Параллельность трёх прямых. Параллельность прямой и плоскости
Цели и задачи
- Цель: Сформировать систему знаний о признаках параллельности прямых и плоскостей в пространстве, научить применять теоремы при решении стереометрических задач.
- Образовательная задача: Доказать лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми и теорему о параллельности трёх прямых.
- Развивающая задача: Развивать пространственное мышление и навыки логического обоснования при переходе от планиметрических свойств к стереометрическим.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и графическую грамотность при выполнении чертежей.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору профиля обучения, понимание роли геометрии в инженерных и архитектурных профессиях.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение создавать и преобразовывать модели и схемы для решения стереометрических задач.
- Способность устанавливать причинно-следственные связи при доказательстве теорем методом от противного.
Предметные
- Знать формулировки леммы о пересечении плоскости параллельными прямыми и признака параллельности прямой и плоскости.
- Уметь классифицировать взаимное расположение прямой и плоскости.
- Владеть навыком решения задач на нахождение периметров и длин отрезков с использованием свойств параллельности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование навыков самоанализа при выполнении самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно планировать пути достижения целей на основе предложенного алгоритма решения задач.
Познавательные УУД
- Синтез знаний — использование планиметрических свойств (средняя линия, подобие) в пространственных фигурах.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию при обсуждении доказательства теоремы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить чертежи к задачам №17 и №18 из файла для вывода на экран.
- Распечатать карточки с задачей №27 для работы в группах (10 шт.).
- Подготовить стереометрические модели (каркас куба, спицы) для демонстрации параллельности прямых.
- Проверить работу проектора для демонстрации доказательства теоремы (рис. 14).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и актуализация (10 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, повторить базовые понятия параллельности из планиметрии и аксиомы стереометрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, десятиклассники! Сегодня у нас сдвоенный урок, посвященный фундаментальным свойствам параллельности в пространстве. Проверьте наличие учебников и тетрадей. Начнем с разминки.» | Приветствуют учителя, проверяют готовность мест. |
8 мин | «Вспомните планиметрию: если две прямые на плоскости параллельны третьей, что можно о них сказать? А теперь посмотрите на каркас куба. Найдите ребра, которые параллельны друг другу, но не лежат в одной грани. Как вы думаете, сохраняется ли свойство транзитивности в пространстве?» Учитель рисует на доске рис. 12 из файла, вводя понятия параллельных отрезков и лучей. | Отвечают: «Они параллельны между собой». Анализируют модель куба, предполагают, что свойство сохраняется. Записывают определение параллельных отрезков: «Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что интуитивно свойства плоскости переносятся в пространство, но в стереометрии нам нужны строгие доказательства. Переходим к лемме.»
Этап 2. Изучение нового материала: Лемма и Теорема (20 мин)
Цель этапа: доказать лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми и теорему о трех параллельных прямых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Рассмотрим лемму со страницы 1 нашего материала. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает её. Давайте разберем доказательство по рис. 13.» Учитель пошагово воспроизводит доказательство, акцентируя внимание на использовании аксиомы А3. | Следят за логикой доказательства в учебнике, делают чертеж рис. 13 (а, б) в тетрадь. Записывают ключевой вывод: существование точки N как пересечения прямой b с линией пересечения плоскостей p. |
10 мин | «Теперь главная теорема: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Посмотрите на рис. 14. Здесь используется метод от противного. Если b не лежит в альфа, то она пересекает её, тогда и c пересекает альфа... Почему это приводит к противоречию?» | Анализируют текст доказательства на стр. 2. Отвечают: «Потому что тогда через одну точку K пройдут две прямые, параллельные прямой c, что невозможно по теореме о параллельных прямых». Записывают формулировку теоремы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Теорема: a || c, b || c => a || b.
Лемма: (a || b, a ∩ α = M) => b ∩ α = N.
Лемма: (a || b, a ∩ α = M) => b ∩ α = N.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть инструмент для доказательства параллельности прямых, не лежащих в одной плоскости. Сделаем перерыв перед практикой.»
Этап 3. Решение задач (Первая часть) (10 мин)
Цель этапа: отработка навыков применения леммы и теоремы на конкретных числовых данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Решим задачу №17 со страницы 4. У нас есть тетраэдр ABCD. Точки M, N, Q, P — середины ребер. Нам даны AD = 12 см, BC = 14 см. Найдите периметр MNQP. Подсказка: рассмотрите треугольники ABD и BDC.» | Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Ученик доказывает, что MN — средняя линия треугольника BDC, значит MN || BC и MN = 7 см. Аналогично PQ = 7 см, MQ = PN = 6 см. P = 7+7+6+6 = 26 см. |
Эталон решения
1) В ΔDBC: MN — ср. линия => MN = 1/2 BC = 7 см.
2) В ΔABC: PQ — ср. линия => PQ = 1/2 BC = 7 см.
3) В ΔABD: MP — ср. линия => MP = 1/2 AD = 6 см.
4) В ΔADC: NQ — ср. линия => NQ = 1/2 AD = 6 см.
P = 2 * (7 + 6) = 26 см.
2) В ΔABC: PQ — ср. линия => PQ = 1/2 BC = 7 см.
3) В ΔABD: MP — ср. линия => MP = 1/2 AD = 6 см.
4) В ΔADC: NQ — ср. линия => NQ = 1/2 AD = 6 см.
P = 2 * (7 + 6) = 26 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, мы использовали планиметрическое свойство средней линии в пространственной задаче. Объявляется перемена 10 минут.»
Этап 4. Взаимное расположение прямой и плоскости (15 мин)
Цель этапа: ввести определение параллельности прямой и плоскости и доказать признак параллельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Возвращаемся к работе. На странице 2 нашего файла указаны три случая расположения прямой и плоскости. Перечислите их, глядя на рисунки.» | Отвечают: «Прямая лежит в плоскости, пересекает её или не имеет общих точек». Записывают определение: «Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек». |
10 мин | «Как доказать, что прямая параллельна плоскости, не проверяя бесконечное количество точек? Читаем теорему на стр. 3. Если прямая параллельна какой-нибудь прямой в плоскости, то она параллельна самой плоскости. Давайте разберем доказательство методом от противного.» | Изучают рис. 15(б). Записывают условие: a ⊄ α, b ⊂ α, a || b => a || α. Понимают, что если бы a пересекала α, то по лемме и b пересекала бы α, что невозможно. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Этот признак — наш главный инструмент. Запомните: чтобы доказать параллельность прямой плоскости, нужно найти в этой плоскости "друга" — параллельную прямую.»
Этап 5. Практикум и решение сложных задач (25 мин)
Цель этапа: закрепление признака параллельности при решении задач из источника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Разберем задачу №22 (стр. 5). Точки A и B лежат в плоскости, C — нет. Докажите, что линия, соединяющая середины AC и BC, параллельна плоскости. Кто готов объяснить?» | Ученик объясняет: «Пусть M и N — середины AC и BC. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC. Значит, MN || AB. Так как AB лежит в плоскости, а MN — нет, то по признаку MN параллельна плоскости». Остальные фиксируют решение. |
15 мин | «Работаем в парах над задачей №27 (стр. 5). Дано: AB:BC = 4:3, CD = 12 см, CD || α. Точка B лежит в α. Нужно доказать, что AD пересекает плоскость в точке E и найти BE. Используйте подобие треугольников.» | Обсуждают в парах. Выполняют чертеж: прямая AD и точка B задают плоскость, которая пересекает α по прямой BE. Треугольники ABE и ACD подобны. Вычисляют отношение: AB/AC = BE/CD. AB = 4x, BC = 3x => AC = AB + BC = 7x. BE = (4/7) * 12 = 48/7 ≈ 6.8 см. |
Эталон решения задачи №27
1) Так как CD || α, то плоскость (ABD) пересекает α по прямой BE || CD.
2) ΔABE ~ ΔACD по двум углам (∠A — общий, ∠ABE = ∠ACD как соответственные).
3) AB/AC = BE/CD.
4) AC = AB + BC. Так как AB:BC = 4:3, то AB = 4k, BC = 3k, AC = 7k.
5) 4k / 7k = BE / 12 => BE = (4 * 12) / 7 = 48/7 см.
2) ΔABE ~ ΔACD по двум углам (∠A — общий, ∠ABE = ∠ACD как соответственные).
3) AB/AC = BE/CD.
4) AC = AB + BC. Так как AB:BC = 4:3, то AB = 4k, BC = 3k, AC = 7k.
5) 4k / 7k = BE / 12 => BE = (4 * 12) / 7 = 48/7 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы справились с комбинированной задачей, где встретились параллельность и подобие. Это типичный уровень задач ЕГЭ.»
Этап 6. Рефлексия и подведение итогов (10 мин)
Цель этапа: систематизация знаний, полученных за два урока, и самооценка деятельности.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем заключается основное отличие доказательства параллельности в пространстве от плоскости? | Проверка осознания необходимости обоснования принадлежности прямых одной плоскости. |
Какую роль играет лемма о пересечении плоскости в доказательстве признака параллельности прямой и плоскости? | Выявление понимания логических связей между теоремами курса. |
Какая задача сегодня вызвала наибольшее затруднение и почему? | Рефлексия собственных дефицитов (вычисления, чертеж или логика). |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Ученик верно решил задачи №17 и №27, привел полные обоснования со ссылками на теоремы, чертежи соответствуют условию.
- «4» — Решены обе задачи, но допущены незначительные ошибки в вычислениях или отсутствует ссылка на один из признаков.
- «3» — Верно решена только задача №17 на среднюю линию, в задаче №27 неверно составлено отношение подобия.
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы проделали большую работу: от строгих доказательств лемм до решения практических задач. Мы убедились, что пространство живет по своим законам, но опирается на знакомую нам планиметрию. На следующем уроке мы познакомимся со скрещивающимися прямыми — объектами, которых на плоскости просто не существует. Спасибо за активную работу!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Выучить доказательство теоремы о параллельности трех прямых (стр. 2) и решить задачу №18 (а, б) из файла. | Закрепление алгоритма работы с параллельными прямыми и плоскостями. |
Средний | Решить задачи №23 и №24 (стр. 5). Доказать параллельность прямых плоскостям в трапеции и прямоугольнике. | Отработка признака параллельности на различных геометрических фигурах. |
Продвинутый | Решить задачу №28 (найти BC через DE и отношение сторон) и №32 (доказательство параллельности через вспомогательную прямую). | Подготовка к сложным задачам второй части профильного ЕГЭ по математике. |
Контрольный вопрос: может ли прямая, параллельная одной из двух пересекающихся плоскостей, быть параллельна линии их пересечения?
