Многогранники: Призма. Понятие, виды и свойства
Цели и задачи
- Цель урока: через исследование моделей и решение учебных задач самостоятельно вывести определение призмы, выявить её элементы и свойства, научиться различать виды призм и применять формулы площадей.
- План урока: 1) определить общие признаки призмы; 2) сформулировать определение и назвать элементы; 3) вывести различия между прямой, наклонной и правильной призмами; 4) вывести и применить формулы площадей; 5) проверить понимание и оценить результат.
- Предметные результаты: учащиеся формулируют определение призмы, называют её элементы, различают виды призм и решают задачи на площадь поверхности.
- Метапредметные результаты: учащиеся выдвигают гипотезы, планируют исследование, аргументируют выводы, работают в группе и осуществляют самопроверку.
- Личностные результаты: учащиеся осознают практическую значимость геометрических моделей, проявляют самостоятельность и ответственность за результат.
- Критерии достижения цели: могу объяснить, почему фигура является призмой; назвать её элементы и вид; выбрать формулу и обосновать решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учетом важности геометрии в инженерных и архитектурных профессиях.
- Развитие эстетического сознания через освоение художественного наследия (архитектурные формы призм).
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать аналогии и строить логические рассуждения.
- Регулятивные: способность самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Коммуникативные: умение работать в паре и группе, эффективно сотрудничать для поиска решения проблемной задачи.
Предметные
- Знать определение призмы, её элементов (вершины, ребра, грани, диагонали).
- Уметь различать прямую, наклонную и правильную призмы.
- Владеть навыком вычисления площади боковой и полной поверхности призмы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и её мотивом — подготовка к ЕГЭ и будущей профессии).
Регулятивные УУД
- Целеполагание, планирование, самоконтроль и коррекция действий при решении стереометрических задач.
Познавательные УУД
- Моделирование пространственных фигур, анализ свойств геометрических тел, поиск информации в учебнике и цифровых ресурсах.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, аргументировать свою точку зрения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить набор моделей призм (деревянные или пластиковые: треугольная, четырехугольная, шестиугольная).
- Распечатать рабочие листы для групповой работы (4 варианта по количеству групп).
- Подготовить презентацию с 3D-моделями призм (использование GeoGebra или аналогичного ПО).
- Распечатать карточки для рефлексии «Светофор».
- Проверить работу проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Организация начала урока (1 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к усвоению нового материала, создать проблемную ситуацию.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
1 мин | Создаёт ситуацию удивления: показывает изображения предметов призматической формы и просит найти общий признак, не называя тему. | Наблюдают, сравнивают объекты, выдвигают предположения и объясняют, что именно в них повторяется. |
2 мин | Задаёт вопросы: «Что объединяет эти объекты? Какую геометрическую фигуру они напоминают? Что нам нужно выяснить?» Фиксирует гипотезы и помогает сформулировать тему. | Формулируют тему урока, предлагают вопросы исследования и совместно определяют цель: вывести признаки, элементы, виды и свойства призмы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, план намечен. Чтобы понять новое, нужно опереться на то, что мы уже знаем о многогранниках в целом."
Этап 2. Проверка домашнего задания (1 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия стереометрии, необходимые для изучения призмы.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
2 мин | Предлагает восстановить понятия «многогранник», «грань», «ребро», «вершина» через приём «Продолжи определение», не исправляя ответы сразу. | Вспоминают определения, приводят примеры, выявляют неточности и формулируют, каких знаний не хватает для описания призмы. |
3 мин | Показывает модели многогранников и организует подсчёт элементов. Просит предположить зависимость числа элементов от числа сторон основания. | Исследуют модели, считают вершины, рёбра и грани, выдвигают гипотезу о закономерностях и обосновывают её. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы освежили память. Теперь переходим к 'открытию' главного героя нашего урока."
Этап 3. Подготовка учащихся к основному этапу урока (5 мин)
Цель этапа: через работу с учебником и моделями самостоятельно вывести определение и свойства призмы.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
2 мин | Объединяет учащихся в группы, раздаёт модели и маршрутные листы, предлагает распределить роли и сформулировать последовательность исследования. | Распределяют роли, планируют работу, формулируют, какие признаки будут проверять. |
6 мин | Задаёт вопросы-ориентиры: «Что общего у оснований? Как расположены боковые рёбра? Какие фигуры образуют боковые грани?» Не сообщает готового определения. | Рассматривают модели, сравнивают основания и грани, фиксируют наблюдения, формулируют гипотезу и проверяют её на разных призмах. |
2 мин | Организует защиту групп, сопоставляет выводы и помогает уточнить математические формулировки. | Представляют результаты, задают вопросы другим группам и совместно формулируют определение призмы и зависимости: $2n$ вершин, $3n$ рёбер, $n+2$ граней. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Определение: Призма — это многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
- Элементы: основания, боковые грани, боковые ребра, высота, диагональ призмы.
- Виды: Прямая (боковые ребра перпендикулярны основаниям), Наклонная, Правильная (прямая призма, в основании которой правильный многоугольник).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с ролью исследователей. Теперь проверим, как эти знания помогут нам в решении задач."
Этап 4. Усвоение новых знаний и способов действий (15 мин)
Цель этапа: отработка навыка различения видов призм и применение формул площади.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
3 мин | Предлагает по изображениям составить критерии различения прямой, наклонной и правильной призм, направляя обсуждение вопросами. | Сравнивают модели, выделяют положение боковых рёбер и свойства основания, составляют таблицу признаков и формулируют вывод. |
5 мин | Создаёт проблемную задачу на нахождение площади поверхности, предлагает выбрать известные величины и вывести способ решения. Затем организует проверку вывода. | Анализируют условие, предлагают формулу площади боковой поверхности, обосновывают её через развёртку и применяют к задаче, объясняя каждый шаг. |
Эталон решения
\( P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 \text{ (см)} \)
\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20 \cdot 10 = 200 \text{ (см}^2) \)
\( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 200 + 2 \cdot (5^2) = 200 + 50 = 250 \text{ (см}^2) \)
\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20 \cdot 10 = 200 \text{ (см}^2) \)
\( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 200 + 2 \cdot (5^2) = 200 + 50 = 250 \text{ (см}^2) \)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что формулы не вызвали затруднений. Перейдем к самостоятельной проверке сил."
Этап 5. Закрепление знаний и способов действий (7 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения материала на разных уровнях сложности.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
1 мин | Предлагает выбрать уровень задания по собственной оценке готовности и напоминает критерии успешного выполнения. | Определяют личную цель, выбирают уровень, планируют порядок действий и называют формулу, которую предполагают использовать. |
5 мин | Организует самостоятельную работу, наблюдает, задаёт вопросы «Что известно? Что требуется? Почему подходит эта формула?», не сообщая решение. | Самостоятельно строят модель, записывают условие, выбирают и обосновывают формулу, выполняют вычисления, проверяют единицы измерения. |
1 мин | Организует взаимопроверку по критериям и просит сформулировать рекомендацию автору решения. | Сверяют решения, находят ошибки, объясняют их причину, исправляют работу и оценивают достижение своей цели. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки — это точки роста. Мы разберем их на следующем уроке, когда перейдем к более сложным сечениям."
Этап 6. Контроль и самопроверка знаний (5 мин)
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
2 мин | Предлагает индивидуально подписать элементы призмы на рисунке и объяснить выбор её вида, используя сформулированные классом признаки. | Выполняют задание без подсказки, называют основания, боковые грани, высоту и диагональ, аргументируют ответ. |
2 мин | Даёт короткую задачу на число элементов или площадь и предлагает сначала составить алгоритм решения, затем свериться с критериями. | Составляют алгоритм, решают задачу, проводят самопроверку, отмечают верные действия и место затруднения. |
1 мин | Собирает сигналы готовности и предлагает записать один вывод и один вопрос для дальнейшей работы. | Оценивают уверенность, формулируют личный результат и фиксируют вопрос или шаг для устранения затруднения. |
Этап 7. Подведение итогов. Рефлексия (2 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка эмоционального состояния и постановка задач на дом.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
1 мин | Возвращает класс к исходным гипотезам и просит доказать или опровергнуть их с опорой на результаты исследования. | Формулируют определение призмы и называют свойства, связывая выводы с выполненными действиями. |
1 мин | Предлагает сравнить прямую и правильную призмы и объяснить, почему эти понятия нельзя считать синонимами. | Самостоятельно формулируют различие, приводят пример и аргументируют ответ. |
2 мин | Проводит рефлексию «Светофор» по критериям цели: понял определение, умею различать виды, применяю формулы. Просит назвать следующий шаг. | Оценивают результат, выбирают цвет, объясняют затруднение и формулируют план дальнейшего действия. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно выполнены все задания выбранного уровня (среднего или повышенного), решение логично, чертежи аккуратны.
- "4" — Выполнен базовый или средний уровень с незначительными вычислительными ошибками, или не закончено задание повышенного уровня.
- "3" — Выполнен только базовый уровень, допущены ошибки в определении элементов призмы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство призмы показалось самым неочевидным? | Выявление глубины понимания теоретического материала. |
В какой момент работы в группе ты чувствовал себя наиболее полезным? | Оценка коммуникативных навыков и вклада в командную работу. |
Где в твоей будущей профессии может пригодиться знание многогранников? | Усиление личной мотивации и профориентация. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы проделали большую работу: от визуального образа до строгих математических формул. Призма — это не просто параграф в учебнике Атанасяна, это основа для понимания объемов и площадей более сложных тел, с которыми вы столкнетесь в ЕГЭ и в жизни. На следующем уроке мы научимся строить сечения призм — это потребует от вас максимума воображения. Спасибо за урок!"
Этап 8. Информация о домашнем задании (4 мин)
Домашнее задание
Уровень | Содержание задания | Результат |
|---|---|---|
Базовый | Выучить определения и решить задачи на нахождение числа вершин, рёбер и граней у 8-угольной и 12-угольной призм. | Закрепить определения и зависимости между числом сторон основания и элементами призмы. |
Средний | Решить две задачи на площадь полной поверхности правильных треугольной и шестиугольной призм по заданным стороне основания и высоте. | Отработать выбор формулы и последовательность вычислений. |
Продвинутый | Найти или сфотографировать объект призматической формы, выполнить схематичный чертёж и составить задачу на вычисление площади его боковой поверхности. | Применить знания к реальному объекту и объяснить математическую модель. |
Контрольные вопросы: 1. Может ли боковая грань призмы быть трапецией? 2. Сколько диагоналей у треугольной призмы? 3. Чем отличается высота прямой призмы от её бокового ребра?
