Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми в пространстве. Угол между скрещивающимися прямыми
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать углы с сонаправленными сторонами, строить угол между скрещивающимися прямыми через параллельный перенос одной из них и находить величину угла по чертежу или условию, обосновывая выбор острого угла.
- Образовательная задача: сформулировать определения углов с сонаправленными сторонами, угла между прямыми в пространстве и угла между скрещивающимися прямыми.
- Развивающая задача: развивать пространственное представление, умение анализировать взаимное расположение прямых и переносить геометрическую задачу в удобную плоскость.
- Коммуникативная задача: учиться объяснять построение и доказывать равенство углов в паре и при обсуждении решения у доски.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность геометрических построений, самостоятельность суждений и ответственное отношение к математическому доказательству.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение пространственной геометрии для дальнейшего обучения, инженерных и технических профессий.
- Проявляют готовность проверять интуитивное представление доказательством, а не только зрительным впечатлением от чертежа.
- Оценивают собственную готовность применять определения и теоремы при решении задач повышенной сложности.
- Развивают уверенность в самостоятельном поиске способа построения угла между скрещивающимися прямыми.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки параллельности, сонаправленности и скрещивания прямых.
- Строят логическую цепочку: взаимное расположение прямых — перенос прямой — плоский угол — выбор меньшей величины.
- Используют чертёж, условие задачи и математическую запись как взаимосвязанные источники информации.
- Планируют решение, осуществляют самопроверку по определению и аргументированно обсуждают разные способы построения.
Предметные
- Знать определения углов с сонаправленными сторонами и угла между прямыми в пространстве.
- Понимать, что угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
- Уметь строить прямую, параллельную одной из скрещивающихся прямых, через точку другой прямой.
- Уметь находить угол между прямыми по готовому чертежу и доказывать равенство построенного угла искомому.
- Различать угол между двумя прямыми и угол между лучами; выбирать меньший из двух углов между прямыми.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный дефицит: понимание определения, построение параллельной прямой или доказательство равенства углов.
- Проявляют смыслообразование через связь пространственной геометрии с чертежами, моделированием и будущей профессиональной деятельностью.
- Принимают необходимость точной математической речи при объяснении пространственных объектов.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и готовность защищать решение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования по проблемному чертежу и составляют план построения угла.
- Прогнозируют результат: после параллельного переноса скрещивающиеся прямые должны заменить пересекающимися.
- Контролируют соблюдение определения и проверяют, выбран ли меньший угол.
- Обнаруживают ошибку в рассуждении и корректируют построение или доказательство.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Сравнивают углы с сонаправленными сторонами и делают вывод об их равенстве или дополнительности.
- Моделируют пространственную ситуацию на чертеже и выделяют плоскость, содержащую построенные пересекающиеся прямые.
- Применяют признак параллельности и свойства углов при параллельных прямых.
- Анализируют условие, выбирают вспомогательную прямую и строят доказательство.
- Переводят пространственную задачу в плоскую, сохраняя величину искомого угла.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы о направлении прямых и расположении угла.
- Объясняют партнёру, почему выбранная прямая действительно параллельна данной.
- Сопоставляют два решения и аргументированно выбирают корректное.
- Используют математические термины «сонаправленные», «пересекающиеся», «скрещивающиеся», «параллельные».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель прямоугольного параллелепипеда с обозначенными рёбрами и скрещивающимися прямыми.
- Вывесить на доске памятку: «Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми: 1) выбрать точку на одной прямой; 2) провести через неё прямую, параллельную другой; 3) найти плоский угол; 4) выбрать меньший угол».
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для работы в парах с двумя чертежами пространственных фигур и заданиями на построение угла.
- Подготовить цветные маркеры или мел: исходные прямые обозначить синим, вспомогательную параллельную прямую — красным, искомый угол — дугой.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «знаю определение», «умею строить», «умею доказывать», «нахожу ошибку».
- Подготовить на доске или экране проблемный чертёж куба с выделенными скрещивающимися рёбрами.
- Подготовить модели куба и тетраэдра — по одной на группу из 3–4 человек, а также линейки и карандаши.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения задания.
- Организовать таймер на 2–4 минуты для исследовательских заданий и самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование пространственной ситуации и создать познавательное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает модель куба: "Сегодня мы будем работать не только с тем, что легко увидеть на плоскости. Посмотрите на два ребра куба: они не пересекаются и не параллельны. Можно ли всё же сравнить направления этих рёбер и измерить угол между ними? Запишите дату, а тему мы сформулируем после небольшого исследования." | Рассматривают модель, называют возможные варианты: "Рёбра скрещиваются", "Их нельзя пересечь в данной фигуре", "Нужно провести вспомогательную прямую". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, как превратить скрещивающиеся прямые в пересекающиеся. Не называйте только ответ — объясните, какую прямую вы проведёте и почему." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в парах и предлагают классу способы построения параллельной прямой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что пространственный угол нельзя всегда измерить непосредственным пересечением данных прямых. Значит, нам нужен строгий способ перенести одну прямую и сохранить её направление."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства углов и параллельных прямых, необходимые для открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске три вопроса: "Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми? Какие углы образуются при пересечении двух прямых? Как связаны соответственные углы при параллельных прямых и секущей? Отвечайте с точными формулировками, потому что сегодня эти свойства станут инструментом." | Отвечают: "Угол между прямыми — меньший из углов, образованных при их пересечении"; "Вертикальные углы равны, смежные в сумме дают $180^\circ$"; "Соответственные и накрест лежащие углы равны при параллельных прямых". |
3 мин | Учитель показывает два луча с сонаправленными сторонами и два луча с противоположно направленными сторонами: "Сравните эти пары. В каком случае углы равны, а в каком их сумма равна $180^\circ$? Обоснуйте ответ не рисунком, а свойством параллельных прямых и общей вершины." | Выполняют устное сравнение, формулируют: "Если стороны попарно сонаправлены, углы равны; если одна пара противоположно направлена, углы дополнительные". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Угол между двумя пересекающимися прямыми — меньший из углов, образованных этими прямыми. Вертикальные углы равны; смежные углы в сумме дают $180^\circ$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как сравнивать углы при пересечении и параллельности прямых. Теперь выясним, как применить эти свойства, если исходные прямые находятся в пространстве и являются скрещивающимися."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить невозможность прямого измерения угла между скрещивающимися прямыми и сформулировать план выхода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на модели куба скрещивающиеся прямые $AB$ и $CC_1$: "Эти прямые не имеют общей точки, поэтому обычное пересечение невозможно. Но направление прямой $CC_1$ можно перенести в точку $A$. Какую прямую через $A$ нужно построить? Что будет общим у новой и исходной прямых?" | Работают в парах с моделью, показывают ребро через точку $A$, параллельное $CC_1$, и отвечают: "Через $A$ надо провести прямую, параллельную $CC_1$; она сохранит направление исходной прямой". |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезы и спрашивает: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги приведут нас к ответу? Какие свойства потребуется доказать?" | Формулируют цель: "Научиться находить угол между скрещивающимися прямыми через параллельную прямую". Называют шаги: построить параллельную, получить пересекающиеся прямые, обосновать равенство углов, выбрать меньший угол. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования готов: сначала уточним определение, затем проверим, что результат не зависит от места построения, и после этого применим способ к задачам. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения угла между прямыми в пространстве и угла между скрещивающимися прямыми через исследование и доказательство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске две пары углов с вершиной $O$: "Рассмотрим лучи $OA$ и $OB$, а также лучи $OC$ и $OD$. Пусть луч $OA$ сонаправлен лучу $OC$, а луч $OB$ — лучу $OD$. Тогда перенос лучей параллельно самим себе не меняет их направления. Что можно сказать об углах $AOB$ и $COD$?" Учитель предлагает доказать вывод через параллельность и равенство соответственных углов. | Сравнивают направления лучей, записывают условие $OA \parallel OC$, $OB \parallel OD$, формулируют: "$\angle AOB = \angle COD$, если соответствующие стороны сонаправлены". Объясняют доказательство через равенство углов при параллельных прямых. |
3 мин | Учитель формулирует определение: "Углом между двумя пересекающимися прямыми называют меньший из углов, образованных этими прямыми. Угол между двумя параллельными прямыми считают равным $0^\circ$. Для скрещивающихся прямых через произвольную точку одной из них проводим прямую, параллельную другой. Угол между получившимися пересекающимися прямыми и есть угол между исходными скрещивающимися прямыми." | Записывают определения, выделяют ключевые слова: «произвольная точка», «параллельная прямая», «меньший угол». Задают уточняющие вопросы о том, почему результат не зависит от выбора точки. |
3 мин | Учитель отвечает на вопрос о независимости выбора: "Выберем другую точку на первой прямой и проведём через неё прямую, параллельную второй. Обе вспомогательные прямые параллельны одной и той же прямой, значит, они параллельны между собой. При переносе угла его стороны остаются сонаправленными, поэтому величина меньшего угла сохраняется. Следовательно, определение корректно." | Строят два варианта вспомогательной прямой на схеме, отмечают сонаправленные стороны и формулируют вывод: "Угол не зависит от точки, через которую выполнено построение". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Угол между двумя прямыми в пространстве — меньший из углов между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Для параллельных прямых угол равен $0^\circ$. Для скрещивающихся прямых через точку одной прямой проводят прямую, параллельную другой, и находят угол между пересекающимися прямыми.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заменили скрещивающиеся прямые пересекающимися, не изменив направление одной из них. Теперь проверим алгоритм на конкретном пространственном чертеже и научимся проговаривать каждое действие."
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм построения угла между скрещивающимися прямыми и его обоснование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $CC_1$. Постройте через точку $A$ прямую, параллельную $CC_1$, и обозначьте её направление». Учитель напоминает: "Не называйте угол по зрительному впечатлению. Сначала выполните параллельный перенос, затем укажите две пересекающиеся прямые и объясните, почему полученный угол искомый." | В парах строят через $A$ прямую $AA_1$, так как $AA_1 \parallel CC_1$. Выделяют угол между $AB$ и $AA_1$, называют его прямым и записывают: "$AB \perp AA_1$, поэтому угол между $AB$ и $CC_1$ равен $90^\circ$". |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по алгоритму: "Обменяйтесь чертежами. Проверьте четыре пункта: выбрана ли точка, проведена ли параллельная прямая, назван ли угол между пересекающимися прямыми, выбран ли меньший угол. Поставьте две звезды за верные шаги и одно пожелание, если доказательство можно уточнить." | Проверяют чертёж партнёра, отмечают два корректных элемента и формулируют рекомендацию, например: "Нужно явно указать, что $AA_1 \parallel CC_1$". |
Эталон решения
Через точку $A$ проведём прямую $AA_1$, параллельную $CC_1$: $AA_1 \parallel CC_1$. Прямые $AB$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и являются рёбрами куба, поэтому $AB \perp AA_1$. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $AA_1$ равен $90^\circ$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CC_1$ равен $90^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм сработал: мы построили параллельную прямую и свели пространственную задачу к плоскому углу. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли выполнить этот переход без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение определением и алгоритмом решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: «В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между $AD$ и $BB_1$». Средний вариант: «В кубе найдите угол между $AB$ и $CD_1$, построив через точку $A$ прямую, параллельную $CD_1$». Повышенный вариант: «Объясните, почему угол между $AB$ и $CC_1$ не зависит от выбора точки на $AB$, через которую проводят параллельную $CC_1$». Учитель напоминает: "Записывайте не только ответ, но и цепочку обоснований." | Индивидуально выбирают уровень, выполняют построение и решение. В базовом варианте отмечают $AD \parallel BC$ и строят через точку на $BB_1$ прямую, параллельную $AD$; в среднем проводят вспомогательную прямую и находят плоский угол; в повышенном дают доказательство через параллельность вспомогательных прямых. |
3 мин | Учитель показывает эталон на экране: "Сверьте не только число градусов, но и построение. Если ответ совпал, найдите в своей записи ключевую фразу, которая делает решение доказательством. Если есть ошибка, обозначьте её знаком вопроса и исправьте одним предложением." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают обоснование, исправляют ошибки. Отмечают в листе самооценки один из уровней: «выполняю самостоятельно», «нужна подсказка», «пока затрудняюсь». |
Эталон решения
Для базового задания: через точку $B$ провести прямую, параллельную $AD$. В прямоугольном параллелепипеде $AD \parallel BC$, поэтому вспомогательная прямая совпадает с направлением $BC$. Так как $BB_1 \perp (ABCD)$, а $BC$ лежит в основании, имеем $BB_1 \perp BC$. Следовательно, угол между $AD$ и $BB_1$ равен $90^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное затруднение находится не в вычислении градусов, а в правильном выборе вспомогательной прямой. На завершающем этапе проверим, умеем ли мы объяснить смысл определения и увидеть типичную ошибку."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ, выявить затруднения и определить дальнейшую учебную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "За одну минуту завершите три фразы: угол между скрещивающимися прямыми находят так...; главное свойство, на которое я опираюсь,...; моя типичная ошибка..." | Письменно завершают фразы: "Провожу параллельную прямую через точку одной из данных"; "Угол между сонаправленными сторонами сохраняется"; "Забываю указать, почему вспомогательная прямая параллельна исходной". |
1 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос на выход: "Почему нельзя просто измерить угол между скрещивающимися прямыми транспортиром на рисунке?" | Отвечают: "У скрещивающихся прямых нет общей точки; сначала нужно построить пересекающиеся прямые с тем же направлением". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и обращается к классу: "Выберите уровень осознанно. В каждом решении обязательно выполняйте построение и записывайте обоснование, а не только ответ." | Записывают домашнее задание, задают вопросы о критериях выбора уровня. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились измерять угол между прямыми, которые не пересекаются, сохраняя их направления с помощью параллельного переноса. На следующем уроке будем применять этот алгоритм в более сложных задачах на углы между рёбрами и диагоналями многогранников."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты выбранной карточки, вспомогательная прямая построена корректно, угол назван точно, доказательство содержит ссылку на параллельность и свойство углов; чертёж аккуратный.
- «4» — основной способ выбран правильно, но допущена одна неточность в обозначениях, чертеже или формулировке обоснования, не повлиявшая на итоговый ответ.
- «3» — распознано, что требуется параллельный перенос, и получен частично верный ответ, но построение или доказательство неполны; необходима коррекция по эталону.
- Ниже «3» — не выбрана корректная вспомогательная прямая или ответ получен только по зрительному впечатлению без применения определения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать первым, если прямые скрещиваются? | Проверка понимания алгоритма и умения начать построение. |
Почему угол между исходными и вспомогательными прямыми имеет одну и ту же величину? | Выявление понимания сохранения направления и углов с сонаправленными сторонами. |
Какая часть решения сегодня была самой сложной: построение, выбор угла или доказательство? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей дифференциации. |
Можете ли вы объяснить способ однокласснику без рисунка? | Оценка осознанности, математической речи и переноса способа в новую ситуацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что скрещивающиеся прямые не препятствуют точному измерению угла. Мы переносим одну из них параллельно самой себе, получаем пересекающиеся прямые и работаем уже с плоским углом. Самая частая ошибка — назвать угол по внешнему виду чертежа и не указать, почему вспомогательная прямая параллельна исходной. На следующем уроке мы продолжим применять этот способ к диагоналям и рёбрам многогранников."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение угла между прямыми в прямоугольном параллелепипеде или кубе: в каждой задаче построить прямую, параллельную одной из данных, и записать обоснование. | Закрепляет определение угла между прямыми и обязательную последовательность построения; при проверке смотреть на наличие параллельной вспомогательной прямой и выбор меньшего угла. |
Средний (повышающий) | Решить 3–4 задачи на угол между скрещивающимися рёбрами и диагоналями многогранника, используя свойства перпендикулярности и параллельности. | Развивает перенос алгоритма на новые конфигурации; при проверке смотреть, не подменён ли угол между скрещивающимися прямыми углом между случайными отрезками. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на угол между скрещивающимися прямыми в кубе или тетраэдре, выполнить чертёж, решить её двумя способами или доказать независимость выбора точки для параллельного переноса. | Формирует умение создавать математическую модель и обосновывать корректность способа; при проверке оценивать полноту условия, доказательства и точность чертежа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют углом между скрещивающимися прямыми? Через какую точку проводят вспомогательную прямую? Какое условие доказывает, что построенный угол равен искомому? Почему выбирают меньший из двух углов?»
