Функция y = |x|, её график и свойства
Цели и задачи
- Цель: сформировать представление о функции y = |x|, научить строить её график и описывать основные свойства на основе анализа геометрического образа.
- Образовательные задачи: изучить определение функции, составить таблицу значений, построить график («уголок»), выявить область определения и значений.
- Развивающие задачи: развивать навыки графической культуры, умение анализировать зависимости и делать выводы на основе сравнения (симметрия графика).
- Воспитательные задачи: формировать аккуратность при выполнении чертежей и критическое мышление при самопроверке по эталону.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Формирование ценности аккуратности и точности при построении математических моделей.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Способность определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии и причинно-следственные связи.
- Навыки смыслового чтения и извлечения необходимой информации из графических моделей.
Предметные
- Знать определение и свойства функции y = |x|.
- Уметь строить график функции по точкам и описывать его геометрическую форму.
- Уметь находить значения функции по заданному аргументу и наоборот.
- Владеть навыком графического решения простейших уравнений вида |x| = a.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Критичность мышления: умение распознавать логически ошибочные утверждения.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (свойства функции).
- Построение логической цепи рассуждений при решении уравнений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Сотрудничество с учителем и сверстниками в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы (на основе источника) по количеству учеников в классе.
- Подготовить презентацию с визуализацией «шага на восток/запад» и эталонным графиком.
- Проверить наличие у учеников чертёжных инструментов: линеек, карандашей.
- Заготовить на доске сетку координат для демонстрационного построения графика.
- Выписать на скрытую часть доски ответы к заданию №1 для быстрой самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подвести к необходимости изучения модуля как расстояния.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы приступаем к изучению одной из самых необычных и симметричных функций в курсе 7 класса. Но сначала — небольшая жизненная ситуация." | Приветствуют учителя, проверяют наличие рабочих листов и инструментов на столах. |
2 мин | "Представьте: вы вышли из дома и прошли 3 км на восток, а ваш друг в это же время прошёл 3 км на запад. Кто из вас оказался дальше от дома? Правильно, расстояние одинаковое. Модуль — это математический инструмент, который 'забывает' о направлении и показывает только величину пути. Как вы думаете, как будет выглядеть график функции, которая всегда выдаёт только положительный результат или ноль?" | Отвечают: "Оба на одинаковом расстоянии — 3 км!". Выдвигают гипотезы: "График будет только сверху", "Он будет похож на галочку". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши догадки интересны. Давайте проверим их, построив математическую модель этой ситуации — функцию y = |x|."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определение модуля и правила вычисления модуля числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Обратимся к вашим рабочим листам. Задание №1. Вспомним, чему равен модуль разных чисел. Вычислите значения для -8; 4,5; -2/3 и 0. Будьте внимательны со знаками." | Выполняют вычисления в рабочих листах: |-8|=8, |4,5|=4,5, |-2/3|=2/3, |0|=0. |
2 мин | "Теперь задание №2. Посмотрите на свойства модуля. Какие из равенств верны для любых x? Напоминаю, что модуль — это расстояние, а оно не может быть отрицательным." | Выбирают верные утверждения: |x| ≥ 0 и |-x| = |x|. Комментируют: "Модуль меняет знак отрицательного числа на противоположный". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили базу. Теперь перейдём от отдельных чисел к целой функции. Запишем тему урока в тетради: 'Функция y = |x|'."
Этап 3. Открытие нового знания: построение графика (12 мин)
Цель этапа: экспериментальным путем построить график функции и определить его форму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "В задании №3 у вас есть таблица значений. Давайте заполним её вместе. Если x равен -4, чему равен y? А если x равен 4? Заполните таблицу для значений от -4 до 4 с шагом 1. Что вы заметили в значениях y?" | Заполняют таблицу: (x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 -> y: 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4). Отвечают: "Значения y повторяются для противоположных x", "y никогда не становится отрицательным". |
7 мин | "Теперь перенесите эти точки на координатную плоскость в рабочем листе. Соедините их. Посмотрите на получившуюся фигуру. Как бы вы её назвали? В математике такой график часто называют 'уголком' или 'галочкой'. Обратите внимание, где находится вершина этого уголка." | Строят точки (-4;4), (-3;3)... (0;0)... (4;4). Соединяют их двумя лучами. Отвечают: "Это угол", "Вершина в точке (0;0)". Проверяют симметричность сторон относительно оси OY. |
Запись в тетрадях
Графиком функции y = |x| является угол с вершиной в точке (0; 0), стороны которого являются биссектрисами I и II координатных четвертей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели график. Теперь давайте опишем его 'характер' — то есть свойства функции."
Этап 4. Исследование свойств функции (8 мин)
Цель этапа: сформулировать основные свойства функции на основе анализа графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Посмотрите на задание №6. Нам нужно определить истинность утверждений. 1) Область определения — любое число? Можем ли мы взять модуль от любого числа? 2) Область значений — любое число? Посмотрите на график, есть ли он ниже оси X?" | Анализируют: "Да, x может быть любым, значит D(y) = (-∞; +∞)". "Нет, y только положительный или ноль, значит E(y) = [0; +∞)". Отмечают истинность в листах. |
4 мин | "Давайте обсудим монотонность. Что происходит с графиком, когда мы смотрим на него слева направо до нуля? А после нуля? Используйте термины 'убывает' и 'возрастает'." | Формулируют: "До нуля график идет вниз — функция убывает. После нуля идет вверх — возрастает". Записывают промежутки: x ∈ (-∞; 0] и x ∈ [0; +∞). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы составили 'паспорт' нашей функции. Теперь проверим, как вы умеете им пользоваться."
Этап 5. Первичное закрепление и практика (7 мин)
Цель этапа: научить применять полученные знания для решения типовых задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Выполним задание №7. Принадлежит ли точка A(-5; 5) графику? А точка B(3; -3)? Как это проверить без построения? Правильно, подставить координаты в формулу y = |x|." | Вычисляют: "|-5| = 5, значит A принадлежит". "|3| = 3, а не -3, значит B не принадлежит". Самостоятельно проверяют остальные точки из списка. |
3 мин | "Задание №9. Решим уравнение |x| = 4. Алгебраически вы уже умеете — это 4 и -4. А как это увидеть на графике? Проведите мысленно (или карандашом) горизонтальную линию y = 4. В каких точках она пересечет наш 'уголок'?" | Проводят линию, находят точки пересечения (-4; 4) и (4; 4). Делают вывод: "Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения". |
Эталон решения (задание №9)
Уравнение $|x| = 4$.
1. Строим график $y = |x|$.
2. Строим прямую $y = 4$.
3. Точки пересечения: $M_1(-4; 4)$ и $M_2(4; 4)$.
4. Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 4$.
1. Строим график $y = |x|$.
2. Строим прямую $y = 4$.
3. Точки пересечения: $M_1(-4; 4)$ и $M_2(4; 4)$.
4. Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Графический метод очень нагляден. Он помогает решать уравнения, которые сложно решить только алгеброй."
Этап 6. Рефлексия и подведение итогов (4 мин)
Цель этапа: оценить уровень усвоения материала и эмоциональное состояние учащихся.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Ребята, посмотрите на 'Ступени' в конце вашего рабочего листа. Оцените себя. Кто чувствует себя на 3-й ступени и готов объяснить тему другу? Кто на 2-й? Есть ли те, кто остался на 1-й? Не стесняйтесь, это поможет мне понять, что разобрать еще раз." | Ставят галочку напротив соответствующей ступени. Поднимают руки. Несколько учеников озвучивают, что именно было самым простым, а что — самым сложным (например, 'легко строить, но трудно запомнить названия промежутков'). |
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую геометрическую форму имеет график функции y = |x|? | Проверка усвоения визуального образа функции. |
Почему график функции не заходит в III и IV четверти? | Осознание свойства неотрицательности модуля (область значений). |
В какой момент построения графика вы почувствовали затруднение? | Выявление индивидуальных пробелов в графических навыках. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания рабочего листа, график построен аккуратно по линейке, свойства определены без ошибок.
- «4» — Допущены 1-2 неточности в вычислениях или определении свойств, график построен верно, но есть небольшие огрехи в оформлении.
- «3» — Верно построена таблица и график, но допущены ошибки в анализе свойств или решении уравнения графическим способом.
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы познакомились с функцией-галочкой. Она кажется простой, но на её основе строятся многие сложные процессы в физике и программировании. Вы отлично поработали с графиками! На следующем уроке мы узнаем, как этот 'уголок' может перемещаться по всей координатной плоскости. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №32.4, №32.7 | Построить график в тетради и найти значения y по заданным x. |
Средний (повышающий) | Рабочий лист, №9 (б) | Описать словами алгоритм графического решения уравнения |x| = 4. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Исследовать: как изменится график, если перед модулем поставить минус: y = -|x|? Построить эскиз. |
Контрольный вопрос: может ли прямая y = -2 пересекать график функции y = |x|? Почему?