Операции над событиями

Слайд 1. Операции над событиями

Вероятность и статистика, 9 класс. Подготовка к решению задач ОГЭ

Слайд 2. Разминка: классическое определение

Задача: В коробке 10 синих, 5 красных и 5 зеленых ручек. Вы наугад берете одну.

Вопрос 1: Какова вероятность, что ручка синяя?

Вопрос 2: Какова вероятность, что она НЕ зеленая?

Слайд 3. Проблема: когда сложения недостаточно

Задача: Вероятность поломки кофе-автомата равна 0,1. В магазине два таких автомата. Вероятность того, что сломаются оба — 0,03.

Вопрос: Как найти вероятность того, что сломается хотя бы один? Можно ли здесь просто сложить вероятности $0,1+0,1$?

Слайд 4. Основные операции: Пересечение и Объединение

Пересечение ($A\cap B$): происходят ОБА события сразу (союз И). Общая часть кругов.

Объединение ($A\cup B$): происходит ХОТЯ БЫ ОДНО из событий (союз ИЛИ). Все закрашенное пространство.

Дополнение ($\bar{A}$): событие НЕ А (все, что вне круга).

Слайд 5. Совместные и несовместные события

Не могут произойти одновременно. Круги Эйлера не имеют общих точек.

Пример: получение оценок «5» и «2» за один и тот же ответ.

Могут произойти одновременно (имеют общие исходы).

Пример: поломка двух разных автоматов в один день.

Слайд 6. Формулы сложения вероятностей

Для несовместных событий:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Для любых (совместных) событий:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Важно: Мы вычитаем пересечение $P(A\cap B)$, чтобы не учитывать общие исходы дважды!

Слайд 7. Решаем задачу про кофе-автоматы

Дано:

$P(A)=0,1$ (сломался 1-й автомат)

$P(B)=0,1$ (сломался 2-й автомат)

$P(A\cap B)=0,03$ (сломались оба)

Решение:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=0,1+0,1-0,03=0,17$

Ответ: 0,17

Слайд 8. Задание для закрепления

Задача: В ТЦ два платежных терминала. Вероятность, что к концу дня закончится бумага в одном — 0,2. Вероятность того, что она закончится в обоих — 0,1.

Вопрос: Найдите вероятность того, что бумага останется (НЕ закончится) в обоих терминалах.

Слайд 9. Проверяем себя: решение задачи

1) Найдем вероятность, что бумага закончится хотя бы в одном:

$P(A\cup B)=0,2+0,2-0,1=0,3$

2) Событие «бумага останется в обоих» является противоположным к событию «закончится хотя бы в одном».

3) Расчет через дополнение:

$P=1-0,3=0,7$

Ответ: 0,7

Слайд 10. Итоги урока и домашнее задание

Контрольный вопрос: Чему равна вероятность пересечения несовместных событий?

ДЗ: Решить 5 задач на формулы суммы и дополнения.

Творческое задание: придумать задачу на основе новостей или спорта.