Множества чисел. Понятие рационального числа
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут классифицировать числа по множествам (N, Z, Q) и переводить обыкновенные дроби в конечные или периодические десятичные дроби.
- Образовательные задачи: ввести определение рационального числа как m/n, актуализировать знания о натуральных и целых числах, изучить алгоритм перевода дробей.
- Развивающие задачи: развивать навыки абстрактного мышления через построение иерархии числовых множеств, формировать умение анализировать структуру числа.
- Воспитательные задачи: способствовать развитию навыков самоконтроля и объективной оценки своих достижений в условиях дифференцированного обучения.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению алгебре.
- Осознание математики как универсального языка науки, позволяющего описывать реальные процессы.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать аналогии, переходить от одной формы представления информации к другой (дробь — десятичная запись).
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции своих действий в соответствии с меняющейся ситуацией.
- Коммуникативные: умение аргументированно выражать свою позицию, работать в паре при проверке гипотез.
Предметные
- Знать определения множеств натуральных (N), целых (Z) и рациональных (Q) чисел.
- Уметь представлять рациональное число в виде отношения m/n, где m — целое, n — натуральное.
- Владеть алгоритмом преобразования обыкновенной дроби в десятичную (конечную или периодическую).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к осознанному выбору сложности заданий.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий (выбор метода деления).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию со схемой «Вложенность числовых множеств».
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 шт.
- Подготовить на доске таблицу для заполнения «Виды десятичных дробей».
- Проверить наличие мела/маркеров разных цветов для выделения периодов дробей.
- Открыть учебник (Алгебра 7 класс, авт. Макарычев или аналогичный) на параграфе «Рациональные числа».
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность через осознание ограниченности имеющихся знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, коллеги! Да-да, именно коллеги, ведь сегодня мы будем заниматься классификацией, как настоящие ученые-систематики. Посмотрите на экран. Представьте, что нам нужно разделить бюджет в 100 рублей на 3 человек поровну. Сколько получит каждый? Получится ли у нас целое число? А натуральное? В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что целых чисел нам не хватает. Сегодня мы узнаем, как называются числа, которые спасают нас в таких ситуациях, и как их правильно записывать, чтобы не потерять ни одной копейки». | Ученики приветствуют учителя. Пытаются разделить 100 на 3, фиксируют затруднение: «Получается 33 и еще что-то», «33,333...». Осознают, что привычных чисел недостаточно для точного ответа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что мир чисел гораздо шире, чем кажется. Давайте вспомним то, что мы уже знаем, чтобы построить фундамент для нового знания».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия натуральных и целых чисел, подготовить почву для введения множества рациональных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель рисует на доске два круга (Диаграмма Венна): «Ребята, давайте вспомним. Какие числа мы называем натуральными? Приведите примеры. А какие — целыми? Входит ли множество N в множество Z? Давайте распределим числа: 5, -12, 0, 128, -1. Куда мы их запишем?». Учитель фиксирует ответы на схеме. | Ученики отвечают: «Натуральные — для счета: 1, 2, 3...», «Целые — это натуральные, им противоположные и ноль». Диктуют: «5 и 128 в малый круг (N), -12, 0, -1 — в большой круг (Z), но вне малого». |
Запись в тетрадях
N = {1, 2, 3, ...} — натуральные числа.
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} — целые числа.
N ⊂ Z (множество N является подмножеством Z).
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} — целые числа.
N ⊂ Z (множество N является подмножеством Z).
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, с базой разобрались. Но куда нам деть число 0,5 или -3/4? Они явно не целые. Для них ученые придумали новый "дом" — множество рациональных чисел».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение рационального числа и показать способ его представления в виде десятичной дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Запишем определение: Рациональное число — это число, которое можно представить в виде m/n, где m ∈ Z, а n ∈ N. Обозначается буквой Q (от латинского Quot — сколько). Посмотрите на доску: любое целое число тоже рациональное! Например, 5 = 5/1. Согласны?». Учитель дорисовывает третий, самый большой круг на диаграмме. | Ученики записывают определение в тетрадь. Приводят свои примеры представления целых чисел в виде дроби: «-3 = -3/1», «0 = 0/1». |
7 мин | «А теперь самое интересное. Любую обыкновенную дробь можно превратить в десятичную. Как? Правильно, делением уголком. Давайте попробуем разделить 3 на 4 и 1 на 3. Что вы заметили?». Учитель демонстрирует деление на доске, выделяя во втором случае повторяющуюся цифру. «Когда деление не заканчивается, мы получаем бесконечную периодическую дробь. Записывается это так: 0,333... = 0,(3). Читается: ноль целых и три в периоде». | Ученики выполняют деление в тетрадях. Обнаруживают, что 3/4 = 0,75 (конечная), а 1/3 дает бесконечный хвост из троек. Знакомятся с новой формой записи периода в скобках. |
Запись в тетрадях
Q — множество рациональных чисел.
Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, рациональные числа — это дроби. И они бывают либо "короткими" (конечными), либо "зацикленными" (периодическими). Давайте потренируемся их различать».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать навык перевода обыкновенных дробей в десятичные и определения периода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель вызывает к доске троих учеников по очереди. Задания: 1) Перевести 5/8; 2) Перевести 7/11; 3) Перевести 5/6. «Ребята, будьте внимательны: период может состоять не из одной цифры, а из нескольких. Внимательно следите за остатками при делении!» | Ученики у доски выполняют деление «уголком». Остальные работают в тетрадях. 1) 5 : 8 = 0,625 (конечная). 2) 7 : 11 = 0,6363... = 0,(63) (период 63). 3) 5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3) (смешанная периодическая). |
Эталон решения
7/11: 7,000... / 11.
70 : 11 = 6 (ост. 4);
40 : 11 = 3 (ост. 7) — остаток повторился!
Значит, цифры 6 и 3 будут повторяться. Ответ: 0,(63).
70 : 11 = 6 (ост. 4);
40 : 11 = 3 (ост. 7) — остаток повторился!
Значит, цифры 6 и 3 будут повторяться. Ответ: 0,(63).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились видеть ритм в числах. Теперь проверьте себя: сможете ли вы справиться с этим самостоятельно?»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: интериоризация нового способа действия и индивидуальная рефлексия достижений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает карточки с тремя уровнями сложности. «Выберите тот уровень, в котором вы чувствуете себя уверенно. Уровень А — базовый, Б — чуть сложнее, В — для тех, кто не боится длинных периодов. У вас 5 минут». | Ученики выбирают карточку и самостоятельно решают задачи. А: 1/2, 1/5, 2/3. Б: 3/20, 4/9, 7/15. В: 1/7, 5/13. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран. «Сверьте свои результаты с эталоном. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте найти, на каком шаге деления она возникла». | Ученики сравнивают свои ответы с экраном, проводят самоанализ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки — это наши точки роста. Поднимите руки те, кто решил всё верно? А те, кто нашел свою ошибку сам? Молодцы!»
Этап 6. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, связать с практикой и оценить эмоциональное состояние.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Ребята, как вы думаете, где в жизни нам могут встретиться периодические дроби? Например, в банковских процентах или при расчете доз лекарств. Часто их приходится округлять. Но чтобы округлить правильно, нужно знать, какая цифра идет следующей. В этом и помогает знание периода. Давайте подведем итоги в таблице "ЗХУ" (Знаю - Хочу узнать - Узнал)» | Ученики обсуждают применение (финансы, физика). Заполняют последнюю колонку таблицы в тетрадях: «Узнал, что такое множество Q», «Научился записывать период в скобках». |
3 мин | Учитель задает домашнее задание и дает пояснения по его выполнению. «Обратите внимание на номер 275 — там нужно не просто поделить, а сначала сократить дробь, если это возможно». | Ученики записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно определил принадлежность всех предложенных чисел к множествам, без ошибок перевел 3 обыкновенные дроби в десятичные, правильно указал периоды.
- «4» — допущена 1 ошибка в вычислениях при делении или неверно указаны границы периода при правильном делении.
- «3» — ученик понимает алгоритм деления, но допускает более 2 ошибок в вычислениях или затрудняется в классификации чисел по множествам.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое числовое множество самое «широкое» из изученных сегодня? | Проверка понимания иерархии множеств (N ⊂ Z ⊂ Q). |
В каком случае получается периодическая дробь? | Осознание бесконечности процесса деления при наличии повторяющихся остатков. |
Что для вас сегодня было самым сложным? | Выявление индивидуальных затруднений (вычисления, терминология, запись). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в освоении языка математики. Мы узнали, что даже бесконечность можно приручить и записать с помощью пары скобок. Рациональные числа — это фундамент, на котором стоит вся современная экономика и инженерия. На следующем уроке мы научимся выполнять действия с этими числами, чтобы вы могли с легкостью решать любые жизненные задачи. Спасибо за работу, вы сегодня были отличной командой исследователей!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 268, 272 | Представить числа в виде m/n и перевести дроби в десятичные (конечные). |
Средний (повышающий) | Учебник, № 275, 278 | Перевести дроби в периодические, выделить период и записать в скобках. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти информацию: существуют ли числа, которые нельзя представить в виде m/n? Как они называются? |
Контрольный вопрос перед выходом: «Может ли натуральное число быть рациональным? (Да/Нет)». Ответ обоснуйте.