC₁?" | Отвечают: «AA₁ параллельна CC₁, значит, сохраняет направление второй прямой»; на чертеже показывают угол между AB и AA₁, отмечают его вершину A. |
2 мин | Учитель формулирует правило и уточняет выбор угла: "Если при пересечении получились два смежных угла, углом между прямыми считают меньший из них, то есть угол от 0° до 90° включительно. Для построения достаточно перенести одну прямую параллельно до пересечения с другой. Важно показать точку пересечения и отметить именно меньший угол. Как вы проверите, что построили нужный угол?" | Формулируют алгоритм: «через точку одной прямой провести прямую, параллельную другой; отметить угол при пересечении; выбрать меньший угол»; заносят алгоритм в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
- Угол между двумя прямыми — меньший из углов, образованных пересекающимися прямыми, параллельными данным.
- Алгоритм: провести через точку одной прямой прямую, параллельную другой; отметить угол пересечения; выбрать меньший угол и обосновать параллельность построенной прямой исходной.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели критерий скрещивания и свели угол между скрещивающимися прямыми к углу между пересекающимися. Теперь проверим алгоритм на задаче, где каждое построение нужно объяснить."
Этап 5. Первичное закрепление: работа с моделью (7 мин)
Цель этапа: закрепить классификацию прямых и отработать построение угла на конкретных рёбрах параллелепипеда.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предъявляет условие: "Дан прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Рассмотрите пары AB и CC₁, AB и CD, AB и BB₁. Для каждой пары определите взаимное расположение и приведите один признак. Для пары AB и CC₁ дополнительно постройте угол между прямыми, проведя через A прямую, параллельную CC₁." Учитель раздаёт карточки с тем же условием. | Получают условие, подписывают вершины на схеме и распределяют в паре роли: один проверяет классификацию, второй выполняет построение угла. |
4 мин | Учитель организует практику в парах: "Работайте по алгоритму, а не по внешнему виду рисунка. Сначала у каждой пары укажите, есть ли общая точка; затем решите вопрос о плоскости. Для угла обязательно обозначьте проведённую параллельную прямую и объясните, чему она параллельна. Через две минуты поменяйтесь ролями и проверьте построение партнёра." Учитель подходит к парам и задаёт наводящий вопрос: "Какой факт подтверждает, что эти прямые не лежат в одной плоскости?" | Записывают: AB и CC₁ — скрещиваются; AB и CD — параллельны; AB и BB₁ — пересекаются в B. Через A проводят AA₁, отмечают угол между AB и AA₁; партнёры проверяют обозначение и обоснование. |
2 мин | Учитель приглашает ученика показать решение и спрашивает класс: "Согласны ли вы с классификацией? Где именно в рассуждении использовано условие о плоскости? Какой угол отмечен и почему он является углом между AB и CC₁?" Учитель корректирует только обозначения и просит класс сформулировать правило одной фразой. | Один ученик показывает построение у доски; остальные сверяют карточки и дополняют: «AA₁ параллельна CC₁, поэтому угол между AB и AA₁ задаёт угол между исходными прямыми». |
Эталон решения
1) AB и CC₁ не имеют общей точки. Они не лежат в одной плоскости: плоскость ABC содержит AB и точку C, но не содержит C₁, поэтому не содержит CC₁. Следовательно, AB и CC₁ скрещиваются. 2) AB и CD лежат в плоскости основания ABCD, не пересекаются и параллельны. 3) AB и BB₁ имеют общую точку B, поэтому пересекаются. 4) Через A проводим AA₁ ∥ CC₁. Искомый угол — меньший угол между AB и AA₁.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили оба признака и построили угол через параллельный перенос. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу, чтобы проверить, может ли он воспроизвести рассуждение без помощи партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение классифицировать прямые, строить угол и корректировать решение по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки двух уровней и объясняет критерии: "Обязательная часть — классифицировать две пары рёбер и обосновать одну из них. Базовый уровень — построить угол для пары AB и CC₁. Повышенный уровень по желанию — объяснить, почему параллельный перенос не меняет угол. Работайте самостоятельно; на карточке отмечайте каждый шаг построения." | Выбирают карточку базового или повышенного уровня, читают критерии и подписывают работу. |
5 мин | Учитель выводит таймер и напоминает: "У вас пять минут. Не пропускайте обоснование: для скрещивания нужно установить и отсутствие пересечения, и отсутствие общей плоскости. Для угла назовите построенную прямую и исходную прямую, которой она параллельна. Если завершили раньше, проверьте, что отмечен меньший угол." Учитель наблюдает за работой и фиксирует типичные затруднения без подсказки готового ответа. | Индивидуально выполняют карточку: определяют положение AB и C₁D₁, AB и B₁C₁; для скрещивающейся пары проводят через A параллельную прямую, отмечают угол и записывают обоснование. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Сверьте работу по шагам. Поставьте плюс за верную классификацию, второй плюс за обоснование компланарности или её отсутствия и третий плюс за корректное построение угла. Если нашли расхождение, исправьте его другим цветом и подпишите, какой критерий помог заметить ошибку." | Сверяют ответы с эталоном, отмечают выполненные критерии и исправляют пропущенное обоснование или неверно отмеченный угол другим цветом. |
Эталон решения
Для пары AB и C₁D₁: прямые не пересекаются и параллельны, поскольку являются диагональными рёбрами противоположных параллельных граней, имеющими одинаковое направление; это устанавливают по модели и соответствующим параллельным граням. Для пары AB и B₁C₁: прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, следовательно, скрещиваются. Через A проводят прямую, параллельную B₁C₁; угол между этой прямой и AB является углом между исходными прямыми. При проверке чертежа ученик должен явно указать параллельность построенной прямой B₁C₁.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, что особенно важно не пропускать обоснование общей плоскости. Завершим урок оценкой собственного продвижения и вернёмся к вопросу, который возник в начале."
Этап 7. Рефлексия, итог и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ, выявить оставшиеся затруднения и определить дальнейшую самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте каждый пункт честно: умею различить пересекающиеся и параллельные; могу обосновать скрещивание; могу построить угол через параллельный перенос; могу объяснить, почему выбрал именно этот угол. Зелёный знак поставьте там, где готовы объяснить способ однокласснику, жёлтый — где нужна ещё одна тренировка. Это не отметка, а маршрут вашей дальнейшей работы." | Заполняют четыре пункта самооценки, отмечают зелёным или жёлтым цветом один наиболее уверенный и один требующий повторения шаг. |
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку» и возвращает класс к модели: "На маленьком листке закончите две фразы: «Сегодня я понял, что…» и «Мне ещё нужно потренироваться…». Затем ответьте: почему для скрещивающихся прямых недостаточно сказать, что они не пересекаются? Я соберу ответы и по ним скорректирую начало следующего урока." | Письменно завершают обе фразы и отвечают: «потому что непересекающиеся прямые могут быть параллельными; нужно ещё проверить, лежат ли они в одной плоскости». |
2 мин | Учитель подводит итог и задаёт контрольный вопрос перед выходом: "Сегодня вы открыли способ проверять пространственные отношения и строить угол через параллельную прямую. Дома выберите уровень задания по своей самооценке. Перед выходом назовите одним предложением признак скрещивающихся прямых и объясните, как построить угол между ними. На следующем уроке будем применять этот способ в более сложных задачах на пространственные фигуры." | Называют признак скрещивания и шаг построения угла; записывают выбранный вариант домашней работы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно классифицированы все пары прямых в практической и самостоятельной работе, скрещивание обосновано отсутствием общей плоскости, угол построен через параллельную прямую и отмечен меньший угол.
- «4» — верно классифицированы основные пары и выполнено построение угла, но в одном обосновании не указан существенный признак либо допущена неточность в обозначении параллельной прямой.
- «3» — ученик различает пересекающиеся и параллельные прямые и выполняет построение с опорой на алгоритм, но испытывает затруднение при доказательстве скрещивания или выборе меньшего угла.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак позволяет отличить скрещивающиеся прямые от параллельных? | Проверить осознание необходимости учитывать компланарность, а не только отсутствие общей точки. |
Как вы построите угол между двумя скрещивающимися прямыми? | Выявить, усвоен ли перенос одной прямой параллельно до пересечения с другой. |
На каком шаге практической работы вы сомневались и что помогло проверить себя? | Определить точки затруднения и эффективность алгоритма самопроверки. |
Какое задание вы готовы объяснить однокласснику, а какое хотите ещё потренировать? | Получить субъективную оценку освоения темы и основания для дифференциации дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые, опираясь на геометрические признаки, а не на вид перспективного рисунка. Для скрещивания важно доказать не только отсутствие общей точки, но и отсутствие общей плоскости. Угол между непересекающимися прямыми мы построили, проведя параллельную прямую и сведя задачу к пересечению. Проверьте дома, что в вашем решении явно обозначена эта параллельность и выбран меньший угол. На следующем уроке применим полученный способ в задачах на пространственные конфигурации."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания на определение взаимного расположения пар прямых в изображении прямоугольного параллелепипеда; для каждой пары записать короткий признак, а для одной скрещивающейся пары обосновать отсутствие общей плоскости. | Закрепляет классификацию; при проверке важно, чтобы скрещивание не выводилось только из отсутствия пересечения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 2 задания на построение угла между скрещивающимися прямыми в разных пространственных моделях: провести параллельную прямую, обозначить точку пересечения, отметить меньший угол и дать обоснование. | Развивает навык построения и точного использования определения; проверяется корректность параллельного переноса и обозначений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пространственную задачу с параллелепипедом или другой каркасной моделью: указать три пары прямых разных типов, одну пару скрещивающихся прямых и вопрос о величине угла между ними; приложить схему и краткий эталон рассуждения. | Развивает создание математической модели и доказательное мышление; при проверке оцениваются корректность конфигурации, однозначность условия и обоснованность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных; какие два факта необходимо проверить, чтобы обосновать скрещивание; как построить угол между скрещивающимися прямыми?
