Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Скрещивающиеся прямые и основы построения сечений
Цели и задачи
- Цель: Сформировать у учащихся понятие скрещивающихся прямых и научить строить простейшие сечения куба и тетраэдра на основе признака параллельности прямой и плоскости.
- Образовательная задача: Изучить признаки скрещивающихся прямых, научить классифицировать взаимное расположение прямых в пространстве.
- Развивающая задача: Развивать пространственное мышление через исследовательский метод и моделирование сечений.
- Воспитательная задача: Формировать навыки коммуникации при работе в парах и ответственности за результат общего исследования.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Навыки работы с текстом учебника и графической информацией.
- Способность планировать пути достижения целей на основе самостоятельного анализа условий.
Предметные
- Знать определение и признак скрещивающихся прямых.
- Уметь определять взаимное расположение прямых в пространстве по чертежу.
- Владеть навыком построения сечений куба плоскостью, проходящей через три точки.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом).
Регулятивные УУД
- Целеполагание, планирование, контроль в форме сличения способа действия с эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков, выдвижение гипотез и их обоснование.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заготовками кубов и тетраэдров для построения сечений (15 шт. — по одному на парту).
- Подготовить каркасные модели куба и тетраэдра из проволоки или пластика.
- Подготовить набор цветных спиц или палочек для демонстрации скрещивающихся прямых.
- Открыть учебник (Л.С. Атанасян и др., Геометрия 10-11) на странице 16.
- Настроить проектор для демонстрации 3D-моделей в программе GeoGebra.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учеников к переходу из плоскости в пространство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, десятиклассники! Мы начинаем увлекательное путешествие в мир стереометрии. В 9 классе мы знали, что прямые на плоскости либо параллельны, либо пересекаются. Но представьте, что вы — пилоты двух самолетов, летящих на разных высотах в разных направлениях. Столкнетесь ли вы, если ваши курсы на карте пересекаются? Сегодня мы узнаем, как геометрия описывает такие ситуации и как 'разрезать' пространство, чтобы увидеть скрытые фигуры." | Слушают учителя, настраиваются на работу. Отвечают на вопрос о самолетах: "Нет, не столкнемся, так как высоты разные". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно, высота вносит третье измерение. Давайте зафиксируем, какие отношения между прямыми возможны в этом новом мире."
Этап 2. Актуализация и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о параллельности и выявить новое состояние прямых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Посмотрите на каркасную модель куба. Найдите на ней ребра, которые лежат на параллельных прямых. А теперь найдите те, что пересекаются. А теперь внимание: посмотрите на ребро основания AD и боковое ребро CC1. Могут ли они пересечься? Параллельны ли они?" Учитель использует приём 'Проблемный вопрос'. | Работают с моделью куба. Отвечают: "AD и CC1 не пересекаются, так как лежат в разных плоскостях, но и не параллельны, так как имеют разные направления". Ученики осознают затруднение: старых терминов недостаточно. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Такие прямые называются скрещивающимися. Тема нашего урока: 'Взаимное расположение прямых. Построение сечений'. Запишем в тетради."
Этап 3. Исследование и открытие нового знания (12 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать определение скрещивающихся прямых и изучить их признак через исследовательский метод.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Откройте учебник на странице 16. Найдите определение скрещивающихся прямых. Давайте проведем эксперимент. Возьмите две ручки. Расположите их так, чтобы одна лежала на столе, а другая пересекала плоскость стола в точке, не лежащей на первой ручке. Что вы можете сказать об этих прямых?" Учитель направляет: "Это и есть признак скрещивающихся прямых. Запишем его." | Читают определение в учебнике. В парах моделируют ситуацию с ручками. Формулируют признак: "Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся". |
5 мин | "Теперь перейдем к сечениям. Сечение — это плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью. Представьте, что мы разрезаем куб натянутой струной через три заданные точки. Как нам провести линии разреза на гранях?" Учитель демонстрирует на доске первый шаг: соединение точек в одной плоскости. | Слушают объяснение, зарисовывают в тетрадь схематичный куб и три точки на его ребрах. |
Запись в тетрадях
- Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
- Признак: a ⊂ α, b ∩ α = M, M ∉ a ⇒ a и b — скрещивающиеся.
- Правило сечений: соединять можно только точки, лежащие в одной плоскости (грани).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли основной закон скрещивающихся прямых. Теперь применим его в творческом задании 'Архитектор сечений'."
Этап 4. Практика в парах: Творческое задание (10 мин)
Цель этапа: отработать навык построения сечений и идентификации прямых в игровой форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | "Работаем в парах. У вас на столах рабочие листы. Задание 1: В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите все ребра, скрещивающиеся с ребром AB. Задание 2 (Творческое): Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины. Какая фигура получилась? У кого получится самый аккуратный чертеж, тот получит звание 'Главный архитектор'." | Обсуждают в парах. Выписывают скрещивающиеся ребра: CC1, DD1, B1C1, A1D1. Выполняют построение сечения на рабочих листах. Обнаруживают, что получается правильный треугольник. |
Эталон решения
Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$: скрещивающиеся с $AB$ — это прямые $CC_1$, $DD_1$, $B_1C_1$, $A_1D_1$, $B_1C$, $A_1D$ и др. Сечение через середины ребер $AB, AD, AA_1$ — это треугольник $MNK$, где $M, N, K$ — середины соответствующих ребер. Все стороны треугольника равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, где $a$ — ребро куба.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу отличные треугольники! Но что если точки лежат на параллельных гранях? Помните: линии пересечения плоскости с параллельными гранями параллельны."
Этап 5. Дифференцированное закрепление (10 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | "Теперь каждый выбирает себе задачу по силам. Уровень 'Базовый': №34 из учебника (найти углы между прямыми). Уровень 'Профи': №48 (построить сечение тетраэдра). Я буду подходить и помогать тем, кто выбрал сложный путь. Используйте цветные карандаши для выделения плоскости сечения." | Самостоятельно выбирают уровень. Решают задачи. Те, кто выбрал 'Профи', пытаются применить метод следов для тетраэдра. Взаимопроверка в парах по окончании времени. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Геометрия — это искусство видеть невидимое. Мы научились находить скрещивающиеся линии и проводить разрезы."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей учебной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте заполним 'Билет на выход'. Напишите на листочке одну вещь, которая была сегодня самой трудной, и одну, которая больше всего удивила. Также запишите домашнее задание. Спасибо за работу!" | Заполняют рефлексивные карточки. Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно указаны все 4 пары скрещивающихся ребер куба, сечение построено точно, линии в невидимых гранях пунктирные, дано краткое обоснование.
- "4" — Верно указаны скрещивающиеся прямые, сечение построено верно, но есть ошибки в оформлении (не использован пунктир для невидимых линий).
- "3" — Допущены ошибки в определении скрещивающихся прямых, сечение начато, но не завершено или содержит грубые нарушения логики (соединены точки в разных плоскостях).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных? | Проверка усвоения ключевого понятия урока. |
Какое правило построения сечений вы запомнили лучше всего? | Осознание алгоритма практического действия. |
Где в реальной жизни вы видели скрещивающиеся прямые? | Связь теории с практикой и функциональная грамотность. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг — научились видеть структуру пространства. Скрещивающиеся прямые — это основа проектирования дорожных развязок и сложных архитектурных форм. На следующем уроке мы углубимся в свойства параллельных плоскостей и узнаем, почему потолок и пол в вашем доме никогда не встретятся. Вы сегодня отлично поработали в группах, особенно отмечу команду 'Архитекторов' с третьего ряда!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 7-9, №36, №39 | Выучить определения, решить задачи на распознавание взаимного расположения прямых. |
Средний (повышающий) | №45, №47 | Построение сечений куба плоскостью, проходящей через три точки на ребрах. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект | Создать модель тетраэдра из спагетти и пластилина и 'разрезать' его нитью, сфотографировав полученные сечения. |
Контрольный вопрос: Может ли прямая быть параллельна плоскости, если она скрещивается с прямой, лежащей в этой плоскости?
