Перестановки и факториал

Слайд 1. Перестановки и факториал

Урок по вероятности и статистике · 9 класс

Слайд 2. Задача: порядок выступлений

Четыре ученика готовят короткие сообщения. Сколькими способами можно определить порядок выступлений, если каждый выступает один раз?

Подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом.

Слайд 3. Проверяем себя: считаем порядок выступлений

Для первого места — 4 выбора, для второго — 3.

Для третьего — 2 выбора, для последнего — 1.

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ способа.

Слайд 4. Задача: выбираем обед

На обед можно выбрать один из трёх напитков и один из двух десертов. Сколько разных сочетаний получится?

Покажите ход мысли, а не только ответ.

Слайд 5. Проверяем себя: правило последовательного выбора

На каждый напиток подходят два десерта.

$3\cdot 2=6$ сочетаний.

Число вариантов при последовательном выборе перемножаем.

Слайд 6. Проблема: как посчитать порядок девяти выступающих?

Можно ли выписать все порядки по одному?

Почему перечисление быстро становится неудобным?

Сформулируйте вопрос, который поможет найти короткий способ подсчёта.

Слайд 7. Проверяем себя: формулируем цель

Вариантов слишком много: можно пропустить порядок или запутаться.

Учебный вопрос: как быстро находить число способов упорядочить $n$ разных объектов?

План: найти закономерность, ввести обозначение, применить его.

Слайд 8. Факториал и число перестановок

Факториал натурального числа $n$ — произведение всех натуральных чисел от $n$ до $1$:

$n!=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$

Число способов расположить в ряд все $n$ различных объектов:

$P_n=n!$

Например: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$.

Слайд 9. Домашнее задание

Базовый уровень: вычислить факториалы чисел от 1 до 7 и решить 2 задачи на расположение объектов в ряд.

Средний уровень: решить 3 задачи о порядке выступления участников, расположении книг или фотографий; объяснить, почему порядок учитывается.

Продвинутый уровень: составить задачу с не менее чем шестью объектами, решить двумя способами и сравнить решения.

Слайд 10. Итоги и проверка себя

Что обозначает $n!$ и как его раскрыть?

Сколько равно $4!$?

Когда применяют формулу $P_n=n!$?

Если поменять два объекта местами, получится ли тот же порядок?

Оцените, насколько уверенно вы готовы решить похожую задачу самостоятельно.