Параллельные плоскости: признаки, единственность и следствия
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать параллельность двух плоскостей, формулировать и применять признак параллельности плоскостей, а также использовать теорему о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку вне данной плоскости и параллельной ей, при решении не менее двух стереометрических задач.
- Сформировать понимание определения параллельных плоскостей и трёх признаков их параллельности через исследование пространственной модели.
- Научить строить логическую цепочку доказательства признака параллельности плоскостей и отличать необходимое условие от достаточного.
- Развивать умение выполнять чертёж, выделять данные и заключение задачи, аргументировать каждый шаг рассуждения и проверять корректность пространственной конфигурации.
- Воспитывать аккуратность математической записи, готовность к самостоятельному доказательству и ответственное отношение к совместной исследовательской работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность строгого доказательства как основания математического знания и инженерного проектирования.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию пространственных объектов и связи геометрии с архитектурой, строительством и техническими специальностями.
- Принимают необходимость аккуратного чертежа и последовательной аргументации при работе со стереометрическими задачами.
- Оценивают собственную готовность применять теоремы о параллельности при дальнейшем изучении стереометрии и подготовке к профильному обучению.
Метапредметные
- Выделяют условие, требование и промежуточные связи в стереометрической задаче.
- Строят рассуждение по схеме «дано — требуется доказать — план доказательства — вывод».
- Работают с пространственной моделью, чертежом и символической записью, переводя информацию из одной формы в другую.
- Сотрудничают в паре и группе, формулируют вопросы, сравнивают доказательства и аргументированно оценивают их полноту.
- Осуществляют самопроверку по критериям: корректность чертежа, использование определения или признака, наличие обоснования каждого вывода.
Предметные
- Знать определение параллельных плоскостей и обозначение $\alpha \parallel \beta$.
- Знать признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
- Уметь формулировать и применять теорему о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку, не принадлежащую данной плоскости, параллельно данной плоскости.
- Уметь применять следствия теоремы к построению параллельных плоскостей и обоснованию параллельности прямых, лежащих в параллельных плоскостях.
- Владеть алгоритмом доказательства параллельности плоскостей в типовых конфигурациях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения доказывать пространственные утверждения для дальнейшего изучения математики и технических дисциплин.
- Проявляют устойчивость к затруднению, возникающему при переходе от плоского чертежа к пространственной модели.
- Осмысляют различие между интуитивным представлением о параллельности и строгим математическим доказательством.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования по проблемному вопросу о достаточных условиях параллельности плоскостей.
- Планируют доказательство, располагая шаги в логической последовательности.
- Контролируют соответствие чертежа условию и проверяют, использована ли необходимая теорема.
- Обнаруживают ошибку в рассуждении и корректируют её с опорой на определение или признак.
- Оценивают результат самостоятельной работы по предложенному эталону.
Познавательные УУД
- Сравнивают положение двух плоскостей в пространстве и выделяют случаи пересечения и параллельности.
- Устанавливают причинно-следственную связь между параллельностью прямых и параллельностью плоскостей.
- Моделируют пространственную ситуацию на чертеже и с помощью двух листов картона.
- Анализируют доказательство признака, выделяя используемые аксиомы и ранее изученные теоремы.
- Применяют символическую запись $\alpha \parallel \beta$, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$ для сжатого описания рассуждения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: чертёжник, докладчик, проверяющий и секретарь.
- Формулируют уточняющие вопросы к доказательству одноклассника.
- Аргументированно защищают выбранный план решения, используя математическую терминологию.
- Согласовывают общий вывод и корректно указывают на неполноту рассуждения.
- Представляют результат исследования в форме краткого доказательства у доски.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить две пары жёстких прямоугольных листов картона или прозрачных пластин для демонстрации пересекающихся и параллельных плоскостей.
- Распечатать на каждого ученика карточку с определением, проблемным вопросом и заданиями трёх уровней сложности.
- Распечатать на каждую группу из четырёх человек набор полосок с шагами доказательства признака параллельности плоскостей, перемешанными для восстановления логической последовательности.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки с чертежом параллелепипеда и эталоном рассуждения.
- Вывести на доску или интерактивный экран обозначения плоскостей $\alpha$, $\beta$, прямых $a$, $b$, $c$, а также памятку «две пересекающиеся прямые задают плоскость».
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Достаточно ли двух параллельных прямых, по одной в каждой плоскости, чтобы заключить, что плоскости параллельны?»
- Подготовить маркеры двух цветов, линейку, угольник, стикеры для формативного оценивания.
- Организовать посадку группами по четыре человека и заранее определить место для демонстрации моделей.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 6 минут для исследовательских заданий и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование пространственной ситуации и создать мотивацию к открытию признака параллельности плоскостей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает две картонные модели: одну с пересекающимися листами, другую с параллельно расположенными листами. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто применять готовую формулу, а выясним, по каким признакам можно надёжно установить положение двух плоскостей в пространстве. Посмотрите на модели: визуально мы различаем их положение, но в задаче рисунок может быть неточным. Как математически обосновать, что плоскости параллельны?» | Рассматривают модели, формулируют предположения: «Нужно сравнить прямые в этих плоскостях», «Нужно найти углы или параллельные направления». Записывают дату и готовят тетради. |
2 мин | Учитель показывает фотографию перекрытий и стен здания на экране. «В строительстве необходимо доказать, что поверхности этажей параллельны. Ошибка в одном направлении ещё не гарантирует параллельности всей плоскости. Сегодня мы установим достаточное условие и узнаем, почему через точку вне плоскости можно провести ровно одну параллельную ей плоскость. В конце вернёмся к вопросу о надёжности чертежа». | Фиксируют тему урока, называют практические ситуации, где важны параллельные плоскости: этажи здания, поверхности деталей, грани параллелепипеда. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одного зрительного впечатления недостаточно. Теперь восстановим знания о параллельных прямых и плоскостях, которые понадобятся для строгого рассуждения».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения и теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Тонкие и толстые вопросы». «Ответьте кратко на тонкие вопросы: сколько общих точек могут иметь две различные плоскости; какие случаи взаимного расположения прямой и плоскости вы знаете; сколько прямых через две точки можно провести? Затем подготовьтесь к толстому вопросу: почему две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость?» | Отвечают: «Две плоскости могут не иметь общих точек или пересекаться по прямой»; «Прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или не пересекает»; «Через две точки проходит единственная прямая». Формулируют: «Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость». |
2 мин | Учитель записывает на доске утверждение: «Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости». «Назовите условие, при котором прямая действительно параллельна плоскости. Почему недостаточно просто сказать, что она не пересекает одну выбранную прямую плоскости?» | Обсуждают в парах 30 секунд и отвечают: «Прямая не должна иметь общих точек с плоскостью; достаточно показать её параллельность прямой, лежащей в плоскости, если она не лежит в этой плоскости». Уточняют роль принадлежности объектов плоскости. |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с четырьмя утверждениями и просит отметить истинные: «Две параллельные прямые всегда задают параллельные плоскости»; «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой, то плоскости параллельны»; «Пересекающиеся плоскости имеют общую прямую»; «Если плоскости не пересекаются, они параллельны». «Отметьте ответы и рядом кратко укажите основание». | Индивидуально отмечают утверждения, затем сверяют в паре. Выбирают истинные утверждения и объясняют: второе и третье являются верными; первое требует уточнения, четвёртое связано с определением при различных плоскостях в пространстве. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что две пересекающиеся прямые задают плоскость, а для доказательства нужно точно указывать принадлежность и параллельность объектов. Теперь проверим, какое условие действительно достаточно для параллельности двух плоскостей».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать задачу открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует две плоскости на рисунке: в первой плоскости лежат пересекающиеся прямые $a$ и $b$, во второй — пересекающиеся прямые $a_1$ и $b_1$, причём $a \parallel a_1$, $b \parallel b_1$. «Можно ли уже сделать вывод, что плоскости параллельны? Какие факты нам нужно проверить? Почему условие о пересечении прямых важно?» | Анализируют рисунок и формулируют: «Да, если прямые в каждой плоскости пересекаются и соответствующие прямые параллельны»; «Пересечение нужно, чтобы две прямые задавали каждую плоскость». Один ученик предполагает ошибочный вариант: «Достаточно одной пары параллельных прямых», класс объясняет, почему этого мало. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как доказать параллельность плоскостей по двум парам пересекающихся параллельных прямых?» «Сформулируйте цель урока и план действий. Что мы должны узнать, доказать и применить?» | Предлагают план: «Сформулировать признак; понять его доказательство; узнать теорему о единственности параллельной плоскости; решить задачи по чертежу». Записывают тему и цель урока в тетради. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: нам нужно перейти от параллельности отдельных прямых к положению целых плоскостей. Откроем это утверждение через модель и восстановим доказательство по шагам».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести признак параллельности плоскостей и осмыслить теорему о существовании и единственности параллельной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам полоски с фрагментами доказательства. «В каждой группе восстановите последовательность. Условие таково: $a$ и $b$ — пересекающиеся прямые плоскости $\alpha$; $a_1$ и $b_1$ — пересекающиеся прямые плоскости $\beta$; $a \parallel a_1$, $b \parallel b_1$. На полосках записаны шаги: построить плоскость через $a_1$ и $b_1$; доказать, что $a_1$ и $b_1$ параллельны соответствующим прямым; использовать единственность плоскости через точку, параллельной данной; сделать вывод. Обсудите порядок и подготовьте объяснение». | Распределяют роли, раскладывают шаги, формулируют предположение: «Плоскость, заданная пересекающимися прямыми $a_1$ и $b_1$, должна совпасть с единственной плоскостью, параллельной $\alpha$». Докладчик группы объясняет последовательность. |
3 мин | Учитель направляет доказательство эвристическими вопросами. «Возьмём точку $A$ на плоскости $\beta$. Через неё проведём плоскость $\gamma$, параллельную $\alpha$. Почему такая плоскость существует и почему она единственна? Что произойдёт с прямыми $a_1$ и $b_1$, если $\beta$ не совпадает с $\gamma$?» | Отвечают: «По теореме через точку, не принадлежащую $\alpha$, проходит единственная плоскость, параллельная $\alpha$»; «Если $\beta$ и $\gamma$ пересекаются, их общая линия должна содержать направления, связанные с $a_1$ и $b_1$»; формулируют противоречие с двумя пересекающимися прямыми, параллельными прямым плоскости $\alpha$. |
3 мин | Учитель оформляет на доске итоговую формулировку. «Запишите признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Отдельно запишите теорему: через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Из неё следуют два важных факта: все прямые одной из параллельных плоскостей параллельны другой плоскости; отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны». | Записывают формулировки, выделяют условие и заключение цветом. Формулируют следствия своими словами: «Прямая, лежащая в одной плоскости, не пересекает другую»; «Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки». |
Запись в тетрадях
Записать: «Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны». Далее: «Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной». Следствия: «Любая прямая одной из двух параллельных плоскостей параллельна другой плоскости»; «Отрезки параллельных прямых между двумя параллельными плоскостями равны».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили не только формулировку признака, но и его логику: две пересекающиеся параллельные пары задают такое положение плоскостей, при котором пересечение невозможно. Теперь проверим признак на конкретном чертеже и научимся проговаривать доказательство без пропусков».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять признак параллельности плоскостей по готовому чертежу и проговаривать доказательство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран условие: «В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ доказать, что плоскость $A B B_1 A_1$ параллельна плоскости $D C C_1 D_1$». «Сначала не пишите доказательство. Назовите две пересекающиеся прямые первой плоскости и соответствующие им прямые второй. Какие параллельности следуют из свойств параллелепипеда?» | Выделяют прямые $AB$ и $AA_1$ в первой плоскости; $DC$ и $DD_1$ во второй. Отвечают: «$AB \parallel DC$, $AA_1 \parallel DD_1$; прямые $AB$ и $AA_1$ пересекаются, как и $DC$ и $DD_1$». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Математический диктор». «Один ученик формулирует каждый шаг, второй проверяет наличие основания. Начните с принадлежности прямых плоскостям, затем назовите пересечение, параллельность и заключение. Не употребляйте фразу “видно из рисунка” без объяснения». | В парах составляют устное доказательство: «$AB$ и $AA_1$ лежат в первой плоскости и пересекаются в точке $A$; $DC$ и $DD_1$ лежат во второй и пересекаются в точке $D$; $AB \parallel DC$, $AA_1 \parallel DD_1$; следовательно, плоскости параллельны по признаку». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ ошибки: «Ученик написал: “$AB \parallel DC$, поэтому плоскости параллельны”. Как оценить это доказательство? Что нужно добавить?» | Фиксируют ошибку: одной пары параллельных прямых недостаточно. Добавляют вторую пару пересекающихся прямых и указывают, что обе пары лежат в соответствующих плоскостях. |
Эталон решения
$AB$ и $AA_1$ — пересекающиеся прямые плоскости $A B B_1 A_1$. $DC$ и $DD_1$ — пересекающиеся прямые плоскости $D C C_1 D_1$. В параллелепипеде $AB \parallel DC$ и $AA_1 \parallel DD_1$. Следовательно, две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. По признаку параллельности плоскостей $A B B_1 A_1 \parallel D C C_1 D_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В доказательстве важны не только параллельные направления, но и принадлежность двух пересекающихся прямых соответствующим плоскостям. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно выбрать достаточные данные и построить доказательство».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать признак, применять теорему о единственности и объяснять следствие.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень по готовности: обязательный минимум выполняют все, затем можно перейти к повышенному или дополнительному. На первом задании укажите, какие две пары прямых позволяют доказать параллельность плоскостей в изображённом параллелепипеде. На втором объясните, почему через точку $M$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, нельзя провести две различные плоскости, параллельные $\alpha$. На повышенном уровне обоснуйте равенство отрезков на двух параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями». | Индивидуально выполняют задания, строят обозначения на чертеже, записывают доказательства полными предложениями. В обязательном задании указывают две пары пересекающихся параллельных прямых; в теоретическом вопросе ссылаются на теорему единственности. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран и организует самопроверку. «Сверяйте не только ответ, но и основания. Поставьте знак “+”, если указаны принадлежности прямых плоскостям, пересечение прямых, две параллельности и итог. Если какого-то основания нет, поставьте точку и допишите его другим цветом». | Проверяют работу по четырём критериям, исправляют пропуски, отмечают уровень самостоятельности. По желанию задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор». «Покажите цвет: зелёный — можете самостоятельно применить признак; жёлтый — понимаете идею, но пропускаете обоснования; красный — требуется разобрать чертёж вместе. Назовите одну конкретную трудность, а не просто “не понял”». | Показывают карточку, формулируют затруднение: «Путаю прямые, лежащие в плоскостях», «Не понимаю, как использовать единственность», «Не знаю, какие две прямые выбрать». |
Эталон решения
Алгоритм проверки: 1) назвать две пересекающиеся прямые в первой плоскости; 2) назвать две пересекающиеся прямые во второй плоскости; 3) подтвердить принадлежность прямых соответствующим плоскостям; 4) записать две пары параллельных прямых; 5) сослаться на признак и сделать вывод о параллельности плоскостей. Для вопроса о единственности: если бы через $M$ проходили две различные плоскости, параллельные $\alpha$, это противоречило бы теореме о единственности плоскости через точку, не принадлежащую данной плоскости.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что правильный ответ в стереометрии — это не только название плоскостей, но и цепочка оснований. Осталось связать признак и следствия с общей системой знаний и сформулировать, где они пригодятся».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, связать новое знание с ранее изученными теоремами и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает построить на доске мини-кластер. «В центре запишите “Параллельные плоскости”. От него проведите три ветви: определение, признак, следствия. Какие слова должны попасть в каждую ветвь? Какая связь существует между двумя пересекающимися прямыми и плоскостью?» | Заполняют кластер: «не пересекаются», «две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой», «через точку проходит единственная параллельная плоскость», «отрезки между параллельными плоскостями равны». Формулируют связь: «две пересекающиеся прямые задают плоскость». |
2 мин | Учитель задаёт толстые вопросы: «Почему одной пары параллельных прямых недостаточно? Как по чертежу понять, что выбранные прямые подходят для признака? Какое следствие поможет в задаче на равенство отрезков?» | Отвечают: «Одна пара задаёт только одно направление»; «Нужно проверить пересечение прямых внутри каждой плоскости и соответствие параллельных пар»; «Используем следствие о равных отрезках параллельных прямых между двумя параллельными плоскостями». |
1 мин | Учитель раздаёт стикеры для приёма «Билет на выход». «Запишите одним предложением ответ: “Чтобы доказать параллельность двух плоскостей, я должен…” и отдельно укажите, какой шаг пока требует тренировки». | Записывают билет на выход: «Я должен найти две пересекающиеся прямые в каждой плоскости и доказать попарную параллельность»; указывают личную трудность или отмечают готовность применять алгоритм. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы открыли способ перехода от свойств прямых к положению плоскостей, обосновали признак и увидели роль теоремы единственности. Дома закрепите алгоритм на новых чертежах; на следующем уроке применим его вместе с другими признаками и свойствами параллельных плоскостей».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное задание и задание повышенного уровня либо все пункты обязательной карточки; в доказательстве указаны принадлежность прямых плоскостям, их пересечение, две пары параллельных прямых и корректный вывод по признаку; запись аккуратная.
- «4» — верно определены плоскости и пары параллельных прямых, но допущен один неполный комментарий или пропущено отдельное обоснование, не нарушающее общий ход доказательства.
- «3» — распознана основная идея признака и указана хотя бы одна корректная пара прямых, но доказательство содержит два и более пропуска в основаниях либо есть неточность в формулировке теоремы.
- Ниже уровня «3» — ученик не различает условие и заключение признака, выбирает прямые без проверки их принадлежности плоскостям; требуется индивидуальный разбор чертежа и повторное выполнение базового задания.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о достаточном условии параллельности двух плоскостей? | Выявление осознания содержания признака и различия между необходимым и достаточным условием. |
Какие четыре элемента должны присутствовать в доказательстве по признаку? | Проверка понимания алгоритма: принадлежность, пересечение, две параллельности, вывод. |
На каком шаге решения стереометрической задачи вы испытали затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения в выборе прямых и построении рассуждения. |
Где может пригодиться теорема о единственности плоскости, проходящей через точку параллельно данной? | Связь нового знания с практическими и последующими учебными задачами, оценка переноса знания. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что положение двух плоскостей можно доказать не по внешнему виду чертежа, а через две пары пересекающихся параллельных прямых. Важно не забывать: одной пары параллельных прямых недостаточно, поэтому в доказательстве всегда проверяйте второе направление и принадлежность прямых плоскостям. Мы также выяснили, почему через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной. На следующем уроке будем применять этот результат при решении более сложных задач на взаимное расположение прямых и плоскостей».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задачи на распознавание параллельных плоскостей по чертежу: в каждой указать две пересекающиеся прямые в соответствующих плоскостях, записать две пары параллельных прямых и сделать вывод по признаку. | Закрепляет структуру признака; при проверке обратить внимание на принадлежность прямых плоскостям и наличие двух, а не одной пары параллельных прямых. |
Средний (повышающий) | Выполнить 2 задачи на применение теоремы о единственности и её следствий, включая задачу на равенство отрезков параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями. | Формирует перенос теоремы на новую конфигурацию; проверить, указано ли, какие плоскости параллельны и какое следствие используется. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную стереометрическую задачу на признак параллельности плоскостей с чертежом, условием, вопросом и полным доказательством в 5–7 логических шагов. | Развивает умение конструировать математическую ситуацию и аргументировать решение; при проверке оценить корректность чертежа, достаточность данных и отсутствие лишних условий. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. Почему в нём нужны именно две пересекающиеся прямые? Что утверждает теорема о плоскости, проходящей через точку вне данной плоскости? Назовите одно следствие этой теоремы и объясните, в какой задаче его можно применить».
