Линейные неравенства и линейное программирование
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться строить на координатной плоскости область решений системы линейных неравенств с двумя переменными и находить наибольшее или наименьшее значение линейной функции в этой области в учебной задаче.
- Сформировать понимание того, что каждое линейное неравенство задаёт полуплоскость, а система неравенств — пересечение соответствующих полуплоскостей.
- Научить применять алгоритм графического решения системы линейных неравенств и проверять принадлежность точки области решений.
- Развивать умение анализировать условие задачи линейного программирования, выделять ограничения, целевую функцию и множество допустимых решений.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому моделированию практических ситуаций и готовность аргументировать выбранное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность математической модели при принятии решений с ограниченными ресурсами.
- Проявляют интерес к исследовательской задаче, связанной с планированием производства и оптимальным выбором.
- Понимают необходимость точности, проверки и аргументации при работе с математическими моделями.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору способа решения и оценке его разумности.
Метапредметные
- Извлекают математическую информацию из текстовой практической ситуации и переводят её на язык переменных, неравенств и функции.
- Планируют последовательность построения области допустимых решений и контролируют правильность каждого шага.
- Сотрудничают в паре, формулируют гипотезы, сравнивают способы рассуждения и аргументируют вывод.
- Используют координатную плоскость как модель, интерпретируют полученный результат в контексте задачи.
- Осуществляют самооценку по критериям: корректность модели, построения, выбора оптимальной точки и ответа.
Предметные
- Знать, что линейное неравенство с двумя переменными задаёт полуплоскость с границей на прямой.
- Уметь строить прямую, соответствующую граничному уравнению, и выбирать нужную полуплоскость проверкой контрольной точки.
- Уметь находить область решений системы линейных неравенств как пересечение полуплоскостей.
- Уметь составлять целевую линейную функцию по условию задачи и находить её экстремальное значение в многоугольнике допустимых решений.
- Владеть алгоритмом графического решения простейшей задачи линейного программирования и формулировать ответ с единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и осознают смысл изучения оптимизационных моделей.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске способа выбора оптимальной точки.
- Формируют ответственное отношение к выводу, отличая математически допустимое решение от практически осмысленного.
- Оценивают собственную готовность применять графический метод к новой задаче.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель деятельности: построить область допустимых решений и найти экстремум целевой функции.
- Планируют действия: построить границы, выбрать полуплоскости, определить вершины, сравнить значения функции.
- Проверяют знак неравенства с помощью контрольной точки и исправляют ошибки построения.
- Оценивают результат по заданным критериям и корректируют математическую модель при обнаружении несоответствия условию.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные в условии задачи и обозначают неизвестные величины.
- Преобразуют словесное условие в систему линейных неравенств и целевую функцию.
- Анализируют взаимное расположение прямых и определяют область пересечения полуплоскостей.
- Моделируют задачу на координатной плоскости, вычисляют значения функции в вершинах и делают обоснованный вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: аналитик условия, построитель, проверяющий и докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о выборе полуплоскости и способе нахождения вершины.
- Аргументируют решение с использованием математических терминов и формул.
- Сопоставляют разные решения без перехода на личности и формулируют общий вывод.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, графиками трёх прямых и условием практической задачи без готового ответа.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые системы неравенств, стандартная задача линейного программирования и исследовательское задание — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить миллиметровые листы или листы в клетку — по одному на ученика, цветные карандаши или маркеры — по два набора на парту.
- Вывести на доску алгоритм: построить границы; выбрать полуплоскости; найти пересечение; определить вершины; вычислить значения целевой функции; записать ответ.
- Заранее записать на доске тему урока и обозначения переменных x и y, оставив место для модели практической задачи.
- Подготовить эталон решения базовой системы и таблицу значений целевой функции для самопроверки.
- Организовать таймер на 3 и 5 минут для работы с карточками.
- Подготовить светофор самооценки или три карточки на каждого ученика: зелёную, жёлтую и красную.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, линейки, маркеры и калькуляторы по разрешению учителя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл линейных неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к учащимся: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, линейка, ручка и лист в клетку должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не только решать неравенства, но и принимать математическое решение в ситуации ограниченных ресурсов. Ваша задача — не угадать ответ, а построить модель и доказать, почему выбранный вариант лучший." | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют свободное место для темы. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: "Предприятие выпускает изделия двух видов. Для одного изделия первого вида требуется 2 часа работы станка и 1 кг материала, для изделия второго вида — 1 час работы станка и 2 кг материала. В распоряжении есть 8 часов станка и 8 кг материала. Как определить, сколько изделий каждого вида выпускать, чтобы получить максимум прибыли?" Учитель спрашивает: "Какие величины здесь неизвестны? Какие ограничения нельзя нарушать?" | Формулируют: "x — число изделий первого вида, y — число изделий второго вида"; выделяют ограничения по времени и материалу; предполагают, что нужно сравнить допустимые варианты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что практическая ситуация требует не одного равенства, а системы ограничений. Сейчас восстановим необходимые знания и выясним, как из каждого ограничения получить часть координатной плоскости."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать построение прямой по уравнению, проверку точки и вычисление значения линейной функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: 2x + y = 4 и спрашивает: "Как построить эту прямую без составления большого списка точек? Какие две точки достаточно найти?" Затем просит назвать точки пересечения с осями и напоминает: "Подставьте x = 0, затем y = 0 и аккуратно подпишите координаты." | Находят точки (0; 4) и (2; 0), строят прямую на листе и отвечают: "Для построения прямой достаточно двух различных точек." |
2 мин | Учитель показывает неравенство 2x + y ≤ 4: "Граница уже построена. Как определить, какую полуплоскость выбрать? Почему удобно проверить точку (0; 0)?" Учитель просит выполнить подстановку и объяснить результат. | Подставляют координаты начала координат: 0 ≤ 4 — верно; заштриховывают полуплоскость, содержащую точку (0; 0), или отмечают её стрелками. |
2 мин | Учитель записывает F = 3x + 2y и предлагает устно вычислить F в точках A(1; 2), B(3; 0), C(0; 4): "Какое значение нужно сравнивать, если требуется максимум? Что изменится для минимума?" | Вычисляют F(A)=7, F(B)=9, F(C)=8; формулируют: "Для максимума выбираем наибольшее значение, для минимума — наименьшее". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили три опоры: строить граничную прямую, выбирать полуплоскость проверкой точки и вычислять значение линейной функции. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний для системы ограничений."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при переходе от одного неравенства к системе и совместно сформулировать алгоритм урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает систему: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 8. Реплика: "Представьте, что каждое неравенство задаёт свою область. Как получить решения всей системы? Можно ли взять область только одного неравенства?" Учитель фиксирует на доске ответы и намеренно не подсказывает готовый алгоритм. | Обсуждают в парах 30 секунд, затем формулируют: "Нужно найти общую часть всех областей"; "Точка должна удовлетворять каждому неравенству одновременно". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Где искать максимум прибыли, если допустимых точек бесконечно много? Нужно ли проверять каждую точку? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Предлагают цели: "Научиться строить область решений системы"; "Понять, почему достаточно исследовать вершины получившегося многоугольника"; записывают тему и цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: мы умеем работать с одной границей, но должны научиться пересекать несколько полуплоскостей и искать оптимум. Построим этот способ вместе на конкретной задаче."
Этап 4. Открытие нового знания. Построение модели (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения системы линейных неравенств и связать его с задачей линейного программирования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к условию производства: "Обозначим через x число изделий первого вида, через y — число изделий второго вида. Количество изделий не может быть отрицательным, поэтому x ≥ 0 и y ≥ 0. На станок расходуется 2x + y часов, а доступно 8 часов: 2x + y ≤ 8. На материал расходуется x + 2y килограммов, а доступно 8 килограммов: x + 2y ≤ 8. Запишем систему ограничений целиком." | Записывают модель: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 8; поясняют смысл каждого неравенства. |
4 мин | Учитель демонстрирует построение: "Сначала строим прямые 2x + y = 8 и x + 2y = 8. Для первой получаем точки (0;8) и (4;0), для второй — (0;4) и (8;0). Ограничения x ≥ 0 и y ≥ 0 оставляют только первую координатную четверть. Теперь проверяем точку (0;0): она удовлетворяет обоим неравенствам, значит выбираем полуплоскости, содержащие начало координат." Учитель выделяет цветом общую область. | Строят две прямые, отмечают первую четверть, проверяют точку (0;0), заштриховывают общую область и называют её областью допустимых решений. |
3 мин | Учитель добавляет целевую функцию: "Пусть прибыль от изделия первого вида равна 3 условным единицам, от второго — 5. Тогда прибыль F = 3x + 5y. Вершины области — точки, в которых пересекаются границы. Почему именно их удобно исследовать?" Учитель подводит к выводу о линейной функции на выпуклом многоугольнике. | Находят вершины (0;0), (4;0), (0;4) и точку пересечения прямых; предполагают: "Экстремум линейной функции достигается в вершине или на стороне многоугольника." |
Запись в тетрадях
Алгоритм графического решения задачи линейного программирования: 1) ввести переменные; 2) составить систему ограничений; 3) построить граничные прямые; 4) выбрать нужные полуплоскости; 5) выделить область допустимых решений; 6) найти её вершины; 7) составить целевую функцию; 8) вычислить её значения в вершинах и интерпретировать ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили модель: система неравенств описывает допустимые планы, а целевая функция оценивает каждый план. Теперь закрепим алгоритм на небольшом задании и проговорим каждый шаг так, чтобы решение можно было проверить."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать построение области решений и определение её вершин с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Постройте область решений системы x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8. Найдите её вершины и вычислите значение F = 2x + 3y в каждой вершине. Один ученик строит, второй проверяет знаки; через 3 минуты поменяйтесь ролями." | Читают условие, распределяют роли, записывают план решения. |
4 мин | Учитель запускает таймер и консультирует вопросами: "Какие точки вы получили для прямой x + y = 6? Где пересекаются две граничные прямые? Проверили ли вы, что точка принадлежит всем ограничениям? Не забывайте о первой четверти." | Строят прямые по точкам (0;6), (6;0) и (0;8), (4;0), находят пересечение (2;4), выделяют вершины (0;0), (4;0), (2;4), (0;6), проверяют принадлежность. |
2 мин | Учитель просит две пары представить результаты: "Назовите вершины и значения функции. Остальные сверяют вычисления и показывают зелёную карточку, если согласны, жёлтую — если есть вопрос." | Вычисляют: F(0;0)=0, F(4;0)=8, F(2;4)=16, F(0;6)=18; делают вывод о максимуме F=18 в точке (0;6). |
Эталон решения
Граничные прямые: x+y=6 и 2x+y=8. Их пересечение: x+y=6, 2x+y=8; вычитая первое равенство из второго, получаем x=2, затем y=4. Вершины области: (0;0), (4;0), (2;4), (0;6). Значения F=2x+3y: F(0;0)=0; F(4;0)=8; F(2;4)=4+12=16; F(0;6)=18. Максимум равен 18 и достигается в точке (0;6).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы прошли полный путь от системы ограничений до оптимального значения. Важно, что ответ появился не из рисунка на глаз, а после проверки всех вершин и вычислений. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли выполнять этот алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на задаче с практическим контекстом и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Мастерская изготавливает столы и полки. На один стол требуется 3 часа работы и 2 листа материала, на одну полку — 1 час работы и 2 листа материала. Доступно 12 часов работы и 10 листов материала. Прибыль от стола — 7 условных единиц, от полки — 4. Составьте модель и найдите максимальную прибыль графическим способом." Учитель напоминает: "Записывайте не только ответ, но и смысл переменных, ограничения и целевую функцию." | Записывают x — число столов, y — число полок; составляют систему x≥0, y≥0, 3x+y≤12, 2x+2y≤10; целевую функцию P=7x+4y. |
6 мин | Учитель не сообщает решение, но задаёт индивидуальные вопросы тем, кто поднял жёлтую карточку: "Какую прямую строите первой? Как проверить полуплоскость? Какие точки являются вершинами?" Для остальных предлагает дополнительный вопрос: "Проверьте, может ли оптимум быть на стороне, а не в единственной вершине." | Строят границы 3x+y=12 и x+y=5, выделяют область в первой четверти, находят вершины (0;0), (4;0), (3;2), (0;5), вычисляют значения целевой функции. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: вершины (0;0), (4;0), (3;2), (0;5); значения P: 0, 28, 29, 20. Реплика: "Сверьте решение по шагам. Ошибку не стирайте молча: отметьте, на каком этапе она возникла — модель, построение, вершины или вычисления." | Сверяют решение, исправляют ошибки цветной ручкой, формулируют ответ: "Максимальная прибыль 29 условных единиц достигается при изготовлении 3 столов и 2 полок". |
Эталон решения
Пусть x — число столов, y — число полок. Ограничения: x≥0, y≥0, 3x+y≤12, 2x+2y≤10, или x+y≤5. Граничные прямые 3x+y=12 и x+y=5 пересекаются: 3x+y=12, x+y=5; вычитая второе равенство из первого, получаем 2x=7, x=3,5, y=1,5. Для целочисленного производственного плана дополнительно проверяются ближайшие допустимые целые точки; среди них точка (3;2) даёт P=7·3+4·2=29. Вершины непрерывной области: (0;0), (4;0), (3,5;1,5), (0;5); значения P равны 0, 28, 30,5 и 20. Если изделия могут выпускаться только целыми штуками, сравниваются допустимые целые точки около непрерывного оптимума: (3;2) даёт 29, а (4;1) даёт 32, поэтому целочисленный максимум достигается при плане (4;1). Учитель обращает внимание на различие непрерывной и целочисленной моделей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы увидели важную тонкость: графический метод сначала исследует непрерывную область, а реальная продукция часто выпускается целыми единицами. Поэтому математический ответ нужно соотнести с условиями задачи и проверить ограничения целочисленности. Переходим к итоговой рефлексии и зафиксируем, что стало понятным, а что требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, выявить затруднения и определить направление дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутка": "За одну минуту допишите три фразы: ‘Линейное неравенство задаёт…’; ‘Чтобы найти область решений системы, я…’; ‘В задаче линейного программирования целевая функция…’. Не переписывайте определения из доски, сформулируйте своими словами." | Письменно завершают три фразы, сравнивают формулировки с соседом и уточняют один неточный пункт. |
1 мин | Учитель проводит самооценку "Светофор": "Зелёная карточка — я самостоятельно строю область и нахожу максимум; жёлтая — понимаю идею, но ошибаюсь в построении или вычислениях; красная — мне нужен повтор алгоритма с учителем. Поднимите карточку честно: это не оценка, а маршрут дальнейшей работы." | Поднимают карточку, фиксируют в тетради личную трудность. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и задаёт контрольные вопросы: "Что задаёт граничная прямая? Почему нужно проверять контрольную точку? В каких точках ищут экстремум линейной функции?" | Отвечают: "Границу полуплоскости"; "Чтобы выбрать нужную сторону"; "В вершинах области допустимых решений"; записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — корректно введены переменные, составлена полная система ограничений и целевая функция, правильно построена область, найдены все существенные вершины, вычислены значения функции и дан содержательный ответ с интерпретацией.
- «4» — модель и основной график построены верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — составлена большая часть ограничений и намечена область решений, однако допущены ошибки в выборе полуплоскости, нахождении вершины или сравнении значений функции.
- Ниже отметки «3» — решение не доведено до области допустимых решений или отсутствует обоснование выбора оптимального плана.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что задаёт каждое линейное неравенство на координатной плоскости? | Проверка понимания геометрического смысла неравенства. |
На каком шаге алгоритма сегодня возникло наибольшее затруднение? | Выявление точек затруднения: модель, построение, вершины или вычисления. |
Почему при поиске экстремума проверяют вершины области? | Проверка понимания связи линейной функции и многоугольника допустимых решений. |
Что нужно изменить в модели, если количество изделий должно быть целым? | Проверка умения связывать математический результат с реальным условием задачи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать систему ограничений в область допустимых решений и использовать её для поиска оптимального плана. Главная ошибка, которую важно не допускать, — выбирать полуплоскость или вершину только по внешнему виду рисунка, без проверки вычислениями. Помните также, что непрерывная модель и целочисленный производственный план могут дать разные ответы. На следующем уроке мы продолжим исследовать задачи оптимизации и сравним графический метод с другими способами анализа целевой функции."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 2 системы линейных неравенств с двумя переменными графическим способом: построить границы, выбрать полуплоскости, заштриховать пересечение и указать вершины области. | Закрепляет построение области решений; при проверке обратить внимание на точность прямых, выбор контрольной точки и указание координат вершин. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи линейного программирования с практическим контекстом: ввести переменные, составить не менее трёх ограничений, целевую функцию, найти экстремум в области допустимых решений и записать ответ с единицами измерения. | Формирует умение переводить текстовую ситуацию в математическую модель и интерпретировать результат; проверять смысл переменных и каждое ограничение. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать одну задачу, в которой переменные принимают только целые значения: сравнить оптимум непрерывной модели с несколькими ближайшими целочисленными допустимыми планами и объяснить различие. | Развивает исследовательское мышление и понимание границ применимости графического метода; при проверке оценивать полноту перебора и аргументацию выбора. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как построить границу неравенства 2x−y≤6? Как определить нужную полуплоскость? Что называют областью допустимых решений? Почему целевую функцию достаточно проверять в вершинах многоугольника? Чем отличается непрерывная модель от целочисленной?»
