Углы с сонаправленными сторонами
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют признак равенства углов с сонаправленными сторонами и применят его при решении не менее трёх геометрических задач, обосновывая каждый шаг.
- Сформировать представление о сонаправленных лучах и углах, стороны которых соответственно сонаправлены.
- Научить распознавать такие углы на чертеже и доказывать их равенство с использованием параллельности и равенства направлений.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на моделях и аргументировать геометрическое рассуждение.
- Воспитывать аккуратность построений, самостоятельность и ответственное отношение к проверке математического вывода.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность доказательного рассуждения при изучении геометрии и решении практических задач.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию связи между направлением лучей и величиной угла.
- Принимать ответственность за самостоятельную проверку гипотезы и корректность чертежа.
- Оценивать собственную готовность применять новое понятие в задачах повышенного уровня.
Метапредметные
- Формулировать учебную проблему и планировать исследование по предложенному чертежу.
- Извлекать информацию из рисунка, условных обозначений и краткого текста определения.
- Сравнивать несколько геометрических конфигураций, выявлять существенные признаки и строить вывод.
- Аргументированно представлять решение, сопоставлять его с эталоном и корректировать ошибки.
Предметные
- Знать определение сонаправленных лучей и углов с соответственно сонаправленными сторонами.
- Понимать, что углы с соответственно сонаправленными сторонами равны.
- Уметь распознавать сонаправленные стороны углов на чертеже и записывать соответствие лучей.
- Уметь применять признак при вычислении величины неизвестного угла и доказательстве равенства углов.
- Различать сонаправленные и противоположно направленные лучи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают роль точного определения в построении доказательства.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки гипотезы.
- Связывают геометрическое рассуждение с требованиями будущего обучения в вузе.
- Формируют готовность признавать и исправлять ошибку в чертеже или доказательстве.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель исследования углов.
- Планируют последовательность: построить, сравнить, сформулировать гипотезу, доказать.
- Осуществляют самоконтроль по чек-листу признаков сонаправленности.
- Оценивают результат решения и выполняют коррекцию при обнаружении несоответствия лучей.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки сонаправленных лучей.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью чертежа и поворотной модели.
- Сравнивают величины углов и устанавливают причинно-следственную связь между направлениями сторон.
- Применяют известные свойства параллельных и перпендикулярных прямых при доказательстве.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к условию и уточняют соответствие лучей.
- Обсуждают гипотезу в паре, распределяя роли чертёжника и докладчика.
- Аргументируют решение с использованием математической терминологии.
- Корректно сопоставляют собственное доказательство с рассуждением одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с тремя парами углов: с сонаправленными, противоположно направленными и произвольно направленными сторонами.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить лист исследования с полями: «Чертёж», «Наблюдение», «Гипотеза», «Доказательство».
- Распечатать чек-лист самопроверки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить линейки, транспортиры и карандаши для каждого ученика; для демонстрации иметь две цветные стрелки или магнитные лучи.
- Вывести на доску тему урока, проблемный вопрос и пустую схему соответствия лучей.
- Подготовить слайд с формулировками «сонаправленные лучи», «противоположные лучи» и кратким алгоритмом распознавания.
- Разместить на доске эталон оформления доказательства: «Дано — Доказать — Доказательство».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость точного определения направления лучей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и транспортира. Сегодня мы будем не только применять готовое правило, но и сами восстановим его по чертежам. Важно, чтобы каждый ваш вывод опирался на наблюдение и доказательство." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят рабочий лист исследования. |
2 мин | Учитель показывает две пары цветных лучей и задаёт вопрос: "Посмотрите на экран. В первой паре лучи направлены в одну сторону, хотя имеют разные начала. Можно ли по направлению сторон заранее предположить, как связаны построенные углы? Что необходимо проверить, чтобы ответ был математически корректным?" | Рассматривают модели, высказывают предположения: "Нужно сопоставить стороны углов", "Следует проверить, совпадают ли направления лучей", "Возможно, углы равны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим, достаточно ли соответствующего направления сторон для сравнения углов. Для этого сначала уточним, какие лучи называются сонаправленными, а затем построим доказательство."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о луче, угле, параллельных и противоположно направленных лучах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три вопроса: "Что называется углом? Чем отличаются лучи от прямых? Как определить, что два луча имеют одно направление? Вспомните также свойства параллельных прямых и величину развёрнутого угла." Учитель просит сначала ответить индивидуально, затем обсудить ответы в паре. | В течение 30 секунд записывают определения, затем обсуждают их в парах и формулируют ответы: "Угол образован двумя лучами с общей начальной точкой", "Параллельные прямые не пересекаются", "Развёрнутый угол равен $180^\circ$". |
3 мин | Учитель показывает лучи $OA$ и $OB$, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны: "Сравните их. Можно ли назвать их сонаправленными? Почему? Теперь рассмотрите лучи, лежащие на параллельных прямых и направленные вправо. Какое свойство вы наблюдаете?" | Отмечают на мини-чертежах пары лучей, классифицируют их как сонаправленные или противоположно направленные, объясняют: "Лучи на одной прямой, направленные в разные стороны, противоположны", "Параллельные лучи, направленные в одну сторону, сонаправлены". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что направление луча имеет значение, а положение его начала само по себе не определяет величину угла. Теперь выясним, какое правило возникает, если обе стороны одного угла соответственно сонаправлены сторонам другого."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать гипотезу о равенстве углов с сонаправленными сторонами и определить план её проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует углы $\angle AOB$ и $\angle COD$. Луч $OA$ параллелен и сонаправлен лучу $OC$, луч $OB$ параллелен и сонаправлен лучу $OD$. Учитель спрашивает: "Можно ли уже утверждать, что углы равны? Какие данные нам известны, а какого обоснования пока не хватает?" | Записывают данные на листе исследования, выделяют соответствие $OA\leftrightarrow OC$, $OB\leftrightarrow OD$, формулируют гипотезу: "Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то углы равны". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: "Почему углы с соответственно сонаправленными сторонами равны?" Затем предлагает план: "Сначала уточним определение, затем построим вспомогательные прямые или перенесём один угол параллельно самому себе, после чего сравним стороны и величины углов. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Вывести и научиться применять признак равенства углов с соответственно сонаправленными сторонами"; записывают план исследования. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, гипотеза сформулирована. Теперь перейдём к главному — построим рассуждение, которое превратит наше наблюдение в доказанное свойство."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести признак равенства углов с соответственно сонаправленными сторонами и зафиксировать его в тетради.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист исследования и говорит: "Постройте произвольный угол $\angle AOB$. Через точку $C$, не лежащую на его сторонах, проведите луч $CD$, сонаправленный лучу $OA$, и луч $CE$, сонаправленный лучу $OB$. Отметьте на рисунке параллельность и стрелками покажите направление. Не измеряйте угол как единственный способ обоснования — нам нужно найти геометрическую связь." | Строят угол, проводят через точку $C$ два луча, параллельные соответствующим сторонам исходного угла, обозначают направления стрелками и записывают соответствие лучей. |
4 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов: "Рассмотрите угол при точке $C$. Если луч $CD$ сонаправлен лучу $OA$, а луч $CE$ — лучу $OB$, можно ли считать один угол переносом другого? Какие стороны получаются параллельными? Почему при параллельном переносе направление сторон не меняется?" Учитель фиксирует на доске схему доказательства. | Сравнивают углы, формулируют: "Стороны нового угла соответственно параллельны сторонам исходного и имеют те же направления", "Параллельный перенос сохраняет величину угла"; предлагают доказательство через равенство соответствующих углов при параллельных прямых. |
3 мин | Учитель формулирует вывод: "Углы, стороны которых соответственно сонаправлены, равны. Обратите внимание на слово «соответственно»: первая сторона одного угла должна быть сопоставлена с первой стороной другого, а вторая — со второй. Если одна пара лучей направлена противоположно, вывод изменится. Запишите определение и признак." | Записывают определение сонаправленных лучей и признак: «Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то углы равны». Подчёркивают условие «соответственно сонаправлены». |
Запись в тетрадях
«Два луча называются сонаправленными, если они параллельны и направлены в одну сторону. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то эти углы равны: $\angle AOB=\angle COD$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не только формулировку, но и способ её обосновать через параллельность и сохранение направления. Сейчас проверим признак на конкретных чертежах и научимся не путать его с правилом для противоположно направленных сторон."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание сонаправленных сторон и применение признака в типовых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с тремя схемами и объясняет приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала 30 секунд работайте молча. В каждой схеме определите, какие лучи соответствуют друг другу, и решите, равны ли углы. Затем одну минуту обсудите аргумент с соседом. В ответе обязательно используйте слова «параллельны», «сонаправлены», «соответственно»." | Самостоятельно классифицируют три пары углов, затем сверяют выводы в парах. В первой схеме отмечают равенство при двух парах сонаправленных лучей; во второй — невозможность применить признак; в третьей — противоположное направление одной стороны. |
4 мин | Учитель организует проверку: "Разберём первую схему. Пусть $OA\parallel OC$ и $OB\parallel OD$, причём лучи сонаправлены. Какой вывод делаем? Во второй схеме одна пара лучей противоположно направлена. Почему нельзя просто написать, что углы равны? В третьей схеме назовите условие, которого не хватает." | Представляют решения: "$\angle AOB=\angle COD$, потому что стороны соответственно сонаправлены"; объясняют, что при противоположной направленности угол может быть смежным или дополнительным к исходному; указывают на отсутствие соответствия направлений. |
Эталон решения
Если $OA\parallel OC$, $OB\parallel OD$, и обе пары лучей сонаправлены, то по признаку углы равны: $\angle AOB=\angle COD$. Если же одна пара лучей противоположно направлена, то условие признака нарушено; необходимо дополнительно установить, являются ли углы смежными, вертикальными или дополнительными.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Первое применение показало: решающим является не только параллельность прямых, но и направление лучей. Теперь каждый самостоятельно решит задачи и проверит себя по критериям, как это требуется в полноценном геометрическом доказательстве."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение определением и признаком, организовать самоконтроль и коррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбрать базовый или повышенный вариант: "В базовом варианте определите, равны ли углы по данным о направлениях лучей, и запишите обоснование. В повышенном варианте дополнительно найдите неизвестный угол: один угол равен $58^\circ$, его стороны соответственно сонаправлены сторонам второго угла. Работайте самостоятельно, каждый вывод оформляйте полным предложением." | Решают выбранный вариант. В базовом варианте записывают соответствие лучей и вывод о равенстве или невозможности применения признака. В повышенном варианте получают $58^\circ$ и обосновывают результат. |
2 мин | Учитель выводит на экран чек-лист: "Проверьте: указаны ли обе пары соответствующих лучей; отмечено ли, что они сонаправлены; назван ли признак; записан ли итоговый ответ с единицами измерения; нет ли подмены сонаправленности простой параллельностью." | Сверяют решение с чек-листом, подчёркивают место, где использовали признак, исправляют неточности. |
2 мин | Учитель показывает эталон: "В задаче угол равен $58^\circ$, а стороны второго угла соответственно сонаправлены сторонам первого. Следовательно, по признаку равенства углов второй угол также равен $58^\circ$. Если в вашей работе получен другой результат, проверьте соответствие лучей и направление стрелок." | Выполняют самопроверку, отмечают результат условным знаком: «+» — всё верно, «?» — требуется вопрос, «!» — исправил ошибку. |
Эталон решения
Дано: $\angle AOB=58^\circ$, луч $OC$ сонаправлен лучу $OA$, луч $OD$ сонаправлен лучу $OB$. Так как стороны углов $AOB$ и $COD$ соответственно сонаправлены, то по признаку равенства углов $\angle COD=\angle AOB=58^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, кто уже уверенно распознаёт соответствие сторон, а кому нужно ещё раз проверить направление стрелок. Осталось включить новое свойство в систему знаний и сформулировать, чем оно отличается от случаев с противоположными лучами."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм применения признака, выявить трудности и связать новое знание с дальнейшим изучением углов и параллельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает составить алгоритм: "Назовите четыре шага, которые нужно выполнить в задаче. С чего начинаем? Что проверяем после записи соответствия? Каким предложением завершаем доказательство?" На доске появляется схема: 1) выделить углы; 2) сопоставить стороны; 3) проверить параллельность и направление; 4) применить признак. | Формулируют алгоритм: "Найти углы, установить соответствие сторон, проверить сонаправленность, записать вывод и обоснование"; переносят схему в тетрадь. |
3 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если вы можете самостоятельно доказать равенство таких углов; жёлтую — если понимаете правило, но путаетесь в направлении лучей; красную — если требуется повторное объяснение. На стикере допишите один вопрос или один важный вывод урока." | Поднимают карточки, записывают на стикере вывод или вопрос: "Главное — проверить направление обеих пар лучей", "Не всегда параллельность означает равенство углов". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли признак равенства углов с соответственно сонаправленными сторонами и проверили его на чертежах и задачах. В домашней работе закрепите алгоритм, а на следующем уроке мы рассмотрим конфигурации с противоположно направленными сторонами и установим, как в них связаны величины углов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного варианта, правильно установлено соответствие обеих пар лучей, использована точная формулировка признака, доказательство записано последовательно и без логических ошибок.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, выводы в основном верны, но допущена одна неточность в обозначениях, чертеже или оформлении обоснования.
- «3» — распознана хотя бы одна конфигурация с сонаправленными сторонами и получен верный ответ в базовой задаче, однако допущены ошибки в установлении соответствия или объяснении признака.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют сонаправленными лучами? | Проверка осознания ключевого определения и различения параллельности и направления. |
Какие две пары сторон нужно сопоставить при сравнении углов? | Выявление понимания слова «соответственно» в формулировке признака. |
Как доказать равенство углов, если их стороны соответственно сонаправлены? | Проверка освоения алгоритма доказательства и математической аргументации. |
Что было самым трудным: построение чертежа, определение направления или запись доказательства? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что углы с соответственно сонаправленными сторонами равны, и обосновали это не измерением, а свойствами параллельных направлений. Типичная ошибка — увидеть параллельность прямых и сразу сделать вывод о равенстве углов, не проверив направление лучей. Поэтому в каждой задаче сначала отмечайте соответствующие стороны стрелками. На следующем уроке мы сравним этот случай с углами, стороны которых направлены противоположно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на распознавание углов с соответственно сонаправленными сторонами: в двух задачах доказать равенство углов, в одной найти величину угла по известной величине другого, в одной указать, почему признак неприменим. | Закрепляет определение и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на соответствие обеих пар лучей и наличие полного обоснования. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задачи с чертежами, где встречаются сонаправленные и противоположно направленные лучи; для каждой конфигурации составить вывод о равенстве или дополнительности углов. | Развивает анализ чертежа и умение различать близкие случаи; проверять правильность направления стрелок и использование свойств смежных углов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу с двумя углами, стороны которых соответственно сонаправлены, включив числовые данные и краткое доказательство признака. | Формирует умение создавать математическую модель и самостоятельно выбирать данные; оценивать корректность условия, чертежа и логики доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие условия должны выполняться для применения признака?», «Почему одной параллельности соответствующих прямых недостаточно?», «Какую величину будет иметь второй угол, если первый равен $73^\circ$ и стороны углов соответственно сонаправлены?»
