Многогранники: Призма и Пирамида
Цели и задачи
- Цель: Сформировать систему знаний о видах многогранников (призма, пирамида) и их свойствах, научить вычислять площадь их боковой поверхности на основе материалов учебника Л. А. Латотина.
- Образовательная задача: Изучить определения выпуклого многогранника, прямой и правильной призмы, правильной пирамиды, апофемы.
- Развивающая задача: Развивать пространственное мышление через «чтение» чертежей и построение плоских изображений пространственных тел.
- Воспитательная задача: Показать практическую значимость геометрии в архитектуре и строительстве, способствуя профессиональному самоопределению десятиклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению в контексте подготовки к будущей профессиональной деятельности.
- Развитие логического мышления и способности критически оценивать корректность геометрических рассуждений.
- Осознание эстетической ценности геометрических форм в окружающем мире.
Метапредметные
- Умение анализировать текстовую и графическую информацию учебника, выделять главное.
- Способность устанавливать причинно-следственные связи при выводе формул.
- Навыки совместной деятельности в парах при решении исследовательских задач.
Предметные
- Знать определения: многогранник, призма (прямая, правильная), параллелепипед, куб, пирамида, апофема.
- Уметь различать выпуклые и невыпуклые многогранники по чертежам.
- Владеть формулами площади боковой поверхности прямой призмы и правильной пирамиды.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между изучением стереометрии и реальными инженерными расчетами.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно (планиметрия), и того, что еще неизвестно (стереометрия).
- Самоконтроль и коррекция при выполнении практических заданий по эталону.
Познавательные УУД
- Моделирование: перевод пространственного образа в графическое изображение с соблюдением правил штриховки невидимых линий.
- Логические: классификация многогранников по заданным признакам.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации в паре.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модели многогранников: треугольная призма, куб, прямоугольный параллелепипед, четырехугольная пирамида.
- Распечатать карточки для парной работы с изображениями из учебника (Рис. 31-42) — 15 комплектов.
- Проверить работоспособность проектора для демонстрации Рис. 6-10 из учебника.
- Подготовить на доске таблицу KWL (Знаю — Хочу узнать — Узнал).
- Выписать на доску ключевые термины: грань, ребро, вершина, диагональ, апофема.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и обозначить практическую значимость новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, десятиклассники! Сегодня мы начинаем увлекательное путешествие в мир стереометрии. Как сказано в предисловии нашего учебника, попытка решать реальные проблемы без геометрии — это попытка сделать невозможное. Вспомните величественные египетские пирамиды. Древние строители обладали колоссальными знаниями, чтобы возвести такие объекты с точностью до миллиметра. Мы сегодня тоже станем немного архитекторами. Скажите, какие геометрические тела вы уже встречали в жизни?" | Слушают учителя, настраиваются на работу. Отвечают на вопрос, приводя примеры: здания-параллелепипеды, крыши-пирамиды, детали механизмов. Вспоминают материал 9 класса о пространственных телах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Действительно, нас окружают не плоские фигуры, а тела. Сегодня наша задача — научиться 'читать' их изображения и понимать их внутреннее устройство."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия планиметрии и зафиксировать границу между известным и неизвестным.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Откройте учебник на странице 6. Посмотрите на рисунки 1–5. Мы видим знакомые нам тела. Но чем они отличаются от треугольника или квадрата? Давайте вспомним определение: какие фигуры называются плоскими, а какие — пространственными? Используйте текст параграфа 1, пункт А." | Работают с учебником. Отвечают: "Плоские фигуры — все точки принадлежат одной плоскости. Пространственные — не все точки принадлежат одной плоскости". |
3 мин | "Теперь посмотрите на рисунок 6. Почему некоторые линии сплошные, а некоторые — штриховые? Это важное правило стереометрии. Попробуйте сформулировать, как мы изображаем невидимые части фигур. И посмотрите на Рис. 8: что такое диагональ многогранника? Чем она отличается от диагонали многоугольника?" | Анализируют чертежи. Формулируют: "Невидимые линии делаем штриховыми". Дают определение диагонали многогранника: "Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили основы. Теперь перейдем к классификации главных героев нашего урока — призм и пирамид."
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (10 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: через исследовательскую деятельность в парах изучить виды призм и пирамид.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем в парах. Используя текст на страницах 7-8, составьте в тетрадях сравнительную таблицу или кластер 'Виды призм'. Укажите, чем прямая призма отличается от наклонной, и какая призма называется правильной. Особое внимание уделите параллелепипеду и кубу. У вас 5 минут." | В парах изучают текст Б) на стр. 7. Записывают: призма (прямая/наклонная), правильная призма (прямая + правильный многоугольник в основании). Рисуют схему переходов: Параллелепипед → Прямоугольный параллелепипед → Куб. |
5 мин | "Теперь обратимся к пирамидам (пункт В, стр. 8). Найдите определение правильной пирамиды. Что такое апофема? Обратите внимание на рисунок 18. Давайте вместе обсудим теорему 1: почему боковые грани правильной пирамиды равны?" | Читают определение правильной пирамиды. Находят термин 'апофема' (высота боковой грани). Устно доказывают равенство граней, опираясь на равенство треугольников (по трем сторонам). |
Запись в тетрадях
- Призма правильная = прямая + правильный многоугольник в основании.
- Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.
- Параллелепипед — призма, основания которой — параллелограммы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы разобрались с теорией. Теперь пора научиться считать. Как определить площадь поверхности этих тел?"
Этап 4. Реализация проекта (10 мин)
Цель этапа: вывод формул площади боковой поверхности и разбор типовых задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Посмотрите на Теорему 2 на странице 9. Она гласит: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. Давайте запишем формулу: $S_{бок} = p \cdot a$. А теперь посмотрите на задачу 1 на стр. 15. Как найти боковую поверхность прямой призмы? Сформулируйте правило самостоятельно." | Записывают формулу для пирамиды. Анализируют задачу 1 и выводят формулу для призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $h$ — боковое ребро. |
6 мин | "Разберем задачу 3 со страницы 12. Условие: апофема $SH = 30$ см, высота $SO = 24$ см. Нам нужно найти боковую поверхность. С чего начнем? Правильно, с прямоугольного треугольника $SOH$. Один ученик идет к доске." | Один ученик решает у доски, остальные в тетрадях. Находят $OH$ по теореме Пифагора, затем сторону основания $AB = 2 \cdot OH$, периметр и, наконец, площадь. |
Эталон решения (Задача 3)
1) Из $\triangle SOH$ ($\angle O=90^\circ$): $OH = \sqrt{SH^2 - SO^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = 18$ (см).
2) $AB = 2 \cdot OH = 36$ (см), так как $O$ — центр квадрата.
3) $P = 4 \cdot 36 = 144$ (см).
4) $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 30 = 2160$ (см$^2$).
2) $AB = 2 \cdot OH = 36$ (см), так как $O$ — центр квадрата.
3) $P = 4 \cdot 36 = 144$ (см).
4) $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 30 = 2160$ (см$^2$).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы — это наши инструменты. Теперь немного отдохнем, чтобы глаза и ум были острыми."
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять зрительное напряжение и физическую усталость.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Ребята, встаньте, пожалуйста. Мы работали с чертежами, глаза устали. Давайте проведем 'геометрическую зарядку'. Представьте перед собой куб. Обведите его контуры глазами: вверх, вправо, вниз, влево. Теперь нарисуйте носом в воздухе пирамиду. Потянитесь вверх, как будто вы — очень высокая призма. Сбросьте напряжение с рук." | Выполняют упражнения для глаз, разминают шею и плечевой пояс, следуя инструкциям учителя. |
Этап 6. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработка навыка распознавания многогранников и решения простых задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Снова работаем в парах. Откройте страницу 15. Задание №2: определите, является ли многогранником тело на рисунках 37–42. Обсудите и обоснуйте ответ. После этого выполните задачу №6: сторона основания правильной треугольной призмы 6 см, боковое ребро 11 см. Найдите $S_{бок}$ и $S_{полн}$." | Обсуждают рисунки (например, Рис. 39 не многогранник, так как имеет кривую поверхность). Решают задачу №6: $S_{бок} = 3 \cdot 6 \cdot 11 = 198$ см$^2$. $S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$. $S_{полн} = 198 + 18\sqrt{3}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Молодцы, вы хорошо справляетесь с анализом фигур. Теперь проверим, как каждый из вас усвоил материал индивидуально."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения ключевых понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "На экранах (или карточках) — блиц-тест. 1) Сколько вершин у шестиугольной призмы? 2) Верно ли, что у куба все диагонали равны? 3) Найдите $S_{бок}$ правильной 4-угольной пирамиды, если $p=20$, $a=5$. Выполняйте самостоятельно, затем сверим с эталоном." | Выполняют задания. 1) 12 вершин. 2) Да. 3) $S_{бок} = 20 \cdot 5 = 100$. Сверяют свои ответы с ответами на доске, ставят себе '+' или '-'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Если у вас 3 плюса — вы отлично поняли тему. Если есть ошибки — не беда, дома будет возможность закрепить."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка деятельности и объяснение ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Мы сегодня работали как настоящие стереометристы. Вспомните нашу таблицу KWL. Что мы запишем в колонку 'Узнал'? Поднимите руки те, кто теперь сможет отличить апофему от высоты пирамиды? Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное — выберите свой уровень." | Заполняют устно колонку 'Узнал'. Отвечают на вопросы рефлексии. Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Ученик верно классифицировал все предложенные тела, правильно вывел и применил формулы $S_{бок}$ для призмы и пирамиды, решение задачи №6 выполнено без ошибок с пояснениями.
- "4" — Ученик допустил одну негрубую ошибку в вычислениях или в обосновании вида многогранника, но владеет основными определениями и формулами.
- "3" — Ученик распознает основные многогранники, знает формулы, но затрудняется в их самостоятельном применении без помощи учителя или учебника.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое определение сегодня было самым сложным для понимания? | Выявление понятийного аппарата, требующего дополнительного разъяснения. |
Сможете ли вы найти площадь поверхности коробки, имея только линейку? | Проверка осознания практического применения формулы площади поверхности призмы. |
Что помогло вам быстрее справиться с задачей в паре? | Оценка навыков коммуникации и распределения ролей. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили фундамент стереометрии, изучив многогранники. Помните, что любая сложная архитектурная форма — это комбинация простых тел, которые мы сегодня разобрали. Если вы планируете стать инженерами или дизайнерами, эти знания станут вашим ежедневным инструментом. На следующем уроке мы углубимся в свойства параллельности в пространстве. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | § 1, вопросы 1–16; задачи №7 (а, б), №11 (а). | Повторить теорию, решить задачи на прямую подстановку в формулы. |
Средний (повышающий) | Задачи №8, №12. | Задачи, требующие применения теоремы Пифагора и тригонометрии. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача №21; подготовить сообщение. | Найти количество диагоналей n-угольной призмы. Сообщение 'Геометрия в архитектуре Минска'. |
Контрольный вопрос: сколько измерений имеет прямоугольный параллелепипед и как они называются?
