Центральная проекция. Угол с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться строить центральную проекцию отрезка на плоскость, распознавать углы с сонаправленными сторонами и находить угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в пространстве.
- Сформировать представление о центральной проекции как способе изображения пространственного объекта на плоскости.
- Вывести и применять правило нахождения угла между скрещивающимися прямыми через угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
- Развивать умение строить пространственную модель, анализировать условие задачи и аргументировать выбор геометрического решения.
- Воспитывать аккуратность построений, самостоятельность и готовность проверять гипотезу рассуждением.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение пространственного мышления для изучения инженерных, архитектурных и технических дисциплин.
- Проявляют интерес к исследованию геометрической модели, а не только к получению числового ответа.
- Развивают ответственное отношение к точности чертежа и математической аргументации.
- Осознают необходимость самостоятельного контроля при построении пространственных объектов.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, условия задачи и пространственной модели.
- Формулируют гипотезу, проверяют её на модели и корректируют рассуждение.
- Планируют последовательность построения центральной проекции и решения задачи.
- Аргументированно представляют решение в паре и оценивают его по заданным критериям.
- Используют пространственное моделирование как средство решения практической задачи.
Предметные
- Знать определение центральной проекции и основные элементы проецирования: центр, плоскость проекций, проектирующие прямые.
- Уметь строить центральную проекцию точки и отрезка на плоскость.
- Знать определение угла с сонаправленными сторонами и свойство такого угла.
- Понимать определение угла между прямыми в пространстве и уметь находить его через параллельные пересекающиеся прямые.
- Уметь обосновывать, почему угол между прямыми принимают не превышающим $90^\circ$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения пространственных построений для дальнейшего обучения.
- Проявляют познавательную инициативу при выдвижении гипотез о свойствах проекции.
- Оценивают собственную готовность работать с пространственными моделями.
- Соблюдают математическую культуру записи и чертежа.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель исследования по проблемному вопросу.
- Планируют построение и решение задачи по предложенному алгоритму.
- Сверяют результат с эталоном и находят причину ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
- Вносят коррекцию в чертёж и рассуждение после обсуждения в паре.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные элементы пространственной конструкции.
- Сравнивают центральную проекцию с параллельной проекцией.
- Строят логическую цепочку от определения угла между прямыми к алгоритму решения.
- Моделируют пространственную ситуацию на плоском чертеже.
- Анализируют ошибочное утверждение о невозможности измерить угол между скрещивающимися прямыми.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в парном обсуждении.
- Объясняют партнёру ход построения, используя геометрические термины.
- Аргументируют выбор угла и корректно задают уточняющие вопросы.
- Согласуют общий вариант решения и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модель центрального проецирования: настольную лампу или фонарик, картонную плоскость и небольшой предмет с двумя вершинами.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего 15 экземпляров; включить задания на построение проекций и нахождение угла между прямыми.
- Подготовить лист самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу построить проекцию», «Я понимаю угол между прямыми», «Я могу объяснить решение».
- Вывести на экран схему с центром проекции $S$, плоскостью $\alpha$, точкой $A$ и её проекцией $A'$.
- Подготовить слайд с алгоритмом: выбрать точку, провести через неё прямую, параллельную данной прямой, построить параллельные прямые через общую точку, измерить меньший угол.
- Раздать линейки, карандаши, угольники и цветные маркеры для построения проектирующих прямых.
- Подготовить эталон решения для самопроверки и карточки трёх уровней сложности по одной на каждого ученика.
- Проверить исправность проектора и освободить место на доске для построений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование пространственной геометрии и обозначить практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает предмет, освещаемый фонариком: "Сегодня мы начнём с наблюдения, а не с готовой формулы. Посмотрите, как объёмный предмет оставляет изображение на плоскости. Что определяет положение тени?" | Рассматривают модель и формулируют предположения: "Положение источника света", "форма предмета", "положение плоскости". |
2 мин | Учитель продолжает: "В геометрии мы заменим свет и тень точными прямыми. Нам предстоит выяснить, как описать проекцию и как измерять угол между прямыми, которые не пересекаются. Запишите тему урока и приготовьтесь выдвигать гипотезы." | Записывают тему, формулируют предварительный вопрос: "Как найти угол между скрещивающимися прямыми?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что изображение пространственного объекта зависит от направления проецирования. Теперь восстановим знания, которые помогут описать эту ситуацию строго."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямой, параллельных прямых, угла и скрещивающихся прямых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните признаки параллельности прямых и определение угла. Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Почему две скрещивающиеся прямые нельзя пересечь одним чертежным движением?" | Записывают ключевые понятия, обсуждают 1 минуту, отвечают: "Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общей точки". |
3 мин | Учитель показывает пространственный рисунок и спрашивает: "Какие прямые на рисунке параллельны? Какие пересекаются? Можно ли провести через точку прямую, параллельную данной? Сколько таких прямых?" Учитель фиксирует на доске ответы и уточняет единственность параллельной прямой. | Находят пары параллельных и пересекающихся прямых, отвечают: "Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что параллельность позволяет переносить направление, а угол измеряется между пересекающимися лучами. Проверим, можно ли использовать эти факты для пространственных прямых."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при определении угла между скрещивающимися прямыми и сформулировать план выхода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет задачу: "В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассмотрим прямые $AB$ и $CC_1$. Они скрещиваются. Как непосредственно измерить угол между ними, если у них нет общей точки? Запишите способ, который кажется возможным." | Пытаются построить угол, фиксируют затруднение: "У прямых нет общей вершины", "Нужно перенести одну прямую". |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Если направление прямой можно сохранить переносом, какую прямую проведём через точку другой? Какой угол тогда получится? Сформулируйте цель урока и последовательность действий." | Формулируют цель: "Построить прямую, параллельную одной из данных, через точку другой и измерить меньший угол". Записывают план: построить, обосновать, измерить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с измерением угла, а с отсутствием общей точки. Значит, нам потребуется понятие сонаправленных сторон и точная конструкция переноса направления."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия центральной проекции, угла с сонаправленными сторонами и угла между прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует модель и записывает на доске: "Пусть $S$ — центр проекции, $\alpha$ — плоскость проекций, $A$ — точка вне плоскости. Прямая $SA$ пересекает $\alpha$ в точке $A'$. Точка $A'$ называется центральной проекцией точки $A$." Затем просит построить проекцию второй точки $B$ и отрезка $AB$. | Строят лучи $SA$ и $SB$, отмечают $A'$ и $B'$, соединяют их. Формулируют: "Проекцией отрезка является отрезок $A'B'$, если проектирующая прямая не лежит в плоскости проекций". |
3 мин | Учитель показывает два луча с параллельными и одинаково направленными сторонами: "Если стороны одного угла соответственно параллельны и направлены в ту же сторону, что стороны другого, углы называют углами с сонаправленными сторонами. Такие углы равны. Почему перенос направления не изменяет величину угла?" | Объясняют: "При параллельном переносе сохраняются направления сторон, поэтому сохраняется величина угла". Записывают определение и свойство. |
3 мин | Учитель возвращается к скрещивающимся прямым: "Через произвольную точку одной прямой проведём прямую, параллельную другой. Получившийся угол называется углом между данными прямыми. Из двух возможных углов выбирают меньший, поэтому он не превышает $90^\circ$." Учитель разбирает в кубе угол между $AB$ и $CC_1$: через $C$ проводит $CD$, параллельную $AB$, и отмечает угол $DCC_1$. | Повторяют построение на чертеже, устанавливают $AB\parallel CD$, называют угол $DCC_1$ углом между $AB$ и $CC_1$, делают вывод о выборе меньшего угла. |
Запись в тетрадях
Записать: «Центральная проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ из центра $S$ — точка пересечения прямой $SA$ с плоскостью $\alpha$. Угол между прямыми — меньший из углов между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Угол между прямыми лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили проекцию и научились переносить направление прямой. Теперь применим новые определения сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать построение угла между прямыми и распознавание центральной проекции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$. Постройте через точку $B_1$ прямую, параллельную $AB$, и назовите полученный угол." Учитель напоминает: "Сначала установите параллельность, затем назовите вершину угла." | Строят через $B_1$ прямую $B_1A_1$, так как $B_1A_1\parallel AB$, и называют угол $A_1B_1C_1$ углом между данными прямыми. |
2 мин | Учитель предлагает второе задание: "Точка $M$ освещена источником $S$, плоскость $\alpha$ пересекает луч $SM$ в точке $M'$. Назовите все элементы центральной проекции и объясните, что произойдёт, если луч $SM$ будет параллелен плоскости." | Называют центр $S$, точку $M$, плоскость $\alpha$, проекцию $M'$. Делают вывод: "Если луч параллелен плоскости, конечная проекция в обычном смысле не определяется". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь чертежами. Проверьте наличие параллельной прямой, общей вершины угла и указания меньшего угла. Поставьте плюс за каждый критерий." | Проверяют работу партнёра по трём критериям, формулируют одно уточнение или похвалу по приёму "Две звезды и пожелание". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что главное — не угадывать угол по рисунку, а обосновывать его построение параллельностью. Сейчас каждый проверит, может ли выполнить алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение строить центральную проекцию и находить угол между прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между $AD$ и $BB_1$; постройте его через точку $B$." Повышенный вариант: "Найдите угол между $AC$ и $B_1D_1$, обоснуйте построение параллельной прямой." Дополнительный вариант: "Опишите, какие точки получатся при центральном проецировании вершин треугольника на плоскость, если центр проекции лежит вне плоскости." Учитель напоминает последовательность: "Выделите данные прямые, выберите точку, проведите параллельную прямую, назовите угол, проверьте, что он меньший." | Решают выбранный вариант индивидуально, выполняют чертёж и записывают обоснование. В базовой задаче проводят через $B$ прямую $BC$, так как $BC\parallel AD$, и получают угол $CBB_1$. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: "Сверьте не только ответ, но и логику. Если ошибка в выборе параллельной прямой, исправьте её другим цветом и подпишите причину." | Сравнивают решение с эталоном, исправляют чертёж, отмечают в листе самооценки выполненные действия. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для самопроверки: "Почему нельзя просто назвать угол по ближайшим на рисунке лучам? Какое утверждение является обязательным в решении?" | Письменно дополняют решение фразой: "Поскольку ... параллельна ..., угол ... является углом между данными прямыми". |
Эталон решения
В базовой задаче прямые $AD$ и $BB_1$ скрещиваются. Через точку $B$ проводим $BC$. В кубе $BC\parallel AD$, поэтому угол между $AD$ и $BB_1$ равен углу между $BC$ и $BB_1$, то есть углу $CBB_1$. Рёбра $BC$ и $BB_1$ перпендикулярны, следовательно, искомый угол равен $90^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм состоит из трёх обязательных частей: построение, обоснование, указание меньшего угла. Завершим урок проверкой того, что именно стало понятным и что требует дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить центральную проекцию и угол между прямыми; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если осталось принципиальное затруднение. Одним предложением объясните свой выбор." | Поднимают карточки и формулируют самооценку: "Мне нужно потренироваться выбирать параллельную прямую" или "Я могу обосновать угол через параллельность". |
1 мин | Учитель задаёт билет на выход: "Запишите ответ на вопрос: как найти угол между скрещивающимися прямыми? Второй вопрос: что является центром центральной проекции?" | Пишут два кратких ответа: "Проводят через точку одной прямую, параллельную другой, и находят меньший угол"; "Точка, из которой выходят проектирующие прямые". |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный уровни — по готовности. В каждом решении обязательно выполняйте чертёж и пишите обоснование через параллельность." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, построение содержит все необходимые параллельные прямые, угол назван корректно, обоснование полное и чертёж аккуратный.
- «4» — решение в основном верное, но допущена одна неточность в обозначениях или объяснении, не повлиявшая на выбор угла.
- «3» — правильно воспроизведено определение или выполнена часть построения, но отсутствует полное обоснование либо допущена ошибка при выборе параллельной прямой.
- Оценка «2» выставляется при отсутствии осмысленного построения и невозможности установить, какой угол найден.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о центральной проекции? | Проверка осознания определения и элементов проецирования. |
Какие три действия нужно выполнить, чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми? | Выявление понимания алгоритма решения. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в построении и аргументации. |
Где в будущей учебной или профессиональной деятельности может пригодиться пространственное моделирование? | Связь учебного материала с личной мотивацией и будущей профессией. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились переводить пространственную ситуацию в точную геометрическую модель. Центральная проекция показала, как точка и отрезок изображаются на плоскости, а понятие сонаправленных сторон позволило определить угол между скрещивающимися прямыми. Типичная ошибка — назвать угол по внешнему виду рисунка без построения параллельной прямой и обоснования. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на углы и взаимное расположение прямых и плоскостей, используя этот алгоритм как основу."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми в кубе или прямоугольном параллелепипеде; в каждой задаче построить параллельную прямую и записать обоснование. | Закрепляет алгоритм переноса направления; при проверке смотреть на корректность параллельности, название угла и выбор меньшего угла. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на центральную проекцию точки, отрезка и треугольника на плоскость, сопровождая каждое построение пояснением положения центра проекции. | Формирует умение связывать определение с чертежом; при проверке обратить внимание на проектирующие прямые и обозначение проекций. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследование: сравнить центральную и параллельную проекции по способу построения, сохранению параллельности и практическому применению; привести по одному собственному примеру. | Развивает анализ и создание математической модели; при проверке учитывать точность сравнений и наличие аргументированных примеров. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется центральной проекцией точки?», «Какими должны быть стороны углов, чтобы углы назывались углами с сонаправленными сторонами?», «Как построить угол между скрещивающимися прямыми?», «Почему выбирают меньший из полученных углов?»
