Повторение: сечения, расстояния и углы в пространстве
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока систематизировать способы построения сечений и вычисления расстояний и углов в пространстве, применив их не менее чем в трёх практических заданиях и проверив решения по критериям.
- Актуализировать определения сечения многогранника, расстояния между объектами и угла между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.
- Закрепить алгоритмы построения сечений и сведения пространственных задач к планиметрическим моделям.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения и аргументировать геометрические построения.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной проверке решения и готовность объяснять ход рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение пространственного мышления для дальнейшего изучения математики, инженерных и технических дисциплин.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения и готовность корректно обсуждать разные варианты рассуждений.
- Понимают ценность точного чертежа, доказательного рассуждения и самоконтроля.
- Снижают тревожность перед заданиями повышенной сложности через поэтапный анализ условия.
Метапредметные
- Извлекают из условия существенную информацию и переводят пространственную ситуацию в плоскую модель.
- Планируют последовательность построения, контролируют промежуточные результаты и исправляют ошибки.
- Сравнивают несколько способов решения и обосновывают выбор наиболее рационального.
- Участвуют в математическом диалоге, формулируют вопросы и аргументируют выводы с использованием геометрической терминологии.
Предметные
- Знать определения сечения многогранника, расстояния между скрещивающимися прямыми, угла между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями.
- Уметь строить сечение многогранника плоскостью по заданным точкам и следам пересечения.
- Уметь находить расстояние от точки до плоскости и расстояние между параллельными объектами через перпендикуляр.
- Уметь вычислять углы в пространстве после построения ортогональной проекции или линейного угла.
- Владеть алгоритмом проверки корректности пространственного чертежа и записи ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с подготовкой к дальнейшему обучению.
- Осознают необходимость точности и последовательности при работе с пространственными моделями.
- Проявляют уважение к иному способу решения, если он математически обоснован.
- Оценивают собственную готовность применять изученные алгоритмы без подсказки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и составляют план решения пространственной задачи.
- Проверяют, принадлежит ли построенная точка нужному ребру или грани, а найденный угол — требуемой геометрической величине.
- Обнаруживают ошибку в чертеже или вычислениях и корректируют решение.
- Оценивают результат по заданным критериям и фиксируют материал, требующий доработки.
Познавательные УУД
- Выделяют данные и искомые объекты, устанавливают связи между ними.
- Строят пространственную и плоскую модели задачи.
- Применяют признаки перпендикулярности, свойства параллельных прямых и плоскостей, теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.
- Сравнивают пространственный угол с его линейным углом и объясняют переход к планиметрической задаче.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру смысл каждого шага построения, а не только называют результат.
- Задают уточняющие вопросы о принадлежности точек, прямых и плоскостей.
- Согласуют общий чертёж в паре и распределяют роли при проверке.
- Аргументированно защищают решение и корректно указывают на неточность в рассуждении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями куба, прямоугольного параллелепипеда и правильной треугольной призмы, а также слайд с алгоритмами построения сечения и нахождения углов.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задания на определения, задания на построение сечения и повышенные задачи на расстояния и углы — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одной карточке с координатами или названиями вершин куба на парту для задания «Найди ошибку в чертеже».
- Распечатать лист самооценки с пунктами «строю сечение», «нахожу расстояние», «нахожу линейный угол», «могу объяснить решение» — по одному на ученика.
- Вывести на доску или подготовить отдельный слайд с обозначениями куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и памяткой: «перпендикуляр — кратчайшее расстояние; угол — угол между пересекающимися проекциями».
- Подготовить линейки, карандаши, угольники и прозрачную модель куба или каркасную модель — по одной на группу.
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и цветные маркеры для фиксации точек сечения.
- Заранее разместить на доске проблемный вопрос: «Как доказать, что найденный на плоском рисунке угол является углом между объектами в пространстве?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и обозначить практическую ценность повторения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает прозрачную модель куба: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем просто перечислять известные определения. Мы проверим, умеем ли превращать пространственную задачу в понятный план построения и вычисления. Посмотрите на куб: один и тот же объект позволяет говорить о сечении, расстоянии и нескольких видах углов. Подготовьте тетради, линейки и карандаши." | Проверяют готовность, рассматривают модель куба, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель обращает внимание на проблемный вопрос на доске: "Как понять, что угол, который мы измерили на плоском рисунке, действительно является углом между объектами в пространстве? Где в решении нужно обосновать построение? Запишите короткую гипотезу, затем обсудите её с соседом." Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах и предлагают варианты: «нужно построить проекции», «надо доказать перпендикулярность», «угол должен быть линейным углом двугранного угла». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши гипотезы на конкретных чертежах. Сначала восстановим язык темы, затем построим модели и применим их к вычислениям."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и признаки, необходимые для решения задач урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране четыре утверждения и предлагает приём «Верно — неверно»: "Определите, какие утверждения верны, а неверные исправьте. Первое: расстояние от точки до плоскости — длина любого отрезка, соединяющего точку с плоскостью. Второе: угол между скрещивающимися прямыми можно найти как угол между параллельными им пересекающимися прямыми. Третье: сечение многогранника — это многоугольник, полученный при пересечении многогранника плоскостью. Четвёртое: проекция наклонной на плоскость всегда равна самой наклонной." | Отмечают утверждения знаками «+» и «−», исправляют ошибки: «расстояние равно длине перпендикуляра», «угол между скрещивающимися прямыми заменяют углом между пересекающимися параллельными», «проекция наклонной короче наклонной». |
3 мин | Учитель задаёт вопросы и фиксирует на доске краткие ответы: "Как определяется угол между прямой и плоскостью? Что называют линейным углом двугранного угла? Как строится сечение многогранника? Назовите обязательное условие для расстояния от точки до плоскости." | Отвечают: «угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость»; «угол между перпендикулярами к ребру двугранного угла в его гранях»; «соединяем точки пересечения секущей плоскости с рёбрами»; «перпендикулярность прямой плоскости». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили четыре опорные идеи: сечение задаётся точками пересечения, расстояние связано с перпендикуляром, пространственный угол требует корректной модели, а вычисления выполняются уже в выбранной плоскости. Теперь выясним, какой шаг чаще всего вызывает затруднение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить типичную ошибку при переходе от пространственного рисунка к плоскому и сформулировать план повторения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает изображение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и два варианта построения угла между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания: "На первом рисунке ученик измерил угол между диагональю и ребром основания, на втором построил проекцию диагонали. Какой вариант корректен? Не угадывайте, а назовите основание выбора." | Сравнивают рисунки, обсуждают в парах и формулируют: «корректен второй вариант, потому что проекция $AC_1$ на основание — это $AC$, и угол между прямой и плоскостью равен углу между $AC_1$ и $AC$». |
2 мин | Учитель записывает на доске план урока: "Предлагаю сегодня пройти три шага: построить сечение, найти расстояние через перпендикуляр, затем определить пространственный угол через проекцию или линейный угол. В конце каждый выберет задачу для самостоятельной проверки. Согласны ли вы с таким планом? Что добавим?" | Предлагают добавить проверку чертежа и взаимное объяснение решения; записывают план урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с формулой, а с выбором правильной геометрической модели. Начнём с построения сечения: там особенно хорошо видно, как пространственный объект превращается в многоугольник."
Этап 4. Открытие и систематизация способов решения (10 мин)
Цель этапа: совместно восстановить алгоритмы построения сечения, расстояния и угла на модели прямоугольного параллелепипеда.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам модель прямоугольного параллелепипеда и карточку: «В точках $M$ и $N$, лежащих соответственно на рёбрах $AB$ и $AD$, проведена секущая плоскость, проходящая через $M$, $N$ и вершину $C_1$. Постройте сечение». Учитель говорит: "Сначала отметьте данные точки. Затем найдите на каждой грани линии пересечения и соединяйте только точки, принадлежащие одной грани. Не проводите отрезок через пустое пространство. Назовите полученный многоугольник." | В группах отмечают $M$, $N$, $C_1$, строят линии пересечения граней, получают многоугольник $MNC_1P$ или соответствующее сечение в зависимости от положения точек, объясняют принадлежность его сторон граням. |
3 мин | Учитель обобщает: "Запишите алгоритм. Первый шаг — отметить заданные точки. Второй — найти ещё точки пересечения секущей плоскости с рёбрами. Третий — соединить точки попарно на одной грани. Четвёртый — проверить замкнутость многоугольника и принадлежность каждой стороны грани. Теперь перейдём к расстоянию: какую прямую нужно построить от точки до плоскости?" | Записывают алгоритм, отвечают: «перпендикуляр к плоскости». На модели показывают основание перпендикуляра и отличают его от наклонной. |
3 мин | Учитель показывает диагональ $AC_1$ куба и говорит: "Её проекция на основание — диагональ $AC$. Поэтому угол между $AC_1$ и плоскостью основания обозначается как угол $C_1AC$. Если сторона куба равна $a$, то $AC=a\sqrt{2}$, $CC_1=a$, и из прямоугольного треугольника $ACC_1$ получаем $\tan\angle C_1AC=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Важно: сначала назвать проекцию, затем построить прямоугольный треугольник." | В тетрадях записывают схему: «прямая — проекция — угол», фиксируют $AC$ как проекцию $AC_1$ и формулу $\tan\alpha=\frac{CC_1}{AC}$. Объясняют, почему выбранный угол является углом между прямой и плоскостью. |
Запись в тетрадях
- Сечение: отметить заданные точки; найти дополнительные точки пересечения; соединить точки на одной грани; проверить замкнутость и принадлежность сторон.
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости.
- Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
- Для куба: $AC=a\sqrt{2}$, $CC_1=a$, поэтому $\tan\angle C_1AC=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили общий алгоритм: сначала строим, затем доказываем, какой объект построен, и только после этого вычисляем. Сейчас каждый применит его к коротким заданиям с проговариванием шагов."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы через решение разнотипных задач и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с заданиями: "Задание 1: в кубе со стороной $6$ см найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $BCC_1B_1$. Задание 2: найдите угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания. Задание 3: объясните, какие отрезки образуют линейный угол двугранного угла при ребре $AB$. Выберите два задания, но одно из них обязательно должно быть с объяснением." | В парах выбирают два задания, делают чертёж, записывают решение. Для первого задания получают $6$ см; для второго используют $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$; для третьего называют перпендикуляры к $AB$ в соответствующих гранях. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседней парой. Проверьте три пункта: есть ли пространственный чертёж, назван ли перпендикуляр или проекция, объяснено ли происхождение формулы. Поставьте две звезды за сильные стороны и одно пожелание." | Проверяют работы по трём критериям, записывают две сильные стороны и одно конкретное пожелание: «указать основание перпендикуляра», «добавить обозначение проекции». |
2 мин | Учитель просит две пары кратко представить разные решения: "Одна пара объяснит задачу о расстоянии, другая — задачу об угле. Не читайте всё решение, а назовите главный переход от пространства к плоскости." | Представляют решения: «расстояние от $A$ до плоскости равно длине ребра $AB$»; «угол между диагональю и плоскостью заменён углом между диагональю и её проекцией $AC$». |
Эталон решения
Для куба со стороной $6$ см расстояние от $A$ до плоскости $BCC_1B_1$ равно длине перпендикуляра $AB$, так как $AB\perp BC$ и $AB\perp BB_1$, значит, $AB\perp (BCC_1B_1)$. Следовательно, $\rho(A,(BCC_1B_1))=AB=6$ см. Для угла между $AC_1$ и основанием проекция $AC_1$ — отрезок $AC$. В треугольнике $ACC_1$: $AC=6\sqrt{2}$, $CC_1=6$, поэтому $\tan\alpha=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Взаимопроверка показала, что вычисление становится коротким только после точного построения. Теперь выполните самостоятельную работу без выбора партнёра и проверьте, какой алгоритм уже стал устойчивым."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмами построения, нахождения расстояния и угла.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и поясняет: "Базовый уровень обязателен для всех. Базовое задание проверяет определения и короткое вычисление, средний уровень добавляет построение, повышенный требует самостоятельного выбора модели. Работайте аккуратно, подписывайте все точки и не стирайте промежуточные построения до проверки." | Выбирают карточку с учётом собственных возможностей, записывают фамилию и начинают работу. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: «В кубе со стороной $4$ найдите расстояние от $A$ до плоскости $BCC_1B_1$ и назовите угол между $AB_1$ и плоскостью основания». Средний уровень: «Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью через точки на трёх рёбрах и определите число сторон сечения». Повышенный уровень: «В кубе со стороной $a$ найдите угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью грани $ABB_1A_1$; обоснуйте, какая проекция используется». | Индивидуально выполняют выбранное задание, строят чертёж и записывают обоснование. В базовом задании получают расстояние $4$ и распознают угол через соответствующий прямоугольный треугольник; в повышенном объясняют проекцию диагонали на грань. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Сверьте не только ответ, но и логику. Если ошибка в рисунке, исправьте её другим цветом и подпишите причину. Поставьте себе отметку: зелёный — алгоритм применён самостоятельно, жёлтый — потребовалась подсказка, красный — нужно повторить построение." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, заполняют самооценку и отмечают конкретный затрудняющий шаг. |
Эталон решения
Для базового задания: $AB\perp BC$ и $AB\perp BB_1$, поэтому $AB\perp (BCC_1B_1)$ и расстояние равно $AB=4$. Для нахождения угла между $AB_1$ и основанием строится проекция $AB$; угол равен углу $B_1AB$ между $AB_1$ и $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ при стороне куба $4$ имеем $AB=BB_1=4$, поэтому $\tan\alpha=1$ и $\alpha=45^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете выбирать разные уровни сложности. Ошибки сейчас полезны: они указывают, какой именно элемент алгоритма нужно укрепить. Завершим урок общей рефлексией и свяжем сегодняшние способы с дальнейшими задачами стереометрии."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат повторения, зафиксировать индивидуальные затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает вашу готовность: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — решаю с опорой на алгоритм, красный — пока путаю построение. Затем закончите фразу: «Чтобы найти угол в пространстве, я сначала…»" | Показывают карточку цвета и формулируют: «сначала нахожу проекцию или линейный угол, затем обосновываю прямоугольный треугольник». |
2 мин | Учитель раздаёт «билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какой признак помогает доказать, что прямая перпендикулярна плоскости; какая типичная ошибка может исказить ответ на задачу об угле?" | Записывают ответы: «достаточно доказать перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости»; «нельзя заменять проекцию произвольным ребром или измерять угол на неправильной плоскости». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень, но ориентируйтесь на результат самооценки. В каждом решении обязательны чертёж, обозначение искомого объекта и короткое обоснование." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и отмечают, какой алгоритм будут тренировать. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнено выбранное задание, построение соответствует условию, расстояние или угол обоснованы, вычисления без ошибок, обозначения читаемы.
- «4» — выбранное задание решено в основном верно, но допущена одна неточность в оформлении, промежуточном объяснении или вычислении, не повлиявшая на основной способ решения.
- «3» — распознана нужная геометрическая модель и выполнена значительная часть построения, но допущены ошибки в обосновании перпендикулярности, выборе проекции или вычислениях.
- Ниже отметки «3» — отсутствует корректная модель задачи либо решение не доведено до обоснованного ответа; ученик получает рекомендацию повторить соответствующий алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы восстановили сегодня о переходе от пространственной задачи к плоской? | Выявление осознанности общего алгоритма решения. |
Как вы определяете, что построенный угол является искомым углом между объектами? | Проверка понимания роли проекции и линейного угла. |
Какой шаг оказался самым сложным: построение, доказательство или вычисление? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Формирование самооценки и учебной цели. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы восстановили не отдельные формулы, а целостный способ работы со стереометрической задачей: построить модель, обосновать нужный перпендикуляр или проекцию и только затем вычислять. Самая частая ошибка — измерять на рисунке не тот угол, который определён условием. Если вы научились задавать себе вопрос «какой плоский объект представляет пространственный?», вы сделали важный шаг к самостоятельному решению задач повышенной сложности. На следующем уроке мы применим эти алгоритмы к более сложным комбинациям сечений и углов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости и угла между прямой и плоскостью в кубе или прямоугольном параллелепипеде; к каждой задаче выполнить схематичный чертёж. | Закрепляет распознавание перпендикуляра и проекции; при проверке смотреть на соответствие чертежа условию и наличие обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на построение сечения многогранника по трём заданным точкам и 2 задачи на вычисление угла в полученном сечении. | Формирует умение связывать сечение с планиметрической моделью; при проверке смотреть на замкнутость сечения и принадлежность сторон граням. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о кубе или призме, в которой требуется найти расстояние и угол; приложить чертёж и кратко объяснить, почему выбранный способ корректен. | Развивает исследовательскую инициативу и умение конструировать математическую ситуацию; при проверке оценивать корректность условия, модели и доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют сечением многогранника? Почему расстояние измеряют по перпендикуляру? Как строится проекция прямой на плоскость? Чем линейный угол отличается от произвольного угла на пространственном рисунке?»
