Разложение многочлена на множители с помощью метода группировки
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение раскладывать многочлен на множители методом группировки, применяя алгоритм к выражениям из четырёх и более слагаемых.
- Образовательная задача: вывести алгоритм метода группировки и научить применять его в стандартных ситуациях.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение анализировать структуру выражения и находить закономерности.
- Воспитательная задача: способствовать развитию навыков самоконтроля и ответственности за результат через индивидуальную работу.
- Коррекционная задача: обеспечить концентрацию внимания учащихся с СДВГ через смену видов деятельности и визуальные опоры.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критичности мышления при анализе ошибок в преобразованиях.
- Формирование ценности совместной деятельности при обсуждении гипотез.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Навык структурирования информации и моделирования алгоритма действий.
- Умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
- Способность к самоконтролю и коррекции своих действий в соответствии с эталоном.
Предметные
- Знать определение разложения многочлена на множители.
- Понимать суть метода группировки как способа вынесения общего множителя за скобки.
- Уметь раскладывать многочлены вида ax + ay + bx + by на множители.
- Владеть навыком проверки правильности разложения путём обратного умножения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между изучением темы и её применением в сокращении дробей.
- Самоопределение: осознание своих сильных и слабых сторон при выборе уровня сложности задания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Волевая саморегуляция: способность сохранять концентрацию внимания в течение всего урока (особенно важно для детей с СДВГ).
Познавательные УУД
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
- Общеучебные: выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнёра — контроль, коррекция, оценка действий партнёра при работе в парах.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с визуальными схемами (выделение слагаемых цветом).
- Распечатать разноуровневые карточки: Синие (Уровень А — база), Зелёные (Уровень Б — средний), Красные (Уровень В — сложный).
- Для детей с СДВГ подготовить специальные карточки-подсказки с пошаговым алгоритмом (визуальный чек-лист).
- Приготовить песочные часы на 5 и 8 минут для визуализации времени выполнения заданий.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (2 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу, сфокусировать внимание учеников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверьте, всё ли у вас готово: учебник, тетрадь, ручка и карандаш. Сегодня нас ждёт урок-открытие. Математика похожа на детектив: иногда нужно найти скрытые связи между числами и буквами, чтобы разгадать загадку выражения.» | Проверяют готовность мест, настраиваются на урок. Ученики с СДВГ проверяют наличие чек-листа на столе. |
1 мин | «Посмотрите на экран. Здесь записано выражение: 17 * 3 + 17 * 7. Как вычислить его устно за 2 секунды? Правильно, вынести 17. А что, если слагаемых будет больше и общего множителя у всех сразу нет? Сегодня мы научимся решать такие головоломки.» | Отвечают: «Вынести 17 за скобки, в скобках будет 3 + 7 = 10, ответ 170». Слушают учителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как работает распределительный закон. Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы владеете вынесением общего множителя.»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовый навык вынесения множителя за скобки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Откройте тетради, запишите число и тему урока: "Разложение многочлена на множители методом группировки". На доске три примера. Выполните разложение: 1) 5a + 5b; 2) x(a + b) + y(a + b); 3) 2a(x - y) - (x - y). Обратите внимание на второй и третий примеры. Что там является общим множителем?» | Записывают тему. Решают примеры в тетрадях. Один ученик комментирует с места: «Во втором примере общий множитель — это целая скобка (a + b)». Записывают ответы. |
2 мин | «Давайте проверим ответы. (Учитель выводит ответы на слайд). Кто не допустил ни одной ошибки? Петя, Коля, отлично. В третьем примере будьте внимательны: если перед скобкой ничего не стоит, там подразумевается единица.» | Сверяют свои решения с эталоном на экране. Исправляют ошибки, если они есть. Ученики с СДВГ отмечают выполнение первого пункта в своём чек-листе. |
Эталон решения
1) 5(a + b); 2) (a + b)(x + y); 3) (x - y)(2a - 1).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с вынесением скобки за скобки. Это умение — ключ к нашей сегодняшней новой теме.»
Этап 3. Постановка проблемы и выявление причины затруднения (3 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, мотивирующую к поиску нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «А теперь посмотрите на это выражение: ax + ay + bx + by. Можем ли мы вынести общий множитель сразу у всех четырёх слагаемых? Нет? Почему? А можем ли мы что-то сделать, если разделим их на группы? Попробуйте обсудить в парах 1 минуту, как можно разбить эти слагаемые на две группы так, чтобы в каждой был общий множитель.» | Пытаются найти общий множитель для всех четырёх, убеждаются, что его нет. Обсуждают в парах. Предлагают варианты: «Можно объединить первые два и вторые два», «Можно первое с третьим, а второе с четвёртым». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, у нас возникла идея объединить слагаемые в группы. Этот метод так и называется — метод группировки. Давайте проверим, сработает ли он.»
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм метода группировки и зафиксировать его.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте реализуем ваш план на доске. Запишем: (ax + ay) + (bx + by). Что вынесем из первой скобки? Правильно, 'a'. Из второй? Правильно, 'b'. Что получилось? a(x + y) + b(x + y). Посмотрите внимательно, ничего не напоминает? Это же наш пример из актуализации! Теперь у нас есть общий множитель-скобка (x + y). Выносим её. Итоговый ответ: (x + y)(a + b). Мы превратили сумму в произведение!» | Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Диктуют: «Выносим 'a', получаем a(x + y)...». Видят общую скобку и завершают разложение. Воспринимают успех метода. |
5 мин | «Давайте составим алгоритм. Шаг 1: Объединить слагаемые в группы (по парам). Шаг 2: Вынести общий множитель в каждой группе. Шаг 3: Вынести полученный общий многочлен за скобки. Важно: группы нужно подбирать так, чтобы после вынесения в скобках остались ОДИНАКОВЫЕ выражения. Учитель выводит алгоритм на слайд с крупным шрифтом для удобства детей с СДВГ.» | Записывают алгоритм в тетрадь в рамку. Ученики с СДВГ приклеивают заранее распечатанную памятку с алгоритмом в тетрадь (для экономии времени и концентрации). |
Запись в тетрадях
Алгоритм метода группировки:
1. Сгруппировать слагаемые.
2. Вынести общий множитель в каждой группе.
3. Вынести общую скобку за скобки.
1. Сгруппировать слагаемые.
2. Вынести общий множитель в каждой группе.
3. Вынести общую скобку за скобки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм у нас есть. Но прежде чем тренироваться, давайте немного разомнемся.»
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять физическое и эмоциональное напряжение, переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Игра "Истина или Ложь". Если я называю верное утверждение — руки вверх и потянулись. Если ложное — руки на пояс и наклон вправо-влево. 1. Многочлен — это сумма одночленов (И). 2. 2 * 2 * 2 = 6 (Л). 3. При вынесении множителя за скобки используется распределительный закон (И). 4. Степень одночлена x²y³ равна 5 (И).» | Активно выполняют движения. Смеются, если ошибаются. Дети с СДВГ получают необходимую разрядку через движение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы, взбодрились! Садитесь, продолжаем работу.»
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритма с комментированием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Решим из учебника №708 (а, б). К доске приглашаются двое. Остальные в тетрадях. Ребята у доски, проговаривайте каждый шаг: что вы группируете и что выносите. Пример а: 7a - 7b + an - bn. Пример б: xy + 2y + 2x + 4. Будьте внимательны с примером 'б', там числа тоже можно группировать!» | Двое учеников работают у доски. Комментируют: «Группирую 7a и -7b, выношу 7...». Остальные сверяют шаги. Учитель подходит к детям с СДВГ, проверяет, начали ли они запись, помогает выделить группы цветным карандашом. |
Эталон решения
а) 7(a - b) + n(a - b) = (a - b)(7 + n);
б) y(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(y + 2).
б) y(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(y + 2).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что метод работает и с буквами, и с числами. Теперь время проверить себя.»
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, дифференциация обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «У вас на столах лежат карточки трёх цветов. Синяя (Уровень А) — базовые примеры с подсказками. Зелёная (Уровень Б) — стандартные примеры. Красная (Уровень В) — примеры, где нужно сначала раскрыть скобки или подумать над группировкой. Выберите одну карточку и решите 3 примера из неё. У вас 6 минут. Песочные часы запущены!» | Выбирают уровень сложности. Работают самостоятельно. Дети с СДВГ используют карточку А или Б, где уже выделены дугами пары для группировки, чтобы снизить когнитивную нагрузку на поиск. |
2 мин | «Время вышло. Переверните карточки — на обратной стороне ответы. Проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе '+' на полях. Если есть ошибка — обведите её в кружок, мы разберем её позже.» | Проводят самопроверку по эталону на обороте карточки. Анализируют свои ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки те, кто выбрал зелёную или красную карточку и решил всё верно? Молодцы! Те, кто выбрал синюю и справился — вы тоже на верном пути.»
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подвести итог урока, оценить уровень достижения целей, дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте подведем итоги. Как называется метод, который мы сегодня открыли? В чем его главная хитрость? Учитель раздаёт короткие анкеты-рефлексии (приём "Билет на выход"): 1. Сегодня я узнал... 2. Самым трудным было... 3. Оцените свою работу от 1 до 5.» | Отвечают на вопросы учителя. Заполняют короткие анкеты. Ученики с СДВГ просто ставят галочки в готовых пунктах анкеты. |
4 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Выберите тот, с которым вы справитесь уверенно. Учитель поясняет задание: в продвинутом уровне нужно доказать тождество, используя группировку.» | Записывают задание в дневники. Задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все 3 задания выбранного уровня (Б или В), решение записано логично, без исправлений.
- «4» — Верно выполнены 2 задания из 3, или допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме группировки.
- «3» — Верно выполнено только 1 задание, или во всех заданиях верно выделены группы, но не доведено до конца вынесение общей скобки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме группировки кажется тебе самым сложным? | Выявление затруднений в логической цепочке метода. |
Сможешь ли ты объяснить этот метод другу, который пропустил урок? | Оценка уровня осознанности и глубины понимания материала. |
Помог ли тебе сегодня цветной маркер/алгоритм-подсказка? | Проверка эффективности коррекционных приёмов для детей с СДВГ. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы проделали большую работу. Мы не просто изучили новую тему, мы научились видеть структуру там, где она на первый взгляд не видна. Метод группировки — это очень мощный инструмент, который пригодится вам и в 8, и в 9 классе при решении сложных уравнений. Если сегодня что-то не получилось — не расстраивайтесь, на следующем уроке мы закрепим этот навык. Спасибо за урок, до свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №709, №711 | Разложить на множители многочлены с 4 слагаемыми по образцу в учебнике. |
Средний (повышающий) | №714, №715 | Разложение многочленов, содержащих отрицательные коэффициенты (внимательно со знаками!). |
Продвинутый (дополнительный) | №722 * | Найти значение выражения наиболее рациональным способом, используя группировку. |
Контрольный вопрос: сколько способов группировки существует для многочлена из 4 слагаемых? (Ответ: 3 способа).