Углы между скрещивающимися прямыми
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться определять угол между скрещивающимися прямыми в пространстве через угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным, и применять это определение при решении геометрических задач.
- Сформировать понимание того, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки построения и определяется как меньший из углов между пересекающимися параллельными им прямыми.
- Научить строить и обозначать угол между скрещивающимися прямыми, выбирать рациональное вспомогательное построение и находить величину угла по условию задачи.
- Развивать пространственное воображение, умение выдвигать гипотезу, проверять её на модели и аргументировать математический вывод.
- Воспитывать аккуратность геометрического чертежа, самостоятельность выбора способа решения и ответственное отношение к проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность пространственного моделирования как инструмента решения практических и профессиональных задач.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию геометрического объекта, который нельзя полностью изобразить на плоскости.
- Понимать значение точного определения и обоснования в математике.
- Проявлять готовность самостоятельно выбирать способ построения и принимать ответственность за результат.
Метапредметные
- Формулировать учебную проблему и преобразовывать её в последовательность исследовательских действий.
- Извлекать информацию из чертежа, пространственной модели и условия задачи, сопоставлять различные представления объекта.
- Планировать построение, прогнозировать результат и осуществлять самопроверку по определению угла.
- Аргументированно представлять решение, использовать математическую речь и корректные обозначения.
- Применять цифровую модель или динамический чертёж для проверки гипотезы, если такое оборудование доступно.
Предметные
- Знать определение угла между двумя скрещивающимися прямыми.
- Понимать связь угла между скрещивающимися прямыми с углом между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
- Уметь строить угол между скрещивающимися прямыми через проведение параллельных прямых.
- Уметь выбирать меньший из двух углов и находить его величину по свойствам углов.
- Владеть алгоритмом решения задач на вычисление и доказательство величины угла между скрещивающимися прямыми.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную значимость умения видеть пространственные связи и переводить их в плоскую модель.
- Проявляют готовность к интеллектуальному риску при выдвижении гипотезы.
- Оценивают собственную уверенность в построении пространственных чертежей.
- Формируют установку на доказательное, а не интуитивное принятие результата.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель исследования угла между скрещивающимися прямыми.
- Планируют построение вспомогательной прямой и последовательность вычислений.
- Сверяют результат с определением и исправляют ошибку в выборе угла.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Выбирают уровень домашнего задания и прогнозируют возможное затруднение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки скрещивающихся прямых на пространственной модели.
- Сравнивают угол между пересекающимися прямыми и искомый угол между скрещивающимися прямыми.
- Строят логическую цепочку: скрещивающиеся прямые — параллельные им пересекающиеся прямые — плоский угол.
- Моделируют пространственную ситуацию на плоскости и используют свойства параллельных прямых.
- Проверяют независимость результата от выбора точки построения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к партнёру по построению и уточняют математические обозначения.
- Распределяют роли в парной исследовательской работе.
- Аргументируют выбор меньшего угла и корректируют объяснение после обратной связи.
- Соблюдают правила математической дискуссии и уважительно оценивают решение одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить пространственную модель прямоугольного параллелепипеда или две пары цветных палочек, изображающих скрещивающиеся прямые.
- Распечатать исследовательские карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Распечатать лист самооценки и мини-билет на выход для каждого ученика.
- Подготовить отдельные карточки с обозначениями прямых $a$, $b$, $a_1$, $b_1$ — по одному комплекту на пару.
- Вывести на доску или экран изображение куба с двумя скрещивающимися рёбрами и вопрос: «Как измерить угол между ними?»
- Заранее записать на доске обозначения: «скрещивающиеся прямые», «параллельные прямые», «меньший угол».
- Подготовить линейку, угольник, маркеры двух цветов и несколько прозрачных листов для демонстрации параллельного переноса.
- При наличии оборудования открыть динамическую геометрическую модель, позволяющую перемещать точку на одной из прямых без изменения направления.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску; обеспечить возможность работы в парах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование и показать практическую необходимость определения угла между непересекающимися прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает модель прямоугольного параллелепипеда: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем исследовать ситуацию, в которой две прямые не пересекаются, но угол между их направлениями всё же можно измерить. Посмотрите на два выделенных ребра модели. Они лежат в разных плоскостях. Как вы думаете, можно ли назвать их перпендикулярными или определить угол между ними?" | Рассматривают модель, называют рёбра и формулируют затруднение: "Прямые не пересекаются, поэтому обычный угол построить нельзя". |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: "Представьте, что эти направления задают две балки в конструкции или две линии движения в пространстве. Инженеру нужно сравнить их наклон. Как перенести одну прямую, не изменив её направления? Обсудите ответ с соседом 30 секунд, затем предложите гипотезу классу." | В парах обсуждают способ параллельного переноса, предлагают: "Провести через точку одной прямой прямую, параллельную другой"; фиксируют вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что главная трудность связана не с отсутствием угла, а с тем, что прямые не имеют общей точки. Теперь проверим, как сохранить их направления и получить обычный плоский угол."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства параллельных прямых, углов и признаки скрещивающихся прямых, необходимые для открытия определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске схему двух пересекающихся прямых и задаёт вопросы: "Какие углы образуются при пересечении прямых? Как связаны вертикальные и смежные углы? Если две прямые параллельны третьей, что можно сказать об их взаимном направлении?" Учитель кратко фиксирует ответы в виде опорной схемы. | Воспроизводят определения и свойства: "Вертикальные углы равны", "Сумма смежных углов равна $180^\circ$", "Две прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой". |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с изображением параллелепипеда и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Найдите пару пересекающихся, пару параллельных и пару скрещивающихся прямых. Объясните, по какому признаку вы их различили. Не называйте только рёбра — используйте определение." | Сначала отмечают объекты индивидуально, затем сравнивают в парах и формулируют: "Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными, то есть не лежат в одной плоскости". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства плоских углов и различили три взаимных положения прямых. Осталось найти способ заменить скрещивающиеся прямые пересекающимися, не меняя их направлений."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать определение, которое предстоит открыть и обосновать.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ на модели: "Через произвольную точку $O$ проведём прямую $a_1$, параллельную $a$, и прямую $b_1$, параллельную $b$. Теперь $a_1$ и $b_1$ пересекаются. Какой угол можно измерить? Почему он должен характеризовать исходные направления?" | Наблюдают за построением, отвечают: "Можно измерить угол между $a_1$ и $b_1$; он зависит от направлений исходных прямых, а не от их положения". |
2 мин | Учитель записывает на доске цель: "Вывести и применить определение угла между скрещивающимися прямыми". Затем предлагает план: "Сначала построим параллельные прямые, затем докажем независимость выбора точки, после этого решим вычислительную задачу. Какой результат будем считать доказательством открытия?" | Формулируют план действий и критерий успеха: "Нужно построить угол, назвать меньший из двух, объяснить, почему выбор точки не меняет его величину". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поставили исследовательскую задачу: превратить пространственную ситуацию в плоскую, сохранив направления. Теперь выполните это построение самостоятельно и сравните свои выводы."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение угла между скрещивающимися прямыми и обосновать независимость его величины от выбора точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам прозрачные листы и карточки: "На рисунке отмечены скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Выберите точку $O$ на прямой $a$. Через неё проведите $b_1 \parallel b$, а прямую $a$ обозначьте как первую сторону угла. Отметьте меньший угол между $a$ и $b_1$. Затем выберите другую точку $O_1$ и повторите построение. Сравните углы." | Выполняют построение в парах, проводят через выбранные точки параллельные прямые, измеряют или сравнивают углы, формулируют наблюдение: "Получаются равные углы". |
3 мин | Учитель организует эвристическую беседу: "Почему углы оказались равными? Рассмотрите две построенные прямые, параллельные $b$. Как они расположены между собой? Какие углы образует секущая $a$ с этими параллельными прямыми?" | Обосновывают: "Построенные прямые параллельны, а прямая $a$ является секущей; соответствующие или накрест лежащие углы равны". |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. За угол между прямыми принимают меньший из образовавшихся углов". Затем показывает два угла $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$: "Почему выбираем меньший?" | Записывают определение, отвечают: "Пара углов описывает одни и те же направления, а стандартным углом между прямыми считают величину от $0^\circ$ до $90^\circ$". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Угол между скрещивающимися прямыми — меньший из углов между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным прямым». Алгоритм: 1) выбрать точку на одной прямой; 2) провести через неё прямую, параллельную второй; 3) построить угол между пересекающимися прямыми; 4) выбрать меньший угол; 5) обосновать построение свойствами параллельных прямых.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение открыто: мы заменили скрещивающиеся прямые пересекающимися параллельными им прямыми. Теперь проверим алгоритм на конкретной конфигурации и научимся не терять нужный угол среди двух смежных."
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: применить новое определение при построении и вычислении угла в типовой пространственной задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель записывает условие: "В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $B_1D_1$. Известно, что диагональ грани $B_1D_1$ образует с ребром $B_1C_1$ угол $45^\circ$." Учитель задаёт вопросы: "Через какую точку удобно провести прямую, параллельную $AB$? Какое ребро куба имеет направление $AB$? С какой прямой можно сравнить $AB$?" | Строят на чертеже прямую $B_1C_1$, так как $B_1C_1 \parallel AB$, и рассматривают угол между $B_1C_1$ и $B_1D_1$. Отвечают: "Искомый угол равен углу $C_1B_1D_1$, то есть $45^\circ$". |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте по трём критериям: указаны ли параллельные прямые, построен ли именно меньший угол, есть ли ссылка на определение. Поставьте две звезды и одно пожелание." | Проверяют решения партнёра, записывают две сильные стороны и один совет, исправляют обозначение или обоснование при необходимости. |
Эталон решения
$B_1C_1 \parallel AB$, поэтому угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1D_1$ равен меньшему углу между пересекающимися прямыми $B_1C_1$ и $B_1D_1$. По условию $\angle C_1B_1D_1=45^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $B_1D_1$ равен $45^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В решении важно не угадывать угол по рисунку, а явно указать параллельную замену и только затем обратиться к условию. Сейчас каждый проверит, умеет ли выполнить весь алгоритм самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение алгоритмом на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Выберите базовый или повышенный вариант. Сначала сделайте чертёж, затем подпишите параллельную замену и только после этого вычисляйте угол. На карточке есть задание с прямым ответом и задание на объяснение." | Выбирают вариант, читают критерии, задают уточняющий вопрос до начала работы. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовое: "В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между $AD$ и $B_1C_1$, если угол между $AD$ и $AB$ равен $90^\circ$." Повышенное: "Докажите, что угол между $AB$ и $CC_1$ равен $90^\circ$, если $ABCD A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед." Учитель наблюдает за построениями и адресно задаёт вопросы: "Какая прямая параллельна первой? Где пересекаются заменённые прямые?" | Решают индивидуально, строят параллельные прямые, записывают обоснование. В базовом варианте получают $90^\circ$; в повышенном ссылаются на перпендикулярность ребра $CC_1$ плоскости основания и прямой $AB$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сверьте не только ответ, но и ход решения. Зелёной отметкой выделите верный шаг, жёлтой — шаг, который нужно доработать. Если ответ отличается, найдите место расхождения, а не стирайте всё решение." | Выполняют самопроверку, отмечают ошибки, исправляют построение или аргументацию, выставляют себе условный результат по критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает, если мы сохраняем направления прямых и контролируем величину меньшего угла. В конце зафиксируем, что именно стало вашим новым инструментом и где осталось затруднение."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить открытый способ определения угла, оценить достижение цели и выбрать посильное продолжение работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает ваше состояние. Зелёный — я могу построить угол и объяснить его независимость; жёлтый — строю, но сомневаюсь в выборе меньшего угла; красный — нужна помощь с параллельной заменой. После сигнала назовите один конкретный шаг, который требует повторения." | Поднимают карточку выбранного цвета, формулируют: "Мне нужно повторить, как проводить параллельную прямую" или "Я уверенно обосновываю равенство углов". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: что называют углом между скрещивающимися прямыми; почему его величина не зависит от выбора точки построения? Третий пункт — изобразите схему параллельной замены." | Пишут краткое определение, аргумент о параллельных прямых и выполняют схему. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и связывает его со следующим уроком: "Выберите уровень, который соответствует вашему результату. На следующем уроке мы будем решать более сложные задачи, где потребуется увидеть удобную пару параллельных прямых без готового указания." | Записывают выбранный уровень и формулируют личную цель: "Научиться быстрее находить параллельную замену". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены базовое и повышенное задания либо одно задание повышенного уровня с полным обоснованием; построение аккуратное, параллельная замена указана, выбран меньший угол, логика решения не содержит пропусков.
- «4» — правильно найден угол и выполнено основное построение, но допущена одна неточность в обозначениях или недостаточно подробно записано обоснование.
- «3» — определение использовано частично, построение начато верно, но допущена существенная ошибка в выборе параллельной прямой или величины угла; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют углом между скрещивающимися прямыми? | Проверка осознания ключевого определения урока. |
Какую прямую вы проводите при построении и почему именно её? | Выявление понимания принципа параллельной замены. |
Почему выбор другой точки не изменяет величину угла? | Проверка доказательного понимания свойства, а не механического запоминания. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились измерять угол между прямыми, которые не пересекаются: сохранили их направления и заменили их пересекающимися параллельными прямыми. Главная ошибка в таких задачах — выбирать угол только по внешнему виду пространственного рисунка, без обоснования параллельности. Проверяйте каждый шаг через определение и свойства параллельных прямых. На следующем уроке мы продолжим исследование углов в пространстве и будем выбирать удобное построение уже самостоятельно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение угла между скрещивающимися рёбрами прямоугольного параллелепипеда или куба; в каждой задаче выполнить чертёж, провести параллельную замену и записать величину меньшего угла. | Закрепляет определение и пошаговый алгоритм; при проверке смотреть на наличие параллельной прямой и корректный выбор угла. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи, в которых величина угла между скрещивающимися прямыми находится через углы в грани или диагональном сечении многогранника; каждое равенство обосновать. | Развивает перенос плоских свойств на пространственную конфигурацию; при проверке обращать внимание на полноту доказательства. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на угол между скрещивающимися прямыми в пространственной модели, изобразить конфигурацию, указать ответ и привести решение с обоснованием независимости выбранной точки. | Формирует умение создавать математическую модель и проверять корректность собственного условия. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как построить угол между скрещивающимися прямыми? Почему можно выбрать любую точку для параллельного переноса? Как отличить нужный меньший угол от смежного с ним?»
